非線性彎曲波攝動后的混沌行為

張善元,劉志芳,張 濤

(太原理工大學應用力學與生物醫學工程研究所,太原030024)

比較式(20)和(21),則有

相應的Melnikov函數為

其中 f∧g=f 1 g2-f 2g1.由于g1=0,上式變成

其中

其中

從20世紀60年代起,孤子和混沌在許多領域得到了廣泛的研究和應用。從數學上來看,兩者都是非線性的產物,然而孤子和混沌分處完全可積分和不可積分系統的兩個極端,它們的運動形態呈現出截然不同的行為。孤子解是一種穩定的行波解,兩孤子間的作用表現出猶如粒子碰撞一樣的守恒性質;而混沌解卻對初始條件表現出極度的敏感性,以至系統的長期行為不可預測。一般孤子解是在Hamilton系統討論的,如果該系統受到攝動(如阻尼、外力等的作用),運動將如何演化?這是一個很自然的問題。另外,在這兩類問題的定性分析中,在一定條件下都可能出現同宿或異宿軌道。在非線性波的問題中,同宿軌道對應著孤立波,異宿軌道對應著沖擊波;而在混沌研究中,同(異)宿軌道的破裂將是通向混沌運動的一個途徑。由此可以得到啟示,兩類貌似截然不同的非線性運動現象,將有可能在某些方面有所聯系,這正是本文工作的一個基本出發點。

同流體力學、等離子物理現象以及光學領域相比,對固體結構中非線性波的研究工作相對要少得多,而且集中于一維非線性縱波的研究。最近,作者討論了有限撓度梁中非線性彎曲波的傳播特性[1-3],得到了精確的周期波解及孤立波解。一個實際的梁結構,或多或少會有阻尼耗散,同時常常受到外加載荷的激勵。容易想到,阻尼和外加載荷的引入,會導致同(異)宿軌道的破壞,甚至到一定程度有可能出現橫截同(異)宿點。本文在討論有限撓度梁中非線性彎曲波傳播特性的基礎上[1],引入外加載荷和阻尼對系統的攝動,利用Melnikov函數[4-6],給出了橫截同(異)宿點出現的閾值條件,從而表明系統具有Smale馬蹄意義下的混沌性質。為了得到Melnikov函數的一個明確表達式以揭示孤立波(沖擊波)進入混沌運動的機制,我們取外部激勵為

的特殊形式[7],這并不改變問題的固有性質。

1 Timoshenko梁的運動方程及簡化

Timoshenko梁理論認為梁的撓度w由兩部分組成,即

其中,w b和w s分別是由彎曲變形和剪切變形產生的撓度。式(1)對 x求偏導,則有

軸向平衡

橫向平衡

轉動平衡

式中,M,Q,N分別為梁截面上的彎矩、剪力和軸力;u和w分別為梁中面上任意點的軸向和橫向位移;(′)表示對x求偏導;(?)表示對時間 t求偏導。在得到以上方程時認為梁是保守系統,沒有考慮阻尼力的作用。在實際問題中,阻尼是不可避免的,然而準確地考慮阻尼作用是一件復雜的事情,這里假定阻尼力與橫向運動速度成正比,即在(4)式右端增加一項v w?,其中v是阻尼系數。梁的幾何方程除(2)以外,尚包括梁的曲率—撓度關系

以及梁的中面伸長—位移關系

梁的本構關系假定為線性,則

式中,μ是與截面形狀有關的因子(μ＜1)。將本構關系(8)、(9)、(10)和幾何方程(6)、(7)代入到平衡方程中,不難得到支配 Timoshenko梁中彎曲波的非線性偏微分方程組

