模型式教學(xué)
——從一道計(jì)數(shù)模型談教學(xué)

王大忠

（ 銅仁學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，貴州 銅仁 554300 ）

模型式教學(xué)
——從一道計(jì)數(shù)模型談教學(xué)

王大忠

（ 銅仁學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，貴州 銅仁 554300 ）

排列與組合不僅是組合數(shù)學(xué)的最初步知識(shí)和學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，而且也是日常生活中應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)。在組合數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，我們采用數(shù)學(xué)模型教學(xué)來(lái)教授學(xué)生，使學(xué)生能更好地掌握組合數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生進(jìn)入問(wèn)題情境，從而產(chǎn)生好奇心，形成探究愿望。從一道簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)模型出發(fā)，研究了組合數(shù)學(xué)的模型式教學(xué)。

1．前言

在數(shù)學(xué)思想中，排列與組合這一數(shù)學(xué)思想在學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)中扮演重要的角色。由于組合知識(shí)在生活生產(chǎn)中應(yīng)用的廣泛性，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就將學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)。因?yàn)槠渌季S方法的新穎性與獨(dú)特性，學(xué)習(xí)時(shí)要遵循“不重不漏”的原則，所以它又是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的不可多得的好素材。

結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，可以適當(dāng)在數(shù)學(xué)題中添加一些趣味模型元素，提高學(xué)生興趣，在激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的同時(shí)，也讓他們感受到數(shù)學(xué)的重要性。從生活實(shí)例出發(fā)到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，正是現(xiàn)行教材的編排特點(diǎn)。作為數(shù)學(xué)老師，除了教會(huì)學(xué)生學(xué)懂書(shū)本知識(shí)，進(jìn)而運(yùn)用書(shū)本知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題外，更多的是教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法，啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

先做如下符號(hào)說(shuō)明[1] 。

2．相關(guān)數(shù)學(xué)定義

則稱{ A1A2A3…Ak}是A的一個(gè)k分劃，并記為

稱Ai（1≤i≤k）為A的k分劃（1-1）的一個(gè)塊。

定義2 第二類Stirling數(shù)：一個(gè)n元集合的全部k分劃的個(gè)數(shù)叫做第二類Stirling數(shù)，記作 S(n ,k )。

3．正整數(shù)的分拆

定義3 正整數(shù)的分拆：正整數(shù)n的一個(gè)k分拆是把n表示成k個(gè)正整數(shù)的和

的一種表示法，其中 n1>0(1≤i ≤k )叫做該分拆的分部量。如果表達(dá)式（1-2）是無(wú)序的，也就是說(shuō)，對(duì)諸ni任意換位后的表示法都視為同一種表示法，這樣的分拆叫無(wú)序分拆，或者叫分拆，我們把n的k分拆記為 B(n ,k )。

基本定理[2]1：一次不定方程 x1+x2+…+xr=n的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為：其中r、n是正整數(shù)。

推論1：如果正整數(shù)n >r，r也為正整數(shù)，那么一次不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)是：或

證明：將不定方程 x1+x2+…+xr=n 化為

令 yi= xi?1，則yi≥0(i = 1,2,… ,r )，代入上式得到不定方程： y1+y2+…+yr=n?r 。

因?yàn)閚-r是正整數(shù),故據(jù)基本定理1可知：不定方程

若注意到 yi= xi?1≥0，即 xi≥1 ,便可知不定方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是：或

4．計(jì)數(shù)模型問(wèn)題

例：把n個(gè)完全不同的球放到r個(gè)完全不同的盒子里面，并且允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？

分析：這里把n個(gè)球放到r個(gè)盒子里，而且允許有空盒，那么也就是說(shuō)必須把每個(gè)球都放到一個(gè)盒子里，則一個(gè)球有r種不同的放法，那么n個(gè)球就有種不同的放法。即共有nr種分配方案。

小結(jié)：這個(gè)例題的模型共受三個(gè)條件的約束，

（1）小球是否相同；

（2）盒子是否相同；

從而，接下來(lái)將要討論改變這些條件，讓不同的條件組合在一起，看看有什么新的問(wèn)題產(chǎn)生？這些問(wèn)題又和哪些知識(shí)聯(lián)系在一起？解決這些問(wèn)題的方法是什么？

4．1．模型一

把n個(gè)完全不同的球放到r個(gè)完全相同的盒子里面，并且不允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？

分析：在這里我們將這n個(gè)不同的小球看作是一個(gè)n元集合，記為 A={x1，x2，…，xr}，將A劃分為r個(gè)非空子集，記為Ai(i = 1,2,… ,r )。然后將每個(gè)Ai(i = 1,2,… ,r )放到一個(gè)盒子里，構(gòu)成一個(gè)沒(méi)有空盒的分配方案。

