關(guān)于Birkhoff表示的Lagrange像的研究

丁光濤

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,蕪湖 241000)

關(guān)于Birkhoff表示的Lagrange像的研究

丁光濤?

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,蕪湖 241000)

(2009年3月14日收到;2009年3月27日收到修改稿)

研究運(yùn)動(dòng)微分方程Birkhoff表示的Lagrange像.得出二階Lagrange函數(shù)應(yīng)滿足的條件,在此條件下廣義Lagrange方程為二階微分方程組;提出新的求解Lagrange力學(xué)逆問題路線;指出在此問題研究中曾發(fā)生過的失誤.舉例說明所得結(jié)果的應(yīng)用.

Birkhoff表示,Lagrange像,逆問題,二階Lagrange函數(shù)

PACC:0320

1.引言

Birkhoff提出一類新型動(dòng)力學(xué)方程,Santilli建議命名為Birkhoff方程并進(jìn)行了深入研究[1,2].20多年來,對Birkhoff方程的研究成為國內(nèi)外數(shù)學(xué)力學(xué)界一個(gè)重要的熱門課題,特別是我國學(xué)者在此領(lǐng)域進(jìn)行了多方面多層次的深入研究,并取得一系列豐碩的成果[3—18],文獻(xiàn)[4]及其所附的大量參考文獻(xiàn)系統(tǒng)總結(jié)又全面展示Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展.

文獻(xiàn)[2]中提出了關(guān)于Birkhoff表示的Lagrange像的問題,把Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)與二階Lagrange函數(shù)以及Lagrange力學(xué)逆問題聯(lián)系起來,但在研究中有值得商榷之處.本文繼續(xù)研究這方面的問題,結(jié)果表明作為Birkhoff表示的Lagrange像的二階Lagrange函數(shù),滿足一定條件時(shí),導(dǎo)出的廣義Lagrange方程仍為二階微分方程組,而且這種二階Lagrange函數(shù)容易變換成傳統(tǒng)的Lagrange函數(shù),從而構(gòu)成解決Lagrange力學(xué)逆問題新的路線圖,此外,討論中對文獻(xiàn)[2]中的失誤進(jìn)行了修正.最后,舉例說明得到的結(jié)果.

2.Birkhoff表示及其Lagrange像[2]

設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

引入新變量使方程降階,取

變換滿足規(guī)則性條件,即

故由(2)式能反解出

代入(1)式得到

式中

這樣二階微分方程組就變換成一階微分方程組,引入統(tǒng)一的變量將(4)和(5)式寫成

方程(7)可以表示成Birkhoff方程形式[2,3,18],即

式中B為Birkhoff函數(shù),Rμ為Birkhoff函數(shù)組.定義Birkhoff張量

規(guī)則的Birkhoff系統(tǒng)滿足下列條件:

則由(10)式可以解出

其中Ωμν為Birkhoff逆變張量,滿足下列條件:

將變量aμ分解成原來的兩組變量rk和yk,并設(shè)Birkhoff系統(tǒng)滿足下列條件:

則該系統(tǒng)為嚴(yán)格規(guī)則系統(tǒng),對此系統(tǒng)可解得(2)式的結(jié)果.

對嚴(yán)格規(guī)則的Birkhoff系統(tǒng),Pfaff-Birkhoff作用量可以作如下變換[2]:

式中L為二階Lagrange函數(shù)

(16)式的過程,完成了Birkhoff系統(tǒng)的Pfaff-Birkhoff作用量到等價(jià)的二階Lagrange作用量的變換,即得到了Birkhoff表示的Lagrange像.

3.廣義Lagrange方程為二階微分方程組的條件

將(17)式中L代入廣義力學(xué)的Lagrange方程,得到

在一般情況下,方程(21)是三階微分方程,而且含有加速度的非線性項(xiàng).如果L滿足下列條件[19]:

則方程(21)中的三階微商項(xiàng)和二階微商非線性項(xiàng)同時(shí)抵消為零,即廣義力學(xué)的Lagrange方程仍然為二階線性微分方程

條件(22)成立,意味著

反之,若(25)式滿足,則條件(22)成立.(25)式成立表明(17)式L中r¨i的線性項(xiàng)可以利用廣義力學(xué)中規(guī)范變換消去,從而得到通常位形空間中傳統(tǒng)的Lagrange函數(shù)[19,20],即

Lagrange力學(xué)逆問題研究對給定的微分方程能否導(dǎo)出相對應(yīng)的Lagrange函數(shù),從而將方程改寫成等價(jià)的Lagrange方程形式.上述結(jié)果給出了二階微分方程組Lagrange化的一種新的路線圖:二階微分方程組—一階微分方程組—Birkhoff表示—Lagrange像(二階Lagrange函數(shù))—位形空間中Lagrange函數(shù).

