加工中心龍門磁懸浮高度的滑模控制*

王麗梅 安明偉 劉春芳

（沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽 110023）

加工中心龍門磁懸浮高度的滑模控制*

王麗梅 安明偉 劉春芳

（沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽 110023）

針對龍門加工中心中的移動橫梁，提出了采用磁懸浮技術(shù)，實現(xiàn)無摩擦驅(qū)動的新型控制方案。根據(jù)所建立的橫梁磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用基于微分幾何的反饋線性化方法將非線性的電磁懸浮系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，然后利用積分滑模控制器來對整個系統(tǒng)進(jìn)行魯棒控制。仿真研究結(jié)果表明，與傳統(tǒng)控制方法相比，系統(tǒng)具有很強的抗擾性和較高的剛度，橫梁能夠?qū)崿F(xiàn)無摩擦穩(wěn)定懸浮。

磁懸浮系統(tǒng);非線性控制;反饋線性化;滑模變結(jié)構(gòu)

隨著現(xiàn)代控制理論和電子技術(shù)的發(fā)展，對磁懸浮技術(shù)的研究已經(jīng)進(jìn)入了一個新的時代。磁懸浮列車和磁懸浮平臺等技術(shù)都已成功應(yīng)用磁懸浮原理，而將磁懸浮技術(shù)應(yīng)用于加工中心的研究還很少。在傳統(tǒng)的龍門移動式加工中心中，移動部件和靜止導(dǎo)軌之間存在著摩擦，限制了機床精度的提高。由于高精度加工技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)用磁懸浮技術(shù)以電磁鐵和靜止導(dǎo)軌之間產(chǎn)生的吸力為基礎(chǔ)將龍門加工中心的橫梁懸浮在靜止導(dǎo)軌上方，同時采用永磁直線電動機進(jìn)行推進(jìn)驅(qū)動即能夠?qū)崿F(xiàn)高精度定位，如圖1所示。

本文采用反饋線性化的方法對模型進(jìn)行線性簡化，建立的模型是以電壓作為輸入控制量的三階系統(tǒng)。反饋線性化是一種全局線性化方法，它不受平衡點選取的制約，在線性化過程中沒有忽略掉任何非線性項，可以保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定。機床的懸浮橫梁在實際運行中，要受到或弱或強的外界干擾的影響，且由于所建模型的不確定性，控制對象參數(shù)選擇的誤差以及測量誤差等也都將對系統(tǒng)形成干擾。針對這個問題設(shè)計了積分滑模控制器，抑制各種干擾。滑模變結(jié)構(gòu)控制的最大優(yōu)點是系統(tǒng)一旦進(jìn)入滑模區(qū)，系統(tǒng)狀態(tài)就不再受到參數(shù)變化和外界擾動的影響，具有完全的自適應(yīng)性和魯棒性。而且控制器中存在積分環(huán)節(jié)，可以用來消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高整個控制系統(tǒng)的精度。

1 單電磁懸浮系統(tǒng)模型及線性化方法

1.1 數(shù)學(xué)模型

龍門移動式橫梁兩端垂直同步懸浮，除了要求懸浮的高剛度以外，還要保證懸浮的同步性、穩(wěn)定性和精確性。這里只對單電磁懸浮系統(tǒng)給予控制，保證懸浮的精確度和穩(wěn)定性。電磁鐵結(jié)構(gòu)如圖2所示，上端為導(dǎo)軌，下面是電磁鐵繞有通電線圈。

假設(shè)系統(tǒng)忽略漏磁通，忽略電磁鐵和導(dǎo)軌中的電阻，認(rèn)為磁勢均勻降在氣隙上，并且認(rèn)為電磁鐵只在垂直方向上有運動。單電磁鐵的數(shù)學(xué)模型為

式中，δ（t）為懸浮間隙;F（i，δ）為電磁吸力;m為懸浮橫梁的質(zhì)量，fd（t）為干擾;i（t）為控制線圈的電流;u（t）為控制線圈兩端的電壓;μ0=4π×10－7為真空磁導(dǎo)率;A為鐵心面積;N為電磁鐵繞組匝數(shù)。

