伴隨矩陣淺析

柳州城市職業學院 姜思佳 韋浩波

伴隨矩陣淺析

柳州城市職業學院 姜思佳 韋浩波

本文主要通過對高職教學中伴隨矩陣課程的定義做了補充:階數為時;總結伴隨矩陣的求法;并針對三角矩陣、正定矩陣、對稱矩陣(包括正交矩陣)、單位陣等特殊矩陣求伴隨矩陣進行了歸納總結。

伴隨矩陣代數余子式初等變換

高職數學的教學中,伴隨矩陣的定義注明只有n≥2階矩陣才有伴隨矩陣,文中討論了n=1時伴隨矩陣的定義。文中對求伴隨矩陣的方法進行了總結,提出一種簡單求法,并對特殊矩陣的伴隨矩陣進行了歸納總結。

一、伴隨矩陣的定義

一般教科書上伴隨矩陣的定義如下

且注明只有n≥2階矩陣才有伴隨矩陣的概念,那么當n=1時,是否存在伴隨矩陣呢?或者有什么樣的伴隨矩陣呢?我們提出如下伴隨矩陣的概念:

證明 一階方陣A的伴隨矩陣定義為I1。(此處I1為一階單位矩陣)理由如下:

設A=(k) k≠0

此處Aij為行列式|A|的元素aij的代數余子式(i= 1,2,3,…,n;j=1,2,3,…,n).現在我們來證明假設是否正確,即我們來證明

“n階方陣A可逆的充分必要條件為其伴隨矩陣A3可逆”是否成立?

(必要性)

1.7 菌種保存 從培養基中刮取少量新鮮菌絲轉接到MEA斜面上，室溫培養至菌絲覆蓋整個斜面后，放入4℃冰箱保存，所有操作均在無菌環境中進行。該方法在保存過程中易出現培養基水分喪失、菌體失活，因此每隔半年須重新轉接，只適合短期保存。

A可逆]A-1=存在,且|A|≠0由公式

|A3|=||A|·A-1|=|A|n-1≠0 故A3可逆。

(充分性)不妨用反證法。

若A3可逆,而A不可逆,則|A|=0,于是A·A3=|A|·I=0(零矩陣)

則與A3可逆矛盾,故A可逆。

進而對一階方陣A:若A=(k) k≠0則相應的A3=I,而A不可逆。顯然A3可逆,與上述問題二不一致。為解決上述矛盾,本文提出如下結論:

方陣的伴隨矩陣定義為:A=(aij)n×n,n為正整數。

至此均得到合理的解釋。 證畢

二、伴隨矩陣求法

對于伴隨矩陣,代數教材中介紹的普遍的算法是利用代數余子式(即伴隨矩陣的元素)。對于n×n矩陣A,求其伴隨矩陣A3,實際上歸結為計算n2各n-1級行列式,隨著矩陣階數的增大,其計算量會迅速增大,利用矩陣的初等變換,求伴隨矩陣則很容易,計算量相對很小。由矩陣的初等變換理論知,若n階方陣A可逆,則可通過對其進行初等變換求A-1,即(A|I)～初等變換(I|A-1),具有此下面定理。

一些特殊矩陣的伴隨矩陣的求法

1.三角矩陣的伴隨矩陣的求法

設矩陣

2.對稱矩陣求伴隨矩陣

設對稱矩陣為

3.單位矩陣求伴隨矩陣。單位矩陣的性質和矩陣的構造我們可以容易的看出其伴隨矩陣也為單位矩陣。

三、結束語

本文主要討論伴隨矩陣,對伴隨矩陣的定義做了補充;總結了求伴隨矩陣的一種簡單方法;再就是針對一些特殊矩陣:三角矩陣、對稱矩陣、單位陣等,根據它們的特殊構造對求伴隨矩陣進行了歸納總結。對在高職學生掌握高等數學矩陣知識,使學生能深刻理解伴隨矩陣的概念,對伴隨矩陣的解法和用途細致了解,對進一步學習矩陣,以及在理論及實際應用上有十分重要意義。

[1]孟道驥.高等代數與解析幾何第二版[M].北京:科學出版社,2007

[2]王航平.伴隨矩陣的若干性質[J].中國計量學院學報,2004,15(3):0246～0249

[3]張禾瑞.高等代數第五版[M].北京:人民教育出版設,2007

[4]北大數學系代數與幾何教研室前代數小組編.高等代數第三版[M].北京:高等教育出版社,2003

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