超混沌LC振蕩電路的混合反饋同步與保密通信

戶永清

（四川文理學(xué)院，四川 達(dá)州 635000）

0 引言

自從Pecora和Carroll提出利用混沌同步進(jìn)行保密通信和信息處理的實(shí)驗(yàn)方案后，相繼出現(xiàn)了多種基于同步混沌實(shí)現(xiàn)保密通信的方法。由于混沌系統(tǒng)對初值的極端敏感性、內(nèi)隨機(jī)性、類噪聲性、寬帶功率譜和快速衰減的相關(guān)函數(shù)，使得其特別適合于采用寬譜發(fā)射來實(shí)現(xiàn)保密通信。但是，目前大部分混沌同步方案還只是停留在具有一個(gè)正的 Lyapunov指數(shù)的弱混沌系統(tǒng)上，而具有兩個(gè)及其以上正的 Lyapunov指數(shù)的超混沌系統(tǒng)，由于其至少在一個(gè)環(huán)面上產(chǎn)生收縮和發(fā)散，因而相對于一般的混沌系統(tǒng)有著更為復(fù)雜的動力學(xué)行為[1]。因此，利用超混沌系統(tǒng)的同步來進(jìn)行通信比一般的混沌通信具有更好的保密性、更大的存儲容量、信息處理能力和更強(qiáng)的魯棒性[2]。基于上述原因，現(xiàn)在超混沌電感電容振蕩電路的基礎(chǔ)上提出了一種線性和非線性混合反饋同步方案，通過設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)對系統(tǒng)同步的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得出了穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)反饋強(qiáng)度的臨界值。同時(shí)，針對一般的混沌同步通信只能傳輸能量極小的信號、有用信號浮在混沌載體上而不是融入到混沌載體中[3]、信號極易被破譯等一系列問題，通過利用上述同步方案將有用的信息信號注入到混沌信號中，使有用信號和混沌載波信號融合在一起，既增強(qiáng)了通信的保密性，同時(shí)也提高了傳輸信號的能量和通信系統(tǒng)的效率。

1 超混沌LC振蕩電路的混合反饋同步

簡單的超混沌LC振蕩電路模型是由A.Tamasevicius等人[4]提出的，它由運(yùn)算放大器構(gòu)成負(fù)阻元件。其無量綱動力學(xué)方程描述如下：

式中為a、b、c、d、u和ε為系統(tǒng)參數(shù)，H(·)為階躍函數(shù)。經(jīng)文獻(xiàn)[4]研究,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為： a=0.6，b=0.05，c=0.015，d=10，u=0.3，ε=0.33時(shí)，超混沌LC振蕩系統(tǒng)（1）有兩個(gè)正的 Lyapunov指數(shù)：λ1=0.11，λ2=0.06，此時(shí)系統(tǒng)處于超混沌運(yùn)動狀態(tài)。

在式（1）的基礎(chǔ)上，通過運(yùn)用線性和非線性混合反饋控制的方法，構(gòu)造如下的響應(yīng)系統(tǒng)：

令軌道誤差滿足：

則誤差動力學(xué)系統(tǒng)為：

于是，超混沌LC振蕩電路的同步問題就等價(jià)于誤差系統(tǒng)（4）在零點(diǎn)的穩(wěn)定性問題。構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

式（6）中b，c，d均大于0，若要式（6）為負(fù)值，則只需a ＜ p 即可。當(dāng) a ＜ p 時(shí)，有 E˙＜ 0，根據(jù) Lyapunov 穩(wěn)定性定理可知式（4）零解漸近穩(wěn)定。即當(dāng) t→∞時(shí)，Y→X，響應(yīng)系統(tǒng)（2）和驅(qū)動系統(tǒng)（1）達(dá)到同步。

為了驗(yàn)證上述理論分析的正確性，通過運(yùn)用四階龍格一庫塔法進(jìn)行數(shù)值模擬。其中驅(qū)動系統(tǒng)（1）的初值取為（0.5,0.2,0.1,0.3），響應(yīng)系統(tǒng)（2）的初值取為（10.1,8.2,15.3,12.4）,p =10.0，積分步長為0.001（以下均同），定義為同步誤差。數(shù)值模擬結(jié)果如圖1和圖2所示。圖1為同步過程中的誤差曲線，圖2為同步后狀態(tài)變量x1-y1的相圖。可見，只需很短的時(shí)間同步誤差就收斂為零，兩系統(tǒng)就可以實(shí)現(xiàn)精確同步。

圖1 同步過程中的誤差曲線

圖2 同步后狀態(tài)變量x1-y1的相圖

2 超混沌電路注入式保密通信

對于一般的混沌掩蓋保密通信，有用信號只是疊加在從發(fā)射系統(tǒng)發(fā)射出來的混沌信號上，即浮在混沌載體上，而不是融入到產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)中，從而保密性能差，信號極易被破譯。而且所攜帶的信號強(qiáng)度不能很大，否則發(fā)送系統(tǒng)和接收系統(tǒng)根本無法獲得同步，這就導(dǎo)致通信系統(tǒng)的信噪比低，傳輸信號容易受信道噪聲的干擾，稍大的噪聲就會使接收端的信噪比減小，因而很難適應(yīng)于工程應(yīng)用。利用超混沌系統(tǒng)的同步，通過將信號直接注入到發(fā)射系統(tǒng)來進(jìn)行保密通信，這樣信息信號就融入到混沌載波信號中，有效地解決了上述問題。

具體方法描述如下：

考慮給定的n維混沌動力學(xué)系統(tǒng)