1.2 反饋線性化方法

選取x=［x1x2x3］=［δ˙δi］T作為狀態(tài)變量并設(shè)k=μ0N2A/4，選擇輸出y=δ=x1，可得系統(tǒng)的非線性狀態(tài)空間方程為

那么非線性狀態(tài)空間方程（4）可以寫為

選取反饋規(guī)律：u=α（x）+β（x）v

設(shè)線性狀態(tài)變量為z=［z1z2z3］，則得到線性化后的狀態(tài)變量與原系統(tǒng)的狀態(tài)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

電壓控制模型主要是將原系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化成為三階線性系統(tǒng)，大大的簡化了系統(tǒng)模型。電壓控制模型是通過控制電壓來實現(xiàn)對磁懸浮力的控制。圖3表示線性化后的系統(tǒng)開環(huán)結(jié)構(gòu)圖。

2 積分滑模控制器的設(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)響應(yīng)快，對系統(tǒng)參數(shù)和外部干擾呈不變性，可保證系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。尤其算法簡單，易于工程實現(xiàn)。其缺點是存在抖動和需知不確定參數(shù)的上下界等問題。

滑模變結(jié)構(gòu)控制可分為兩個階段：首先是確保系統(tǒng)運動在有限時間內(nèi)從任意初態(tài)到達(dá)滑模面;其次是系統(tǒng)在控制律的作用下保持滑模運動。滑模控制器的設(shè)計分為兩步：選擇切換函數(shù)并確定其系數(shù)，使滑動模態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定且有良好的品質(zhì);確定變結(jié)構(gòu)控制律，滿足到達(dá)條件，形成滑動模態(tài)區(qū)。由此，切換函數(shù)和變結(jié)構(gòu)控制率兩部分組成了滑模變結(jié)構(gòu)控制的核心。

首先設(shè)計切換函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)所期望的動態(tài)特性來設(shè)計切換面，使得所設(shè)計的控制器有良好的控制性能，以便在非滑模區(qū)的系統(tǒng)狀態(tài)能夠快速穩(wěn)定地到達(dá)滑模面。切換函數(shù)的設(shè)計有很多種，本文中采用了極點配置法。

假設(shè)參考懸浮系統(tǒng)實際輸出的懸浮氣隙為y，期望輸出的懸浮氣隙為yd。定義懸浮位置誤差為e，且

其中，c0、c1和c2為滑模面系數(shù)，是三個正常數(shù)，表示各項在控制器中的權(quán)重。

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行滑模運動時，滿足：

veq稱為等效控制，能夠保證滑動模態(tài)存在，即它是強迫系統(tǒng)沿切換面運動所需的控制力。

將式（10）代入式（13），得到：

當(dāng)系統(tǒng)存在外部擾動或不確定性時，等效控制不能實現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒性，需要加入切換控制vs。為了實現(xiàn)滑模運動，要求系統(tǒng)必須滿足能達(dá)條件：s˙s≤0。

用李亞普諾夫法進(jìn)行驗證。構(gòu)建李亞普諾夫函數(shù)：

此函數(shù)是半正定的，要求其導(dǎo)數(shù)˙V=s˙s≤0，便可以滿足能達(dá)條件。選取指數(shù)趨近率：

其中ε和λ是正常數(shù)。

符號函數(shù)定義為

則將式（17）代入V的導(dǎo)數(shù)˙V=－s［εsgn（s）+λs］≤0中，滿足到達(dá)條件。

根據(jù)式（13）和（17）相等，得出：

其中，vs= －εsgn（s）－λs。

等效控制與切換控制共同組成了滑模變結(jié)構(gòu)控制的控制率，滑模變結(jié)構(gòu)控制率由兩部分組成veq和vs。

3 仿真

為了實現(xiàn)機床高加工精度的目標(biāo)，將橫梁懸浮起來，要求所設(shè)計的滑模控制器能夠使橫梁穩(wěn)定地懸浮在2 mm處，并在有擾動影響的情況下具有很強的魯棒性。根據(jù)上面所設(shè)計的控制器，利用MATLAB/Simulink進(jìn)行仿真。系統(tǒng)參數(shù)見表1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

