Ham ilton系統Noether理論的新型逆問題

丁光濤

(安徽師范大學物理與電子信息學院，蕪湖 241000)

(2009年5月24日收到；2009年6月19日收到修改稿)

Ham ilton系統Noether理論的新型逆問題

丁光濤?

(安徽師范大學物理與電子信息學院，蕪湖 241000)

(2009年5月24日收到；2009年6月19日收到修改稿)

研究Hamilton系統Noether理論新型的逆問題，得到利用Noether理論從已知的第一積分構建Hamilton函數和對稱性的一般解法和若干特殊解法，提出由Hamilton函數直接導出守恒量的兩條推論.舉例說明所得結果的應用.

Noether理論，Hamilton系統，逆問題，守恒量

PACC：0320

1.引 言

動力學逆問題是經典力學中古老而又常新的重要課題，幾十年來該領域取得一系列重要研究成果[1—6].所謂動力學逆問題簡言之，是從給定的運動性質，如第一積分，反過來建立動力學方程，當然，隨著科學技術的發展，該問題的提法逐步擴充和完善.對Hamilton力學而言，因為其動力學方程由系統的Hamilton函數確定，故其動力學逆問題可以歸結成由第一積分構建H函數.

Noether理論揭示了力學系統守恒量與其動力學對稱性之間的內在聯系，幾十年來這個數理學科熱門課題同樣取得眾多重要成果[1，4，7—15].Hamilton系統Noether理論將三個方面：系統動力學特征函數、對稱變換和運動守恒量緊密聯系起來，對于給定Hamilton函數的系統，可以確定其對稱性，進而由對稱性直接導出守恒量，或者反過來，由守恒量導出對稱性.本文研究Hamilton系統Noether理論新類型的逆問題，即由系統已知的守恒量(運動微分方程的第一積分)構建系統的Hamilton函數，并同時確定對應的對稱變換.在給出基本解法以及若干特殊解法后，舉例說明得到的結果.在本文討論過程中，還得到兩個直接由Hamilton函數導出守恒量的推論.

2.Hamilton系統的Noether理論概述

Hamilton系統運動方程——正則方程為

其中qα，pα為正則變量，H=H(t，q，p)為Hamilton函數.

設時間和正則變量取無限小變換

其中ε為無限小參量，ξo，ξα，ηα為變換無限小生成元.如果存在規范函數GN=GN(t，q，p)使ξo，ξα，ηα滿足如下Noether等式：

則系統這種不變性為Noether對稱性，由此直接導出Noether守恒量

Hamilton系統Noether對稱性另一判斷方法是下列Killing方程有解：

如果已知方程(1)的第一積分則根據Noether逆定理，可以導出對應的對稱性

說明兩點：一是在本文討論中不區分對稱性和準對稱性，而把通常嚴格的對稱性視為GN=0的情況；二是在(3)，(4)，(5)，(7)和(8)式中均未出現ηα，根據文獻[9]，已知ξo，ξα，可以計算出ηα.

3.應用Noether理論求解Hamilton系統動力學逆問題

Hamilton系統動力學逆問題提法.

已知系統一組相容而且獨立的第一積分

構建系統可以容許的Hamilton函數H(t，q，p)，使上述第一積分均為系統的Noether守恒量，同時確定與每一個第一積分對應的對稱性.

與通常文獻中的Noether逆定理相比較，這是新型的Noether理論逆問題.根據上述Hamilton系統的Noether理論，可得到

定理1 對于Hamilton函數未知的系統(1)，已知第一積分(6)，設其在無限小變換式(3)下，為Noether守恒量，則聯立求解(4)式和(3)式，或聯立求解(4)式和方程(5)可以得到系統的Hamilton函數H(t，q，p)，以及對應的對稱變換生成元和規范函數.

由于方程數少于待求函數的個數，故解不是唯一的，求解過程中有較大的選擇補充條件的自由程度.因此，當給出的第一積分具有某些特性時，可以在上述通用解法基礎上建立若干特殊解法.推論1 若則可以選擇

容易證明，將(10)—(12)式代入(4)和(3)式，都能滿足.

已知第一積分，構建Hamilton函數的另一基本解法聯立求解(4)式與方程(5)，可以建立如下專門的求解程序，以得到待求的 H函數和對應的對稱性.

首先，用(6)式所給I代替(4)式中IN，并將(4)式兩邊對pα求偏導數，同時結合方程(5)中第二組方程，得

應當指出，(13)式即(7)式.其次，將(4)式兩邊分別對t和qα求偏導數，再與(13)式一起代入方程(5)第一式，得

利用Poisson括號，上式可以改寫成

(14)或(15)式所表達的正是I為守恒量(第一積分)的條件[1，16]，通過Noether理論重新導出，說明分析力學理論的自冾，但在這里將把(14)式看成由I求H的偏微分方程，解方程(14)可以求得系統H函數，再與(13)式一起代入(4)式，得

由(13)和(16)式可以得到對應的對稱變換，同樣要指出，解不是唯一的，求解時應引入補充條件.例如取

得

由上述論證，可以得到

定理2 對于Hamilton函數未知的系統(1)，已知第一積分(6)，設其在無限小變換式(3)下，為Noether守恒量，則聯立求解(14)式，(13)式和(16)式，可以得到系統的Hamilton函數H(t，q，p)，以及對應的對稱變換生成元和規范函數.

