從時域和頻域兩種角度探討卷積積分

楊永生, 趙梅

(蘇州科技學院電子與信息工程學院,江蘇蘇州,215011)

0 引言

信號與系統是電氣工程及其自動化、電子信息科學與技術以及通信信息工程等專業的專業基礎課程,對后繼課程的學習起到承前啟后的作用[1-6]。在《信號與系統》這門課程中,主要從時域和頻域兩個角度分別來講授確定性信號和線性時不變(LTI)系統的分析方法。在分析線性系統過程中,知道卷積運算將輸入信號、輸出信號以及沖激響應三者之間聯系起來,主要有時域和頻域兩種計算方法。在時域法中,涉及到信號的平移、反轉運算以及沖激響應的概念;而在頻域法中,涉及到信號的傅里葉變換和頻率響應的概念。可以看出,卷積運算將各種物理概念、分析方法以及知識點有機地銜接起來,是培養學生綜合能力的一個重要方面。但是,在筆者多年的教學實踐過程中,發現學生需要一個強化的學習過程才能夠掌握卷積運算。要想真正理解卷積的物理含義及其應用,更是需要一個漫長的過程。為了能夠保證學生運用卷積來解決工程實際問題,需要掌握扎實的理論基礎。

1 時域法求解卷積

對任意兩個信號f1(t)和f2(t),卷積的定義為：

為了方便起見,通常記作：

其中,“*”表示卷積運算。從式(1)可以看出,卷積是一種特殊的積分,它服從交換律、分配律和結合律。對信號來講,其物理含義是可將任意的信號分解為無窮多個沖激信號之和,即：

根據 LTI系統理論,若沖激響應為 h(t),輸入信號 f(t),則系統的零狀態響應 y(t)為：

式(3)表明,輸出信號可表示為輸入信號與沖激響應的卷積。依據卷積的定義,可以看出,其計算步驟為,

① 將變量 t改為 τ,則信號的自變量為 τ,即 f1(τ)和f2(τ);

②將信號 f2(τ)反轉,并作平移運算,其平移量為 t,得信號 f2(t-τ);

③將信號 f1(τ)與 f2(t-τ)相乘;

④對乘積項進行積分,積分限為 [-∞,∞],即 f(t)=

需要注意的是,步驟②信號f2(t-τ)的平移量 t決定信號 f1(τ)和信號 f2(t-τ)之間是否有重疊區域,如果有重疊區域,那么要確定步驟④中的積分上、下限,然后進行積分;如果沒有重疊區域,則卷積為零。由于兩信號在時間軸上的關系可分為部分重疊、完全重疊和無重疊三種情況,因此計算卷積的關鍵問題是找出兩信號的重疊區域,確定積分上、下限。采用圖解法可以直觀地來說明卷積運算的全過程。對于兩個有限長的信號 f1(τ)和 f2(-τ),如圖 1所示。

圖 1 信號 f1(τ)和 f2(-τ)

隨著平移量 t的不同,信號 f2(t-τ)在時間軸 τ的位置變化情況如圖 2所示。當 t+t2＜t1時,信號 f2(t-τ)的前端還未進入信號 f1(τ)的末端,如圖 2(a)所示。此時兩信號沒有重疊區域,卷積為零。當 t+t2＜t1且 t+t3＜t1時,信號f2(t-τ)的前端已進入信號 f1(τ)里,但信號 f2(t-τ)的末端還在信號 f1(τ)的外面,如圖 2(b)所示。此時兩信號是部分重疊,積分限為[t1,t+t2]。當 t+t3＞t1且 t+t2＜t0時,信號 f2(t-τ)全部進入信號 f1(τ)中,如圖 2(c)所示。此時信號 f2(t-τ)完全進入信號 f1(τ)中,積分限為[t+t3,t+t2]。當 t+t3＜t0且 t+t2＞t0時,信號 f2(t-τ)的前端已部分移出信號 f1(τ)中,如圖 2(d)所示。此時兩信號是部分重疊,積分限為[t+t3,t0]。當 t+t3＞t0時,信號 f2(t-τ)的末端已移出信號 f1(τ),如圖 2(e)所示。此時兩信號沒有重疊區域,卷積為零。

2 頻域法求解卷積

圖 2 信號的卷積運算

對任意兩個信號 f1(t)和 f2(t),若信號 f1(t)的Fourier變換記為 F1(jω),信號 f2(t)Fourier變換記為 F2(jω),則

從式(5)可以看出,時域的卷積運算與頻域的乘法運算相對應。眾所周知,FFT是Fourier變換的一種快速算法,其運算量為logN。若信號 f(t)和 f(t)長度均為 N,則時域的212卷積運算量為 N2,而采用 FFT計算,其總的運算量為 2N+3Nlog2(2N)。表 1為時域法和頻域法卷積運算量的比較。當N較大時,頻域法的運算效率可提高一個數量級。

在分析 LTI系統時,結合式(4)和式(5),LTI系統的輸出響應為：

式(6)是LTI系統的頻域分析方法的理論依據,在濾波器的設計、頻率響應的分析以及無失真傳輸等方面廣泛應用。

表 1 時域法和頻域法卷積運算量的比較

3 結語

分析了時域法和頻域法計算卷積的特點,并運用圖示方法闡述時域法計算卷積積分的全過程,這有利于學生的學習和理解。但在實際工程中,由于該方法運算效率較低而未廣泛采用,通常采用Fourier變換的方法來提高其運算效率。對于線性時不變系統來講,激勵信號、沖激響應以及輸出信號是通過卷積運算相聯系的。而在雷達和通信領域中的盲源分離、系統辨識以及信號估計等問題常遇到的是時變系統,因此快速解卷積算法需要進一步的研究。

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