無序對二維聲子晶體平板負折射成像的影響＊

李曉春 高俊麗 劉紹娥 周科朝 黃伯云

1)(中南大學物理科學與技術學院,長沙 410083) 2)(中南大學粉末冶金研究院,長沙 410083)

無序對二維聲子晶體平板負折射成像的影響＊

李曉春1)2)?高俊麗1)劉紹娥1)周科朝2)黃伯云2)

1)(中南大學物理科學與技術學院,長沙 410083) 2)(中南大學粉末冶金研究院,長沙 410083)

(2009年1月5日收到;2009年5月4日收到修改稿)

利用多重散射理論分析了位置無序對鋼/水聲子晶體負折射成像的影響.發現聲子晶體負折射成像與周期結構中的方向性通路有關;該方向性通路不同于一般意義上的位置波導,它是聲子晶體周期散射的結果;通路中的障礙對成像有較大影響;隨著散射體位置無序程度的增加,周期性散射減弱,方向性通路被破壞,成像也隨之減弱,甚至消失.

聲子晶體,負折射,無序,多重散射

PACC:4320,4335

1.引言

1968年,Veselago提出了左手物質的概念[1], 2000年,Smith等人從實驗上實現了負折射[2,3],而Pendry關于負折射介質平板可以突破衍射極限完美成像的建議[4],更是激起了科學工作者對負折射研究的空前興趣.近年來,光子晶體中的負折射現象也被陸續發現和實驗證實[5,6],并進一步地,將負折射研究推廣到了聲子晶體[7—9].傳統的球面透鏡不能把光/聲匯聚到小于波長平方的區域內,利用負折射制成的透鏡則可以克服這個局限,而且,平板透鏡的加工精度也遠高于普通的球面透鏡,因此,通過負折射實現平板成像的應用前景是非常誘人的.

但是,對于負折射成像的機理目前尚無定論.負折射是作為介質的屬性存在,還是一種特定條件下的偶然現象,這個問題還沒有明確的答案.若負折射作為介質的屬性存在,即存在所謂的負折射物質,那么它是否與物質的其他屬性一樣,只與物質的種類有關,而與物質的結構無關呢?若這樣,它應該是均勻的、各向同性的(至少相對于入射波的波長尺寸來說是這樣的).但是,到目前為止,文獻[10]報道的負折射物質是具有周期結構的,其他報道的具有負折射現象的光子晶體、聲子晶體也是周期結構的[7,8].周期結構具有各向異性,但各向異性不是周期結構獨有的特性.若負折射物質只能是各向異性的介質,則各向異性的情況就太多了.而且,各項異性是如何導致負折射的,也不甚清楚.有人認為光子晶體中的負折射現象是一種普通的波導行為,或自準直效應,只是它們在效果上表現出負折射的特征[11].如果各向異性是形成負折射現象的決定因素,那么,散射,特別是周期性散射的作用何在?為此,本文通過在周期結構中引入無序,減少結構的各向異性,分析無序對負折射成像的影響,以期對二維聲子晶體平板成像機理進行探討.

2.基本模型

以二維鋼/水聲子晶體為模型,鋼圓柱按正三角形方式排列在基體水中.材料參數為ρ水=1.0×103kg·m-3,cl=1.49×103m·s-1,ct=0 m·s-1;ρ鐵= 7.67×103kg-3,cl=6.01×103m·s-1,ct=3.23×103m·s-1.用多重散射方法[7]計算無限周期情況下鋼/水聲子晶體的帶結構.結果如圖1(a)所示:體系具有部分帶隙,在頻率0.65—0.98范圍,M—K方向為帶隙,Γ—M方向為通帶.圖1(b)是對應結構的第一布里淵區等頻線.負折射可以根據帶結構和等頻線來推斷,接近圓形的等頻線能得到負折射成像[8].從圖1(b)可以看出,在頻率0.65—0.95之間,聲子晶體第二條帶中的等頻線都接近圓形,且這些等頻線隨頻率的增加朝圓心移動,在這個頻率范圍內,聲子晶體有效折射率為負值.