采用行波法求解,假定

其中,k和c為常數,k為波數,c為波速。參照文獻[1]的步驟,完成積分,消去u和 Ψ,可將偏微分方程組(11)轉化為一個φ關于ξ的常微分方程：2

其中

若不計外加載荷與阻尼的作用,得到式(12)的派生方程

文獻[1]中的定性分析表明,式(14)在相平面上存在異宿軌道,它對應著沖擊波解。進而利用齊次平衡原理和Jacobi橢圓函數展開,給出了式(14)的沖擊波解

2 Melnikov函數求解

為分析非線性彎曲波攝動后的混沌行為,現討論具有外加載荷和阻尼項的方程(12)。根據文獻[1],當m→1時,k2→δT1/2,式(12)可以改寫為

其中,ε為一小參數,式(16)最終可以寫成

比較式(20)和(21),則有

相應的Melnikov函數為

其中 f∧g=f 1 g2-f 2g1.由于g1=0,上式變成

將式(15)帶入到式(24),其中式(15)右邊取負號,則有

式(25)中第一項積分利用留數定理可以得到,第二項積分由于被積函數為奇函數而得零。于是有

第三、四項積分經簡單運算可得：

將I 1,I2,I3和I4代入到式(25)得：

由式(17),有

從而式(26)變成

根據Melnikov準則,當

時,M(θ)有簡單零點,由此表明系統在一定條件下會出現Smale馬蹄意義下的混沌。

3 Rayleigh修正梁

對于Rayleigh修正的梁理論,不計剪切變形,即φ-Ψ=0,此時Q只能參加力的平衡,而不能作為廣義內力。于是式(12)簡化為由兩個方程組成的非線性偏微分方程組

采用行波法求解,參照文獻[1]的步驟,可將偏微分方程組(30)化為φ關于ξ的常微分方程

其中

如果略去外部激勵和阻尼的影響,則得到式(31)的派生方程為

在文獻[1]中,通過對式(33)定性分析,表明系統在相平面上存在同宿軌道,它對應著孤立波解,通過Jacobi橢圓余弦函數展開給出了式(33)的孤立波解：

仿照第3節的討論步驟,不難完成外加載荷和阻尼對同宿軌道的攝動分析。由Melnikov函數同樣可以得到系統(31)出現Smale馬蹄意義下的混沌的閾值條件：

其中

4 Bernoulli-Euler梁

對于經典的Bernoulli-Euler梁理論,不計剪切變形和轉動慣性的影響,其支配方程只需略去方程(30)中的r2″項便可得：

采用行波解法求解,完成必要的積分,偏微分方程組(36)最終可化為

其中

若略去外部激勵和阻尼的作用,則式(37)簡化為如下自治系統

在文獻[1]中,已經證得該自治系統在相平面上存在異宿軌道,它對應著沖擊波解。進一步采用Jacobi橢圓正弦函數展開,得到了式(39)的沖擊波解：

利用Melnikov函數和解(40),可得系統(37)出現Smale馬蹄意義下的混沌的閾值條件：

5 結果與討論

1)作者在文獻[1]中研究了無限長Timoshenko梁、Rayleigh修正梁和 Bernoulli-Euler梁中非線性彎曲波的傳播,結果表明,在一定條件下會形成孤立波或沖擊波。本文在此基礎上,引入外加載荷和阻尼對同(異)宿軌道的攝動,利用Melnikov方法給出了橫截同(異)宿點出現的閾值條件,表明在一定條件下系統可能出現Smale馬蹄意義下的混沌,從而揭示了孤波與混沌兩大類非線性現象之間內在的本質聯系。

2)在對時域混沌問題研究時,利用Melnikov方法得到混沌條件后,通常還要選擇某些特定參數計算相軌跡圖、時程曲線和poincaré映射,可以給出混沌運動的具體信息。本文不關心混沌運動的具體細節,所以沒有進行更多的數值計算,而重點是在揭示兩類非線性現象之間的關聯。

3)梁是固體結構中最常用的結構元件之一,關于梁中非線性彎曲波的研究無論是在學術上還是在應用上都有重要意義。目前尚未看到他人在這方面的工作。本文利用文獻[1]得到的沖擊波解和孤立波解,引入了阻尼和外加載荷對系統的攝動作用,顯然這種引入在物理上是很自然的,在實踐中是合理的。

[1] 張濤,劉志芳,張善元.三類有限撓度梁中的非線性彎曲波[J].太原理工大學學報,2009,40(4)：440-445.

[2] Zhang Shanyuan,Liu Zhifang.Three kinds of nonlinear dispersive waves in finite deformation elastic rods[J].Ap pl Math M ech,2008,29(7)：909-917.

[3] Zhang Shanyuan,Liu Zhifang,Lu Guoyun.Nonlinear flexural waves in large-deflection beams[J].Acta Mechanica Solida sinica,2009,22(4)：287-294.

[4] 劉曾榮.混沌的微擾判據[M].上海：上海科技出版社,1994.

[5] Nayfeh A H,Balachand ran B.Ap plied Nonlinear Dynamics[M].New York：John Wiley and Sons,1995.

[6] M elnikov V K.On the stability of the center for time periodic peturbations[J].Trans Moscow Math Soc,1963,12：1-57.

[7] Blyuss K B.Chaotic behavior of the solutions to a perturbed Korteweg-de Vries equation[J].Reports on Mathematical Physics,2002,49：29-38.