應(yīng)當(dāng)指出,文獻(xiàn)[2]中提出了Birkhoff表示的Lagrange像問題,也指出了與Lagrange逆問題相關(guān),但是研究過程中有失誤.在計(jì)算與二階Lagrange函數(shù)對應(yīng)的Lagrange方程時(shí),文獻(xiàn)[2]中寫成

然后據(jù)此指出上述展開式是二階微分方程組,而不是預(yù)期的三階微分方程組;進(jìn)一步又指出,當(dāng)全部Vk均與速度無關(guān)時(shí),上述展開式才是加速度的線性方程組.事實(shí)上,方程式(27)不能成立,直接將它開展得到的結(jié)果與(21)式相比較,恰恰缺失了含r…j的項(xiàng).產(chǎn)生這個(gè)錯(cuò)誤的根源在于(27)式中將對t的全微商寫成

將上式直接計(jì)算展開,得到的結(jié)果與(21)式一致,在一般情況下,是三階微分方程組,只有在滿足條件(22)時(shí),(29)式才是二階線性微分方程組.文獻(xiàn)[2]中要求全部Vk均與速度無關(guān)過于嚴(yán)格了,因?yàn)檫@個(gè)要求只是使條件(22)成立的特殊情況.

4.算例

例1 微分方程為

引入變量y1和y2,將上述方程化為一階方程組

引入統(tǒng)一的變量

將方程(31)改寫為

利用文獻(xiàn)[18]的方法一,容易求得Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組為

容易證明這是嚴(yán)格規(guī)則的Birkhoff系統(tǒng),其Pfaff-Birkhoff系統(tǒng)作用量為

按照(16)式中程序,得到上述作用量的Lagrange像為

即系統(tǒng)的二階Lagrange函數(shù)為

條程件為(22)成立,由上述L導(dǎo)出的廣義Lagrange方

與方程(30)等價(jià).

引入規(guī)范變換函數(shù)

由(29)式得位形空間Lagrange函數(shù)為

而由Lˉ導(dǎo)出的Lagrange方程正是方程(38).

例2 Hojman-Urrutia方程[2,3,21]

引入變量

系統(tǒng)(41)與下列一階方程組等效:

系統(tǒng)(43)的一個(gè)Birkhoff表示如下:

定義新變量

容易證明,系統(tǒng)是嚴(yán)格規(guī)則的,按(16)式程序,由其Pfaff-Birkhoff作用量導(dǎo)出Lagrange像

系統(tǒng)的二階Lagrange函數(shù)

顯然,對上述Lagrange函數(shù)條件(22)不成立,導(dǎo)出的廣義Lagrange方程為

這是三階微分方程,寫成原始變量形式為

這不是原方程(41),但是可由(41)導(dǎo)出.

若將(47)式代入(27)式,則得到

這是二階微分方程,但是錯(cuò)誤的.然而,若將(47)式中L代入修正后的(29)式,則得到與(48)式相同的結(jié)果.

應(yīng)當(dāng)指出,Hojman-Urrutia系統(tǒng)是一個(gè)典型的例子,它不能化成自伴隨的形式,因而也不能有通常的Lagrange表示.本例中這個(gè)系統(tǒng)雖然從Birkhoff表示的Lagrange像,得到二階Lagrange函數(shù),但由于不滿足條件(22),故不能由此而導(dǎo)出位形空間中通常的Lagrange函數(shù).

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[2]Santilli R M 1983Foundations of Theoretical Mechanics(Ⅱ)(New Y ork:Springer-Verlag)

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[4]Luo S K,Zhang Y F 2008Advances in the Study of Dynamics of ConstrainedSystems(Beijing:Science Press)(in Chinese)[羅紹凱、張永發(fā)等2008約束系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展(北京:科學(xué)出版社)]

[5]Mei F X 2004Symmetries and Conserved Quantities of Constrained Mechanical Systems(Beijing:Beijing Institute of Technology Press) (in Chinese)[梅鳳翔2004約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性和守恒量(北京:北京理工大學(xué)出版社)]

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[20]Ding G T 2009Acta Phys.Sin.58 6725(in Chinese)[丁光濤2008物理學(xué)報(bào)58 6725]

[21]Hojman S,Urrutia L F 1981J.Math.Phys.22 1896

PACC:0320

A study on the Lagrangian image of the Birkhoffian representations

Ding Guang-Tao?

(College of Physics and Electronic Information,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

14 March 2009;revised manuscript

27 March 2009)

The Lagrangian image of the Birkhoffian representations is studied.The conditions that the second-order Lagrangians should satisfy are obtained,under which the generalized Lagrange equations are second-order differential equations.A new way for solving the inverse problem in Lagrange mechanics is presented.An error made in the study by some author is pointed out.Two examples are given to illustrate the application of the result.

Birkhoffian representations,Lagrangian image,inverse problem,second-order Lagrangian

?E-mail:dgt695@sina.com

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