實際應用的聲子晶體都是有限的.為此,以9層聲子晶體平板為模擬對象,計算聲場的分布.y方向單層板沿水平方向上(即x方向),按正三角形排列成9層,并置于水中.單層有44/45個散射柱體,9層板共400個柱體,柱體大小同圖1.空間上,從左到右,依次為水、平板、水.圖2給出了聲波通過9層聲子晶體平板后的透射情況,其中,lnT=ln(P/P0). P(r)為空間任意處的聲壓,P0為無平板時該處的聲壓[9],實際計算lnT時,取該點P,P0的平均值.可以看出,圖2(a)中,0.66—0.90頻帶對應Γ—M方向的導帶:圖2(b)中,0.68—1.1和1.24—1.45頻帶對應M—K方向的禁帶.這表明9層聲子晶體平板具有部分帶隙.對比圖1(a)中的Ⅰ,Ⅱ區和圖2 (b)中的Ⅰ,Ⅱ區,發現9層平面板與無限周期情況下的帶結構基本相同.這種一致性說明了本文使用的有限場理論是合適的.圖2中的帶隙位置與圖1 (a)比較,存在些許差異,可認為是有限層板和無限層板之間的差異造成的.

圖2 三角形排列鐵/水聲子晶體9層平板透射譜 (a)Γ—M方向;(b)M—K方向(填充率F=0.403.cl為水的縱波波速)

圖3(a)給出了聲波通過9層聲子晶體平板的聲場分布圖.點聲源位于(0,0)處,沿Γ—M方向穿過聲子晶體平板.從圖中可以看出:在平板內部和平板后面都有一個像點,其成像過程可由圖3(b)示意.對于0.685頻率的聲波,9層聲子晶體平板給出了負折射特點的成像.像在x方向有一定的強度分布,這可能與不同入射角成像位置[12]不同有關,與幾何光學成像中,近軸光線和遠軸光線成像會有像差是一致的.

無疑,頻率0.685附近的部分帶隙,對于此處的負折射成像起了重要作用,但Γ—M方向的導帶是否意味著存在該方向的波導呢?若存在,這樣的波導性質如何?為此,改變周期結構中柱體的位置,在可能的通路上引入路障,直至引入位置的隨機無序,考察成像的變化.

圖3 9層聲子晶體負折射成像圖 (a)點聲源通過9層聲子晶體聲場分布圖;(b)成像波路示意圖(填充率F= 0.403;頻率f=0.685)

3.路障模型

由于Γ—M方向為導帶,在聲波可能的通路上,有針對性地設置路徑障礙.為此,將靠近x軸的,關于x軸對稱的第2層某些柱體,向x軸移動半個長度單位(晶格常數a為一個長度單位),形成通路中央障礙,考察其成像情況.圖4是幾種典型路障下的成像情況.

圖4 路障模型成像 (a)無路障規則模型;(b)兩柱體路障;(c)四柱體路障(填充率F=0.403,頻率f=0.685)

圖4表明,從規則排列到兩柱體障礙、四柱體障礙,隨著第二層形成障礙的柱體增多,成像逐漸變得模糊.近x軸、關于x軸對稱的4個柱體(x軸上下方共8個柱體),向x軸移動半個長度單位,形成障礙后,像基本消失(見圖4(c)).進一步分析表明,遠離x軸的柱體移動對像的影響不大.這可能與大角度信號在遠軸處耦合進入平板的信號較弱有關.由于信號耦合進入平板的程度不一樣,近軸信號對像的貢獻要遠大于遠軸信號的貢獻.

以上結果似乎說明了波導的存在.但仔細分析,這樣的通路不同于一般的位置波導(通路在某個特定位置上).它更象是方向性波導,即在某個方向上都存在通路.仔細查看圖3(a)和圖4中的像,發現它們都已顯示出了‘線’像的特征.這正是方向性波導的特點.因為,在方向性波導中,對于在y方向有足夠長度的聲子晶體平板,一定范圍內的小角度入射信號耦合進入平板的能量相差不大,這樣,不同位置同一方向的通路就會會聚成一‘線’像.隨著入射角度的增大,耦合進入平板的能量減少,所以大角度信號對像的貢獻大為減少,造成‘線’的截斷.但是,這樣的方向性波導似更應該歸于周期性散射的結果,而不同于一般意義上的位置波導.因為只有周期性散射,才會出現通帶和帶隙.而部分帶隙的存在,意味著同一頻率的信號,在不同方向上出現了導通和禁通的傳播差異,這就為出現負折射特征的成像提供了可能.因此,周期性散射及部分帶隙才是負折射特征成像的根本原因.周期性減弱,成像變差,甚至像消失.下面關于隨機無序的分析也認證了這一點.

4.隨機無序模型

設某柱體的原位置為r0,引入無序后,該柱體的位置變為r=r0+δ,δ為無序平移量,亦即無序度.體系給定某個δ值后,各柱體在δ值范圍內,可向空間各個方向任意移動,具體移動情況由隨機函數確定.δ最大取值受柱體不重疊限制,因此,低填充率系統,δ取值范圍大.本文中的平板結構,在填充率F=0.2時,對頻率f=0.7的信號也有比較好的負折射成像,見圖5(a).且其最大無序度(δmax= 0.265)較填充率F=0.403的體系大,更適合調查無序對成像的影響.因此,以填充率F=0.2的體系為模型,考察其9層聲子晶體平板在不同無序度下的成像情況.結果見圖5.

