Lorenz超混沌系統的周期擾動與激勵控制

李賢麗,張笑宇,王 升,張秀龍,嚴曉波

(1.東北石油大學電子科學學院,黑龍江大慶 163318; 2.大慶油田昆侖集團有限公司,黑龍江大慶 163453)

Lorenz超混沌系統的周期擾動與激勵控制

李賢麗1,張笑宇2,王 升1,張秀龍1,嚴曉波1

(1.東北石油大學電子科學學院,黑龍江大慶 163318; 2.大慶油田昆侖集團有限公司,黑龍江大慶 163453)

對非線性Lorenz超混沌系統進行數值計算,得到系統隨參數變化的分岔圖和動力學性質,系統只存在1個不穩定定點和復雜的超混沌運動;采用周期擾動和周期激勵無反饋控制方法對系統的超混沌運動進行控制.結果表明:均可將系統的超混沌運動控制為規則的周期運動,實現對復雜Lorenz超混沌系統的控制,控制結果受系統自身的動力性質影響較大,控制后系統產生新的動力學行為.該方法擴展了周期擾動控制方法的適用范圍,可為采用無反饋控制方法控制超混沌運動的研究提供參考.

Lorenz系統;超混沌系統;超混沌控制;無反饋;周期擾動;周期激勵

0 引言

自然界中廣泛存在混沌現象,混沌運動具有復雜性、普適性和遍歷性.混沌控制是混沌應用的關鍵環節,由于混沌控制在工程技術上具有重大研究價值和誘人的應用前景,使其成為非線性科學研究的熱點.

自1990年OttE,GrebogiC和YorkeJA提出OGY方法[1]實現混沌控制以來,研究者提出許多控制混沌運動的方法,如自適應控制法[2]、參數周期擾動控制法[3]、周期激勵控制法[4]、周期脈沖控制法、偶然正比反饋(OPF)控制法[5]、線性反饋控制法等,在實驗和實際工程中得到了應用.混沌運動控制方法可分為反饋控制法和無反饋控制法,2種方法各具優缺點,適用條件也不盡相同.反饋控制法的輸入可以根據受控系統的具體狀態進行調節,具有微擾較小的優點,前提是需要預先了解系統的運動狀態,而實際的非線性系統難以預先了解系統的動力學特性[6].無反饋控制法不需要測量狀態變量,控制方法簡便易行,已在電力系統、振動系統等領域得到應用.無反饋控制法應用于非自治系統的混沌控制較成熟,效果明顯,很小的控制輸入即可改變系統狀態,但在自治系統的混沌控制應用較少.對Rossler、CHAY系統,李賢麗等[7-8]采用參數周期擾動法、周期激勵法、周期脈沖法等無反饋控制方法,實現了較好的控制.

由于超混沌系統有多個正的李雅普諾夫(Lyapunov)指數,使超混沌運動具有高度復雜性和軌道極端不穩定性,此外,系統包含更加豐富的動力學信息,使超混沌控制比混沌控制更為復雜,因而在保密通信等方面比混沌系統具有更高的應用價值,對其實現控制有著更為深遠意義.近年來,超混沌控制的研究取得了許多成果,如線性反饋控制法[9]、延遲變量反饋法[10]、同步控制法[11],以及常數脈沖與自適應脈沖的混合控制法[12]等,實現了超混沌系統的控制,但控制方法多數為反饋控制方法,無反饋控制方法研究很少.筆者選取參數周期擾動法和周期激勵法等無反饋控制方法,對Lorenz超混沌系統[11,13]的混沌運動進行有效控制,擴展周期擾動控制方法的適用范圍,對非線性動力學系統的超混沌控制研究有一定意義.

1 模型及動力學性質

1.1 模型

Lorenz在研究大氣氣候模型時,得到一個簡化的三維非線性微分方程組,其數值解產生了復雜的混沌運動.該方程形式為

式中:a,b,c均為參數.當a=10,b=8/3,c=28時,系統處于混沌運動狀態.

Lorenz等對天氣、對流、水輪機、發電機、激光器等真實物理系統的研究發現,Lorenz系統可以作為許多現實混沌運動的精確模型.

Lorenz超混沌系統是在Lorenz系統基礎上修改得到,為四維非線性微分方程組,具體形式[13]為

式中:d,k均為參數.

1.2 動力學性質

取參數b=7,c=12,d=3,k=5時的Lorenz超混沌系統,采用四階龍格—庫塔算法,對系統方程式(2)求數值解,得到系統隨參數a變化分岔結構圖(見圖1),其中部分放大的精細結構見圖1(b).由圖1可得,當17.0≤a≤17.4時,為1周期軌道;當21.6≤a≤21.8時,為3周期軌道;當46.6≤a≤85.8時,為5周期軌道;當85.9≤a≤88.5時,為7周期軌道.在混沌帶中鑲嵌有較寬的3周期和5周期運動的窗口,說明此系統的3周期和5周期運動比較穩定,當a=21.7和53.0時,可得系統的時序圖和相圖,系統分別處于3周期和5周期運動狀態(見圖2和圖3).

圖1 x1max隨參數a變化的分岔圖

圖2 a為21.7時3周期時序圖和相圖

圖3 a為53.0時5周期時序圖和相圖

由穩定性分析可得,系統僅有一個定點(0,0,0,0),定點領域線性化方程的Jacobi矩陣為

當a=35時,系統的特征值λ滿足

可得其特征值λ1=-39.8133;λ2=16.5477;λ3=0.2656;λ4=-3.0000.

因此(0,0,0,0)為系統的不穩定定點,且在2個方向上不穩定.系統有2個正的Lyapunov指數,處于超混沌狀態,系統時序圖和相空間圖見圖4,形成復雜的奇怪吸引子.