采用注入式保密通信方案時(shí)，設(shè)計(jì)發(fā)射端混沌系統(tǒng)、發(fā)射信號、接收端混沌系統(tǒng)和解調(diào)信號分別為：發(fā)射系統(tǒng)：

發(fā)射信號：

接收系統(tǒng)：

解調(diào)信號：

式中，m( t)為信息信號，S( t)為傳輸信號，m′( t)為解調(diào)信號， K ∈ Rn×1為反饋矢量，G∈R為發(fā)射系統(tǒng)輸出信號，G′∈R為接收系統(tǒng)輸出信號，C ∈ R1×n為輸出矢量系數(shù)矩陣。

對于四階超混沌LC振蕩電路，選取C =（1,0,0,0），K =(k,0,0,0)T。采用基于混合反饋的混沌同步注入式保密通信方案時(shí)，相應(yīng)的發(fā)射系統(tǒng)、發(fā)射信號、接收系統(tǒng)和解調(diào)信號分別如下式（12）、式（13）、式（14）、式（15）示：

發(fā)射系統(tǒng)：

發(fā)射信號：

接收系統(tǒng)：

解調(diào)信號：

由條件 Lyapunov指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)可知：當(dāng)響應(yīng)系統(tǒng)的所有條件 Lyapunov指數(shù)都為負(fù)值時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)達(dá)到同步，這是保密通信方案設(shè)計(jì)的前提。為了確定響應(yīng)系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)為負(fù)時(shí)反饋強(qiáng)度的取值范圍，利用四階龍格一庫塔法對上述過程進(jìn)行模擬仿真。假設(shè)信息信號圖3(a)、圖3(b)分別給出了A =10.0和A =100.0時(shí)反饋強(qiáng)度k與響應(yīng)系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)的關(guān)系曲線。由圖 3(a)、圖 3(b)可知：在保證信息信號無失真恢復(fù)的條件下，信息信號能量較小時(shí)(如A=10.0)，k的取值范圍較寬；能量較大時(shí)(如 A =100.0 )，k的取值范圍較窄，例如當(dāng) k＞18.1時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)為正，此時(shí)兩系統(tǒng)將無法達(dá)到同步。

圖3 響應(yīng)系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)和k的關(guān)系曲線圖

根據(jù)圖 3(a)、圖 3(b)所示的條件 Lyapunov指數(shù)的計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)信息信號的幅度分別為A =10.0和A =100.0時(shí)，取k =10.95，兩個(gè)系統(tǒng)能夠達(dá)到混沌同步。首先在無噪聲的情況下進(jìn)行保密通信仿真，A=10.0數(shù)值仿真結(jié)果如圖4所示（A =100.0的仿真結(jié)果圖略）。由圖4所示，信息信號得到了無失真恢復(fù)，且發(fā)射信號相對于信息信號已完全改觀，這就證明設(shè)計(jì)方案是有效的。

圖4 信息信號m(t)=10.0cos(0.5t)

式中(0,1)σ為零均值，寬度為1的隨機(jī)噪聲，r為噪聲強(qiáng)度。疊加噪聲后信號解調(diào)結(jié)果分別如圖 5（a）和圖 5（b）所示。圖(5a)示出了傳輸信號 m(t)=10.0cos(0.5 t)時(shí)，信噪比為22 dB時(shí)信號的解調(diào)結(jié)果 m"(t)，圖 5（b）示出了傳輸信號

考慮到這些過程時(shí)是以理想信道為前提的，然而信號在實(shí)際傳輸過程中往往會受到信道噪聲的干擾，稍大的噪聲就會嚴(yán)重地影響到通信的質(zhì)量。為了證明本方法對噪聲有一定的魯棒性，對有噪聲的情況進(jìn)行了分析和討論，研究了發(fā)射端信號疊加性噪聲的情形。即：m(t)=100.0cos(0.5 t)時(shí)，信噪比為 32 dB時(shí)信號的解調(diào)結(jié)果m"(t)。由圖5可見，信息信號得到了很好的恢復(fù)，提出的方法具有一定的抗噪聲能力。

圖5 加入噪聲后的解調(diào)信號m"(t)

3 結(jié)語

在通信中，為了防止信號被破譯和得到無失真恢復(fù)，要求接收系統(tǒng)與發(fā)射系統(tǒng)同步建立時(shí)間較短[5]。利用線性和非線性混合反饋實(shí)現(xiàn)超混沌系統(tǒng)的同步，且同步前的暫態(tài)過程較短。同時(shí)，通過采用信號的注入式通信方式設(shè)計(jì)混沌通信系統(tǒng)，使有用信號與混沌信號融合在一起，增強(qiáng)了系統(tǒng)的保密性，提高了傳送有用信息信號的能量和通信的效率，且信號恢復(fù)失真小，因而使得這種保密通信方案適用于工程實(shí)踐，有一定的實(shí)用價(jià)值。

[1] 韓春艷.一個(gè)產(chǎn)生復(fù)雜PR序列的自動切換混沌系統(tǒng)[J].通信技術(shù)，2009,42（06）：105-107.

[2] 趙耿，方錦清.現(xiàn)代信息安全與混沌保密通信應(yīng)用研究進(jìn)展[J].物理學(xué)進(jìn)展，2003,23(02)：212-255.

[3] 關(guān)新平,范正平,陳彩蓮,等.混沌控制及其在保密通信中的應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社,2002：5-7.

[4] TAMASEVICIUS A，NAMAJUNAS A，CENYS A. Simple 4D Chaotic Oscillator[J]. lectron Lett，1996，32(11)：955-957.

[5]馬軍,蒲忠勝,黎鎖平.一類超混沌系統(tǒng)的廣義同步研究[J].電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào)，2007(04)：20-23.