變系數模型誤差方差的估計

馮井艷，張志強，李華鵬

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

變系數模型誤差方差的估計

馮井艷，張志強，李華鵬

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

變系數模型是由古典的線性模型發展而來，它們可以很好地檢驗函數系數隨著協變量的變化程度.本文用PLR提出了變系數模型的誤差方差的估計，并研究了它的漸近正態性，進一步用一個模擬例子來說明估計的結果是有效的.

變系數模型 誤差方差 Profile最小二乘估計 漸近正態性

變系數模型產生于實際需要，它可以很好地探索動態數據特征使得模型更好地擬合數據，因此廣泛應用到各科學領域中，比如：經濟學，政治學，醫藥學，生態學等.

Hastie和Tibshirani[1]提出了變系數模型，其定義如下

到目前為止，對于具有不同光滑變量的變系數模型的研究還是比較少[4]，其定義如下

其中，X＝（X1，X2，…，XP）T∈RP，Z＝（Z1，Z2，…，ZP）T∈RP為協變量，Y∈R為響應變量，ε為隨機誤差，且ε與（X，Z）獨立，滿足E（ε）＝0，Va（rε）＝σ2.{aα(·)}pα＝1是從R到R上的未知可測函數.文獻[4]已經估計了函數系數{aα(·)}pα＝1，類似的討論還有文獻[5].但是，有時候，對誤差方差σ2＝E（ε2）的估計的研究也是很有必要的，它可以有利于置信區間的建立，模型檢驗及選擇等.在本文中，由最小二乘法得到了誤差方差σ2的估計，并得到了它的漸近性質.

1 估計

假定{Yi，Xi，Zi，i＝1，…，n}是模型(2)的一個簡單隨機樣本，{aα(·)}pα＝1是Lipschitz連續的，那么a（αXα）在Xα的支撐內的一點xα附近能夠用一個線性函數表示，即

關于{aα}pα＝1和{bα}pα＝1極小化，其中，Xiα，Ziα分別是X，Z的第i個觀測值的第α個分量；Kα，hα(·)=h-1αKα(·/ hα)，Kα(·)是一個有緊支撐的關于0對稱的有界非負的Lipschitz連續的概率密度函數；hα＝hnα是一個正數數列，稱作窗寬.設（αx），α＝1，…，p，是使(3)式達到極小化的前p個值.由最小二乘理論，可得

其中x＝（x1，…，xp）T，eα，2p是第α個分量為1的單位向量，U是一個n×2p矩陣，它的i行是

在(4)式的基礎上，使用平均方法定義函數系數aα（Xα）的平均估計為

其中，a＝（a1（X1），…，ap（Xp））T.我們可以定義誤差方差σ2的估計為

2 誤差方差的漸近性質

假設：A1隨機變量X是有緊支撐的，它的密度函數f(·)是Lipschitz連續有界的，且大于某一正數.

A3存在s，k分別有s＞2滿足E‖z‖2s＜∞，k＜2-s-1滿足n2k-1h→∞.

A4{aα(·)，α＝1，…，p}有二階導數.

A5核函數K(·)是有緊支撐的，關于0對稱的，有界非負的Lipschitz連續的概率密度函數；窗寬h滿足nh8→0，nh2（／log n）2→0.

定理1若假設 A1～A5成立，如果Eε41＜∞，E‖X1‖4＜∞，當n→∞時，則有

定理2若假設 A1～A5成立，如果Eε41＜∞，當n→∞時，則

推論1在定理1和定理2的條件下有

3 模擬

這一節我們應用Monte Carlo模擬方法來說明如上提出的估計方法的有效性.假定模擬例子為：

4 證明過程

它的證明類似于Zhou和You[6]的定理3.2的證明.則有I3＝οp(1).定理1證畢.

表1 2的均值和標準誤差

表1 2的均值和標準誤差

■ σ）σ2 0.04 0.25 0.64 0.04 0.25 0.64 Mean 0.057 0.072 0.533 0.073 0.836 0.065 SD 0.009 0.038 0.085 0.006 0.029 0.075 ε～N（0，σ2） ε～U（－ 3■ σ， 3

則，J3＝οp(1)，J4＝οp(1)，J5＝οp(1).則只需證明 J2＝οp(1)，它的證明類似于I2＝οp(1)的證明，則定理2證畢.

[1]Hastie T，TibshiraniR.Varying-coefficientmodels[J].Royal Statistical Society，2003，55(4)：757－796.

[2]Hoover D R，Rice JA，Wu C O，et al.Nonparametric smoothing estimates of time-varying coefficientmodels with longitudinal data[J].Biometrika，1997，85：809－822.

[3]Fan J，Zhang J.Functional linearmodels for longitudinal data[J].JRoy Statist Soc B，2000，62：303－322.

[4]Zhang Riquan，Li Guoying.Efficient estimation of functional-coefficient regression models with different smoothing variables[J].Acta Mathematica Scientia，2008，28B(1)：989－997.

[5]張日權，張志強，馮井艷.一類新的變系數模型的積分估計[J].山西大同大學學報：自然科學版，2007，23(5)：1－5.

[6]Zhou X，You J.Waveletestimation in varying coefficientpartially linear regressionmodels[J].Statist probab Lett，2004，68：91－104.

Error V ariance E stimation of V arying C oefficient M odels

FENG Jing-yan，ZHANG Zhi-qiang，LIHua-peng
(School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009)

Varying coefficientmodels are a useful extension of classical linear models.These models can easily examine how regression coefficient change over different groups characterized by certain covariates.In this article，the estimator of error variance by profile least-squares procedure is proposed and its asymptotic normality is studied.Furthermore，some simulations are conducted to examine the performance of our estimating approach and the results are substantial.

varying coefficientmodels；error variance；profile least-squares estimation；asymptotic normality

O212.7

A

〔編輯 高海〕

1674-0874(2010)01-0005-03

2009-11-30

國家自然科學基金項目[10871072]；山西省自然科學基金項目[2007011014]

馮井艷(1982-)，女，山西太原人，碩士，助教，研究方向：數理統計.