圖4 a為17時超混沌狀態時序圖和相空間圖

2 混沌控制方法

2.1 參數周期擾動

參數周期擾動控制法是在系統的某個參數上施加周期性的擾動實現抑制混沌運動的一種方法[3].在方程式(2)中,選取對系統運動狀態影響較大的參數a作為控制參數并對其加入周期擾動,即把方程式(2)的a改為a′,形式為

式中:r為擾動的振幅;ω為參數擾動頻率(ω=2π/t0,t0為周期).可以通過調節控制參數r和ω實現混沌控制.

2.2 周期激勵

周期激勵法是通過給系統附加周期變化的作用力實現非線性動力學體系的混沌運動狀態的一種方法[4].在方程式(2)的第1式右側加入周期激勵項F,形式為

式中:r和ω分別為激勵振幅和激勵頻率.可以通過調節控制參數r和ω,實現混沌控制.

2種方法是依據混沌運動對初始條件的高度敏感性、軌道的遍歷性和混沌吸引子中鑲嵌有無窮多個不穩定周期軌道的性質及共振原理,通過對系統施加弱周期擾動實現對混沌運動的控制.

3 超混沌控制

在Lorenz超混沌系統中,取參數a=35,b=7,c=12,d=3,k=5時的超混沌運動進行研究,分別采用參數周期擾動和周期激勵方法對Lorenz超混沌系統的超混沌運動進行控制.

3.1 周期擾動

在Lorenz超混沌系統中選取參數a作為控制參數,對其加入周期擾動,即將式(2)改為

計算結果表明,當ω=3.3時,改變控制振幅r可以得到穩定控制.系統隨擾動振幅r變化的控制圖見圖5.當r取特定范圍時,系統的超混沌運動成為規則的周期運動,從而實現控制.當參數0.58≤r≤0.66時,系統能夠被穩定控制到5周期運動,系統相圖見圖6.

圖5 ω為3.3時參數周期擾動控制

圖6 0.58≤r≤0.66時5周期相圖

3.2 周期激勵

在Lorenz超混沌系統方程式(2)中加入附加的周期激勵項F實現控制動力學體系的超混沌態,其形式為

計算結果表明,當ω=2.95時,對控制參數r循環運算,控制結果隨r變化見圖7.當控制參數r取特定范圍時,系統的超混沌運動成為規則的周期運動.當29.75≤r≤32時,能有效地將混沌控制到3周期運動.r=30時系統相圖見圖8.

圖7 ω為2.95時參數周期激勵控制

圖8 r為30時3周期相圖

周期擾動和周期激勵控制方法對超混沌運動的控制較易控制于3周期和5周期運動,其原因是系統本身的3周期、5周期運動較穩定,因此系統本身的動力學性質對超混沌控制影響較大.由于超混沌運動較混沌運動復雜得多,至少存在2個或2個以上不穩定方向,因而在實際控制中,可控參數較難確定且范圍較小,更加難于控制.將原系統相圖(見圖2)和控制后得到的相應周期相圖(圖6和圖8)比較可知,控制得到的穩定周期軌道并不是原系統的周期軌道,僅運動周期與原系統運動周期相同,而系統的動力學性質發生變化,產生新的動力學行為.

4 結論

(1)參數周期擾動與周期激勵控制可實現對Lorenz超混沌系統的超混沌運動的有效控制,使其轉變為規則的周期運動,說明2種方法對超混沌控制有效.

(2)超混沌運動相對混沌運動更為復雜,更加不易實現穩定控制,實現超混沌控制實際困難較大,如可控參數范圍較小、不易確定等.

(3)系統本身的動力學性質對控制結果影響較大,某些周期運動較易控制(如3周期、5周期等).

(4)周期擾動控制法無需預先知道體系的性質,即可對體系的超混沌運動狀態進行控制,控制得到的穩定周期運動不再是原系統的周期運動,系統的動力學性質發生改變,能夠得到豐富的信息及新的動力學行為.

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Periodical perturbation and excitation controll ing of hyperchaotic Lorenz system/ 2010 ,34( 4) :105 - 109

LIXian-li1,ZHANGXiaoyu2,WANGSheng1,ZHANGXiu-long1,YANXiao-bo1
(1.Electronic Science College , NortheastPetroleum University , Daqing , Heilong jiang 163318 , China;2. Kunlun Group Co. of Daqing Oil field , Daqing , Hei long jiang 163453 , China)

Through numerical calculation of hyperchaotic Lorenz system , we obtained the bifurcation diagramand dynamics behavior of the system by changing the parameters. According to the stability theory, there existonly one unstable fix pointand complex hyperchaotic motion. Two kinds of methods fornon - feedback control , parameter sperturbation and periodic excitation , are used to control hyperchao s.With the two methods , we realized the conversion of the hyperchaotic motion to regular (periodic) motionfor some ranges of valves of choosing parameters and controlling of complex hyperchaotic motion.Controlling results are influenced by dynamic Character of the system and new dynamic behavior is produced.The study extends the scope of period perturbation control method and provides reference for thenon-feedback control methods to control chaotic motion of hyperchaotic motion.

controlling chaos;hyperchaos;lorenz system;non-feedback;periodsper turbation;periods excitation

book=4,ebook=313

TP273

A

1000-1891(2010)04-0105-05

2010-08-20;審稿人:白永強;編輯:任志平,張兆虹

黑龍江省教育廳科學技術研究項目(11551023)

李賢麗(1971-),女,副教授,主要從事非線性動力學及混沌控制方面的研究.