這里模型一的問(wèn)題就可以看作：對(duì)于n元集A的r個(gè)非空集合Ai(i = 1,2,… ,r )，由于每一個(gè)盒子（子集）都必須裝有至少一個(gè)小球，并且小球不同，所以裝好小球后，集合A的每?jī)勺蛹卸疾怀霈F(xiàn)相同的元素（小球），即： Ai≠φ（1≤i≤r），且 Ai ∩ A j =φ（ 1≤i≠j≤r ）。而此時(shí)A恰好可以表示為：，這個(gè)是滿足定義1的，所以我們的一種分配方案就對(duì)應(yīng)集合A的一種r分劃。那么我們的全部分配方案數(shù)就是集合A的全部r分劃的個(gè)數(shù)，這是滿足定義2的，所以模型一的分配方案數(shù)共有 S(n ,r )種。

模型一就是集合的分劃與第二類Stirling數(shù)的數(shù)學(xué)模型，這是生活中實(shí)際存在的問(wèn)題，可以幫助學(xué)生加深理解集合的分劃與第二類Stirling數(shù)的定義。接下來(lái)我們?cè)谀Ｐ鸵坏幕A(chǔ)上改變條件。

4．2．模型二

把n個(gè)完全不同的球放到r個(gè)完全不同的盒子里面，并且不允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？

分析：要解決模型二這個(gè)問(wèn)題，首先來(lái)觀察一下模型一與模型二的關(guān)系，看看他們有什么相似和不同的地方。

對(duì)照組:開(kāi)腹手術(shù)。患者氣管插管全身麻醉,于下腹正中或恥骨聯(lián)合上做切口,進(jìn)腹后,根據(jù)腫瘤部位、性質(zhì)、體積,游離,完整剔除腫塊,鉗夾輸卵管、卵巢系膜,以可吸收線縫合剩余的正常卵巢及系膜并結(jié)扎,待腫瘤切除干無(wú)殘留,腹腔無(wú)出血后,關(guān)閉切口。

模型一與模型二它們只是盒子相同與否的情況不同，由于模型二中的盒子是不相同的，那么模型一中的一種方案對(duì)于模型二來(lái)說(shuō)就有r!種（和順序有關(guān)），而模型一共有 S (n ,r )種，那么模型二就有 S (n,r)? r!種。

4．3．模型三

把n個(gè)完全不同的球放到r個(gè)完全相同的盒子里面，并且允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？

分析：同樣我們觀察模型一與模型三有什么不同和相似。

模型一與模型二的差異只是允不允許有空盒，模型一是不允許有空盒，模型二是允許有空盒，那么模型三是否可以轉(zhuǎn)化為模型二的情況呢？回答是肯定的。在模型三中我們把裝好小球的盒子（非空）k (k = 1,2,… ,r )個(gè)拿出來(lái)，不考慮空的盒子。那么模型三就轉(zhuǎn)化為：把n個(gè)完全不同的球放到k（k=1，2，…，r）個(gè)完全相同的盒子里面，并且不允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？這正好是模型一的情況，只是盒子的數(shù)目不同罷了，則這樣的方案數(shù)有 S(n ,k )種。那么在模型三中共有這樣的情況r種，則模型三的方案數(shù)為

4．4．模型四

把n個(gè)完全相同的球放到r個(gè)完全相同的盒子里面，并且不允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？

分析：由于不允許有空盒，且盒子是相同的，所以r個(gè)盒子中每一個(gè)都至少有一個(gè)小球，而且放好后和盒子的順序無(wú)關(guān)，只算一種方案。

設(shè)第i (i = 1,2,… ,r )個(gè)盒子有ki（ ki≥1，ki∈Z ）個(gè)小球，則： n =k1+k2+…kr，ki（ ki≥1，ki∈Z ）。對(duì)于任意的正整數(shù)n，這恰好滿足定義3。在模型四中，由于盒子是相同的，那么就和盒子的順序無(wú)關(guān)，即： n =k1+k2+…kr，ki（ki≥1，ki∈Z ）是關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)無(wú)序分拆，那么模型四的方案數(shù)就是正整數(shù)n的r分拆數(shù)的個(gè)數(shù)：B(n, r)。

4．5．模型五

把n個(gè)完全相同的球放到r個(gè)完全相同的盒子里面，并且允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？

模型五與模型四的不同點(diǎn)在于是否允許有空盒。我們仿照前面的方法，將模型五的空盒去掉不看，只看裝好的盒子，設(shè)有k (k = 1,2,… ,r )個(gè)盒子裝了小球，那么現(xiàn)在模型五就轉(zhuǎn)化為：把n個(gè)完全相同的球放到k (k = 1,2,… ,r )個(gè)完全相同的盒子里面，并且不允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？易知，該問(wèn)題就是模型四的情況，那么其方案數(shù)為B (n, k )，而模型五有r個(gè)這樣的情況產(chǎn)生，即 k =1,2,… ,r ，那么模型五的方案數(shù)總共有：

4．6．模型六

把n個(gè)完全相同的球放到r個(gè)完全不相同的盒子里面，并且允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？