在仿真過程中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和滑模面及控制率中的參數(shù)有密切的關(guān)系，要選取適當(dāng)?shù)膋和ε，才能達(dá)到較好的控制效果。圖4是滑模面和滑模運動的曲線圖。當(dāng)k=40，ε=5時，滑模面s=0以及系統(tǒng)到達(dá)滑模面和在面上的運動曲線。

當(dāng)系統(tǒng)加入脈沖擾動時，輸出響應(yīng)如圖5所示。在0.3 s時加入擾動后，懸浮氣隙和懸浮位置誤差產(chǎn)生振蕩，在0.1 s內(nèi)又恢復(fù)穩(wěn)定，具有很強的魯棒性。

圖6是將積分滑模控制與傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制方法進(jìn)行了比較。圖6a為懸浮氣隙的輸出，從圖中可以看到，積分滑模控制器的快速性比傳統(tǒng)控制器要好，超調(diào)小，精度高，擾動引起的振蕩小，調(diào)節(jié)時間短。而傳統(tǒng)控制器雖然能夠消除擾動對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，振蕩后也可以恢復(fù)到給定值，但是振蕩時間要長。圖6b是控制電流的輸出曲線，同樣在0.25 s時加入的脈沖擾動使得電流產(chǎn)生了很大的振蕩。

滑模變結(jié)構(gòu)控制可保證系統(tǒng)穩(wěn)定，是一種魯棒性強，穩(wěn)定性好，超調(diào)小，響應(yīng)速度快的控制方法。滑模控制對被控對象的數(shù)學(xué)模型不作精確的要求，在一定的范圍內(nèi)參數(shù)的攝動不會給系統(tǒng)帶來影響，并能有效地抑制外加干擾。

4 結(jié)語

本文在龍門移動式加工中心中引入了磁懸浮技術(shù)，徹底消除了摩擦，并采用了基于反饋線性化的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法對磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制，懸浮橫梁可以平穩(wěn)地上浮，且在較短時間內(nèi)達(dá)到平衡。與傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋方法相比，無超調(diào)，響應(yīng)速度快且能夠有效地抑制干擾。系統(tǒng)的參數(shù)變化以及添加的外部擾動對輸出的影響不大，即系統(tǒng)具有較強的魯棒性。

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3 王麗梅，石佳.基于反饋線性化的龍門數(shù)控機床磁懸浮系統(tǒng)滑模魯棒控制［J］.機床與液壓，2008，36（5）：254～256

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8 Jinunshian Phuah，Jianming Lu.Chattering Free Sliding Mode Control in Magnetic Levitation System［J］.IEEJ Trans.EIS，2005，125（4）：600 －605

聯(lián)系作者：劉春芳，女，1975年生，副教授，博士，研究方向：伺服系統(tǒng)、魯棒控制及計算機仿真。

（編輯 余 捷）

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Sliding Mode Control of Magnetic Levitation Used in Gantry Machine Tool

WANG Limei，AN Mingwei，LIU Chunfang
（School of Electrical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110023，CHN）

This paper adopts magnetic levitation technology for the moving crossbeam of the gantry NC machine tool in order to achieve non－friction control.Based on the mathematical model of the maglev system，the nonlinear model can be transferred into linear model by using feedback linearization method.Then the robustness of the entire system is implemented according to the integral sliding mode controller.The results of simulation show the system has powerful ability of suppressing disturbance and high rigidity which is superior to the traditional control method.The crossbeam can achieve steady levitation.

Magnetic Levitation System;Nonlinear Control;Feedback Linearization;Sliding Mode Variable Structure Control

TP273

A

* 國家自然科學(xué)基金項目（50805098）

2009―06―08）

10215