問題回到由(9)式給定的一組第一積分，求系統可以容許的Hamilton函數.利用Noether理論的通用解法，有兩條路徑：路徑一是先求出與每個第一積分對應的Hamilton函數集合，再找出m個集合中的共同元素，這就是待求的與m個第一積分對應的函數H(t，q，p)，一般說來，解不是唯一的；路徑二是先求出一個第一積分對應的Hamilton函數集合，然后將集合中每個H函數與其余的第一積分代入(14)式檢驗，只有使其余第一積分都滿足(14)式的，才是待求的Hamilton函數.應當指出，在實際求解過程中，要找到與一個積分對應的全部Hamilton函數是很困難的.

4.兩個直接由Hamilton函數導出守恒量的推論

Hamilton力學中，由函數H(t，q，p)的結構，可以直接導出守恒量[1，16]，例如

推論2 若系統Hamilton函數是時間函數f(t)和與時間無關的正則變量函數I(q，p)的乘積，即

H(t，q，p)=f(t)I(q，p)，

則函數I(q，p)是系統的守恒量.

推論3 若系統Hamilton函數是與時間無關的正則變量函數I(q，p)的復合函數，即

則函數I(q，p)是系統的守恒量.

上述兩個推論還可以組成新的推論，例如，若

5.算 例

例1 (ⅰ)已知系統一個第一積分為

構建系統的Hamilton函數H和對應的對稱變換.

(ⅱ)設系統的另一個第一積分為

確定系統的Hamilton函數.

將(18)式中I代入(14)式得

此方程的解很多，例如

等等.將解(21)—(27)代入(3)式檢驗，得解(26)和(27)應當棄去.不難看出，解(21)—(25)，還可以利用(13)，(14)和(16)式求出，或直接利用(10)，(11)和(12)式得到.

對于第一積分式(19)，代入(14)式得

此方程的解也不是唯一的.例如

等等.由(23)和(29)式，可得系統一個Hamilton函數為

例2 已知系統4個第一積分為

求系統的Hamilton函數.

首先，求與I1對應的Hamilton函數.由于0，故由(10)和(11)式得

還可以將I1代入方程(14)求解，對I1方程(14)寫成

此方程解除上述H1和H2外，還有

等等.對I2，I3和I4不再分別求出對應的Hamilton函數，而是用守恒量條件(14)式檢驗.

將I2與H1代入(14)式成立；I2與H2代入(14)式成立；I2與H3代入(14)式不成立；I2與H4代入(14)式不成立，故H3與H4棄去.

將I3與H1代入(14)式成立；I3與H2代入(14)式不成立，故H2棄去.

將I4與H1代入(14)式成立，故(33)式的H1是待求的Hamilton函數.

6.討論與結論

本文研究了Hamilton系統Noether理論與動力學逆問題的關系，給出利用Noether對稱性理論，從第一積分構建系統Hamilton函數以及導出對應對稱變換的通用解法和若干特殊解法.本文結果可以概括成：

1.提出新型的Hamilton系統Noether理論逆問題，由守恒量構建系統的動力學特征函數H；同時對通常的Noether逆定理而言，也是一個突破和發展，在確定動力學特征函數H的同時，求出與守恒量對應的對稱變換生成元和規范函數.

2.發展了動力學逆問題，直接利用Noether對稱理論從第一積分求Hamilton系統的動力學特征函數H，不需要先從第一積分求出運動微分方程，再將方程改寫成自伴隨形式后計算動力學特征函數；換句話說，對于由運動微分方程導出動力學特征函數問題，提供了一條新的路徑，即先求出第一積分，再構建動力學特征函數.

3.對Hamilton系統，給出了由第一積分導出Hamilton函數以及Noether對稱變換的通用解法和若干特殊解法，全面討論了Hamilton系統動力學特征函數、對稱變換和運動守恒量三者之間的聯系和轉換關系.

4.在上述討論過程中，得到了由Hamilton函數直接導出守恒量的兩條推論.

本文的研究可以推廣到Lagrange系統和Birkhoff系統.

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PACC：0320

?E-mail：dgt695@sina.com

New kind of inverse problem s of Noether’s theory for Ham iltonian system s

Ding Guang-Tao?
(The College of Physics and Electronic Information，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China)
(Received 24 May 2009；revised manuscript received 19 June 2009)

In this paper，a new kind of inverse problems of Noether’s theory for Hamiltonian systems is studied.The general solution and the specific solutions of constructing the Hamiltonians and the symmetries from known first integrals by using Noether’s theory are obtained.Two corollaries according to which the conserved quantities can be deduced directly from the Hamiltonians are presented.Two examples are given to illustrate the application of the results.

Noether’s theory，Hamiltonian system，inverse problem，conserved quantity

?E-mail：dgt695@sina.com