設(shè)第i (i = 1,2,… ,r )個(gè)盒子有ki個(gè)小球，盒子是允許空盒的，所以ki滿足： ki≥0，k∈Z 。又因?yàn)楹凶踊ゲ幌嗤?，所以必須考慮盒子的順序問(wèn)題，也就是說(shuō)對(duì)于模型六的一種方案，就應(yīng)該對(duì)應(yīng)正整數(shù)n分成r個(gè)分部變量的一個(gè)有序分拆：

的一個(gè)非負(fù)正整數(shù)解（ k1， k2，…， kr），相當(dāng)于將k1個(gè)小球放到第一個(gè)盒子里，將k2個(gè)球放到第二個(gè)盒子里，……，將kr個(gè)小球放到第r個(gè)盒子里。

由定理1知：模型六的總的方案數(shù)也就是不定方程（1-3）的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)：

4．7．模型七

把n個(gè)完全相同的球放到r個(gè)完全不相同的盒子里面，并且不允許有空盒，問(wèn)共有多少種分配的方案數(shù)？

對(duì)照模型六的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解不定方程：x1+x2+…xr=n的正整數(shù)解（ k1，k2，…， kr）的組數(shù)。

根據(jù)定理1的推論1及其證明可知：

模型七的總的方案數(shù)為：

5．總結(jié)

知識(shí)本身是嚴(yán)肅的，但當(dāng)人們加以運(yùn)用時(shí)，便會(huì)生發(fā)許多的情趣來(lái)，由嚴(yán)肅變?yōu)榛顫?、幽默、親切、有趣。在教學(xué)中，如果我們?cè)趥魇谥R(shí)的同時(shí)以模型點(diǎn)綴，則會(huì)使學(xué)生體驗(yàn)到知識(shí)之樂(lè)趣，這不僅有助于理解，而且有助于記憶和運(yùn)用。我們要讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)知識(shí)并不都是抽象的，而是生活中需要的，蘊(yùn)含著生活中的樂(lè)趣，這也反映了學(xué)習(xí)知識(shí)的必要性。因此，我們?nèi)绻诮虒W(xué)中善于采用模型，就會(huì)使學(xué)生體驗(yàn)到知識(shí)的樂(lè)趣。

模型式教學(xué)模式是在新形勢(shì)發(fā)展下而提出的，適應(yīng)當(dāng)今教學(xué)發(fā)展的要求。常言道，教學(xué)是一門藝術(shù)，正因?yàn)槭撬囆g(shù)，教師在教學(xué)中根據(jù)具體知識(shí)的特點(diǎn)及學(xué)生的實(shí)際來(lái)創(chuàng)設(shè)模型就尤為重要。因此，只要教師在教學(xué)中認(rèn)真貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想，一切從實(shí)際出發(fā)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，注重模型教學(xué)，就一定能使教學(xué)質(zhì)量得到提高。

[1] 孫淑玲，許胤龍．組合數(shù)學(xué)引論[M]．合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，

2008．

[2] 張炳漢．關(guān)于不定方程整數(shù)解計(jì)數(shù)問(wèn)題的討論[J]．天中學(xué)刊，2001，（5）．

[3] 王春香，李玲．《組合數(shù)學(xué)》教學(xué)指導(dǎo)[J]．高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，16（6）．

[4] 曹煒萍．?dāng)?shù)學(xué)中的趣味教學(xué)[J]．科技文匯·數(shù)學(xué)教學(xué)，2009-1（下旬刊）．

[5] 張景中，吳鶴齡．幻方及其他[M]．北京：科學(xué)出版社，2005-3．

[6] 孫俠，殷志祥等．“組合數(shù)學(xué)”課程教學(xué)規(guī)律探索[J]．今日科苑，2008，（20）．

[7] 徐建兵，李明山．《有趣的搭配》的教學(xué)設(shè)計(jì)、反思及評(píng)析[J]．網(wǎng)絡(luò)科技時(shí)代，2008，（7）．

[8] 高潔．淺談組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用與教學(xué)[J]．中國(guó)科技信息，2005，（15）．

Model Teaching from Teaching from a Counting Model

WANG Da-zhong

( Department of Mathematics and Computer Science, Tongren University, Tongren, Guizhou 554300, China)

The arrangement and combination are not only the most preliminary knowledge of combination mathematics and the base of learning probability statistics, but also used widely in daily life. In the process of teaching combination mathematics, we use mathematical models to teach to let students can better grasp the knowledge of combination mathematicsl, stimulate their desire for knowledge, enable them to enter the problem situation, create their curiosity and form the desire of exploration. In this paper, the model teaching of combinatorial mathematics is researched beginning from a simple counting model.

model teaching of combination mathematics; set partition; the second kind of Stirling number; partition of positive integer; first-order indefinite equation （責(zé)任編輯 毛志）

A

1673-9639 (2010) 03-0128-03

2010-06-24

王大忠（1987-），男，貴州開(kāi)陽(yáng)縣人，貴州省銅仁學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系學(xué)生。