圖5 填充率F=0.2體系在不同無序度下的點源成像(δ為無序度,點源頻率f=0.7) (a)δ=0;(b)δ= 0.106;(c)δ=0.212;(d)δ=0.265

從圖5(b),(c),(d)中可以明顯看出,隨著無序程度的增加,負折射成像逐漸減弱.在最大無序δmax=0.265時,圖5(d)中的像基本消失.對不同填充率體系的調查發現:不同的填充率結構,負折射像消失的速度是不一樣的.對高、低填充率模型的比較發現,隨著無序度增大,小填充率模型的像更容易受到破壞.這可能與小填充率模型半徑較小,無序變化幅度大,周期性結構更容易被破壞有關.

5.結 論

通過本文模型中的負折射成像研究發現,聲子晶體中負折射特征的成像與周期性結構和方向性帶隙有密切關系.周期性結構導致導帶和帶隙的出現,而部分帶隙的存在,導致了入射波傳播的各向異性.這種各向異性,表現為在晶體中出現一些方向性通路.這種方向性通路是周期散射的結果,方向性通路不僅與結構的排列有關,而且與插入體、基體的材料,以及材料彈性性質有關.無序結構通過破壞結構的周期性而影響部分帶隙,并因此影響方向性通路,進而影響成像.隨著無序程度的增加,周期性減弱,負折射特征的成像也隨之減弱,甚至消失.材料及其結構的周期性散射是負折射成像的主要原因.針對帶隙材料,設計適當的周期結構和部分帶隙,可以實現在某些頻段的負折射特征的平板成像.

[1]Veselago V G1968Sov.Phys.Usp.10 509

[2]Smith D R,Padilla WJ,Vier D C,Nemat-Nasser S C,Schultz S 2000Phys.Rev.Lett.84 4184

[3]Shelby R A,Smith D R,Schultz S 2001Science292 77

[4]PendryJ B 2000Phys.Rev.Lett.85 3966

[5]Cubukcu E,Aydin K,Ozbay E,Foteinopoulou S,Soukoulis C M 2003Nature423 604

[6]Moussa R,Foteinopoulou S,Zhang L,Tuttle G,Guven K,Ozbay E,Soukoulis C M 2005Phys.Rev.B 71 085106

[7]Qiu C Y,Liu Z Y,Mei J,Ke M Z2005Solid State Commun.134 765

[8]Ke M Z,Liu Z Y,Qiu C Y,Wang W G 2005Phys.Rev.B 72 064306

[9]Li S,George Thomas F,Chen L S,Sun X,Kuo C H 2006Phys. Rev.E 73 056615

[10]Zhang Y,Fluegel B,Mascarenhas A 2003Phys.Rev.Lett.91 157404

[11]Kuo C H,Ye Z 2004 cond-mat/0312288

[12]Li GJ,Kang X L,Li Y P 2007Acta Phys.Sin.56 6403(in Chinese)[李國俊、康學亮、李永平2007物理學報56 6403]

PACC:4320,4335

Disorder effect on the focus image of phononic crystal panel with negative refraction＊

Li Xiao-Chun1)2)?Gao Jun-Li1)Liu Shao-E1)Zhou Ke-Chao2)Huang Bo-Yun2)

1)(School of Physics and Technology,Central South University,Changsha 410083,China)
2)(Powder Metallurgy Research Institute,Central South University,Changsha 410083,China)

5 January 2009;revised manuscript

4 May 2009)

By multiple-scattering theory(MST),disorder effect on the focus image in steel/water phononic crystal panel with negative refraction was investigated.It wasfound that sonic waves within certainfrequency range can propagate along certain directions in periodic crystal andform a focus image with negative refraction characteristics.These directional pathways dependon the periodic scattering in the crystal and are different from the ordinary positional guide.Obstacles in pathways have a deep influence on the focus image.With the increasing of degrec of positional disorder of cylinders,the periodic scattering decreases,pathways are broken,and the focus image becomes blurred or disappears.

phononic crystal,negative refraction,disorder,multiple-scattering

＊中南大學博士后科學基金資助的課題.

?E-mail:lxc4805@mail.csu.edu.cn

＊Project supported by the Central South University Science Foundation for Post-doctoral Scientists of China.

?E-mail:lxc4805@mail.csu.edu.cn