一類由g-期望控制的概率測(cè)度的性質(zhì)

宋麗

(山東輕工業(yè)學(xué)院金融職業(yè)學(xué)院，山東濟(jì)南 250100）

一類由g-期望控制的概率測(cè)度的性質(zhì)

宋麗

(山東輕工業(yè)學(xué)院金融職業(yè)學(xué)院，山東濟(jì)南 250100）

討論了一類由g-期望控制的概率測(cè)度的性質(zhì)，指出過程（θt）t滿足一致有界時(shí)，該測(cè)度可以通過Girsanov變化由過程（θt）t生成.

倒向隨機(jī)微分方程 g-期望 條件g-期望

Pardoux和Peng[1]證明了，在一定條件時(shí)，非線性倒向隨機(jī)微分方程

存在唯一的一對(duì)解（yt，zt），這里t∈［0，T］.在此基礎(chǔ)上，受經(jīng)濟(jì)中期望效應(yīng)理論研究的啟發(fā)，Peng首先提出來g-期望和條件g-期望的概念，對(duì)研究金融數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)有著重要的作用.許多研究者[2－6]相繼研究了g-期望和條件g-期望的一些性質(zhì).

本文主要討論了可測(cè)空間（Ω，F(xiàn)T）的兩個(gè)概率測(cè)度集合的關(guān)系，得到了一類由g-期望控制的概率測(cè)度的性質(zhì).

1 基本假設(shè)，定義與結(jié)論

設(shè)（Ω，F(xiàn)T，P）是一個(gè)概率空間，（Bt）t≥0是此空間上的d-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，滿足B0＝0.設(shè)（Ft）t≥0是由此布朗運(yùn)動(dòng)生成的自然σ代數(shù)流.設(shè)T為一固定正實(shí)數(shù).

定義如下常用過程空間：

給定函數(shù)g，（g（t，y，z））t∈［0，T］是適應(yīng)連續(xù)過程滿足如下假設(shè)條件：

(A2)對(duì)?（t，y）∈［0，T］×R，有

若g滿足假設(shè)(A1)和(A2)，則對(duì)?ξ∈L（2Ω，F(xiàn)T，P），BSDE(1)存在唯一一對(duì)解（yt，z）t∈S2F（0，T；R）×（0，T，Rd）.下面我們給出g-期望和條件g-期望的概念以及簡(jiǎn)單性質(zhì).

定義1.1定義εg［ξ］∶＝y(tǒng)0，稱為g-期望；ε［gξ］：＝y(tǒng)t，稱為條件g-期望.

性質(zhì)1.1①設(shè)ξ∈L（2Ω，F(xiàn)T，P），g滿足(A1)和(A3)，則存在唯一的隨機(jī)變量η∈L（2Ω，F(xiàn)T，P）滿足

2 主要結(jié)果

引理2.1ξ∈L（2Ω，F(xiàn)T，P），

?c?0，有ε［μcξ］＝cε［μξ］；

?c?0，有ε－［μcξ］＝cε［μξ］.

證明根據(jù)BSDE和g-期望的定義很容易驗(yàn)證.

定義2.1設(shè)Q是可測(cè)空間（Ω，F(xiàn)T）上的概率測(cè)度，Q稱為被g-期望控制，如果?ξ∈L（2Ω，F(xiàn)T，P），有ε-［μξ］≤E［Qξ］.

引理2.2若Q是被g-期望控制的，則?ξ∈L2（Ω，F(xiàn)T，P），有E［Qξ］≤ε［μξ］.

證明由引理2.1，定義2.1與g-期望很容易驗(yàn)證.

定義2.2設(shè)（θ）tt∈［0，T］是Rd值循序可測(cè)過程，稱（θ）t是一致有界的，如果≤μ，a.s.，a.e..

顯然，此過程（θ）t滿足Novikov′s條件，即

由Girsanov定理得，存在（Ω，F(xiàn)T）上的一個(gè)相應(yīng)的概率測(cè)度Qθ滿足

下面給出本文的主要結(jié)果：

定理2.1定義可測(cè)空間（Ω，F(xiàn)T）上的兩個(gè)概率測(cè)度集合，

則S1＝S2.

證明首先證明S2?S1.

?Qθ∈S2，設(shè)（θt）表示相應(yīng)的一致有界過程.?ξ∈L2（Ω，F(xiàn)T，P），令（y1，z1）表示下列倒向隨機(jī)微分方程的解

對(duì)此（θt），我們?cè)跍y(cè)度空間（Ω，F(xiàn)T）上定義概率測(cè)度Qθ，滿足

?A∈FT，我們有

Q（A）＝EQ［IA］＝εg［IA］＝EQθ［IA］＝Qθ［A］.因此有Q＝Qθ∈S2，所以S1?S2，定理證畢.

由定理2.1，我們有如下推論

推論設(shè)集合

[1]Pardoux E，Peng S.Adapted solution of a backward stochastic differential equation[J].System Control Letters，1990，14：55-61.

[2]Briand P，CoquetF，Hu Y，etal.A conversecomparison theorem forBSDEsand related propertiesofg-expectation[J].Electon，electronic communications in Probability，2000，5：101-117.

[3]CoquetF，Hu Y，Memin J，etal.Filtration consistentnonlinearexpectationsand related g-expectation[J].Probability Theory and Related Fields，2002，123：1-27.

[4]Chen Z，KulpergerR，Jiang L.Jensen'sinequality forg-expectation：part1[J].CPAcad SciParisSerie I，2003，337(11)：725-730.

[5]Chen Z，KulpergerR，Jiang L.Jensen'sinequality forg-expectation：part2[J].CPAcad SciParisSerie I，2003，337(12)：797-800.

[6]Jiang L，Chen Z.A result on the probabilitymeasures dominated by g-expectation[J]，Acta Mathematicae Applicatae Sinica，English series 2004，20(3)：507-512.

A Property of the Probability Measures Dom inated by g-Expectation

SONG Li
(Finance School，Shandong Light Industry College，Jinan Shangdong，250100)

In this paper，we discuss a property of the probability measures dominated by g-expectation.We prove that this probabilitymeasures can be generated by Girsanov transformation via a process which is uniform ly bounded by.

backward stochastic differential equation；g-expectation；conditional g-expectation

O211.67

A

〔編輯 高海〕

1674-0874(2010)01-0015-02

2009-11-03

宋麗(1979-)，女，四川新津人，博士，講師，研究方向：金融數(shù)學(xué)與金融工程.