一類四階非線性系統的全局穩定性

李 濤,謝景力,孫長軍

(1.懷化職業技術學院,湖南懷化 418000;2.吉首大學數學與計算機科學學院,湖南吉首 416000; 3.連云港職業技術學院數學教研室,江蘇連云港 222000)

一類四階非線性系統的全局穩定性

李 濤1,謝景力2,孫長軍3

(1.懷化職業技術學院,湖南懷化 418000;2.吉首大學數學與計算機科學學院,湖南吉首 416000; 3.連云港職業技術學院數學教研室,江蘇連云港 222000)

在研究非線性系統的全局穩定性中,類比法是一個常用的方法.運用類比法構造了一類四階非線性系統的李雅普諾夫函數,從而推出了該類系統的零解的全局穩定性的充分條件.

非線性系統;李雅普諾夫函數;全局穩定性

0 引 言

平衡位置的穩定性是動態系統運動過程中備受關注的一個問題.研究非線性系統零解全局穩定性的一個有效工具就是Liapunov函數法.文獻[1]導出了二階和三階常系數線性系統的李雅普諾夫函數公式,并應用相應的公式研究了二階和三階常系數非線性系統的李雅普諾夫函數的構造與應用,以及解決了一類三階非線性系統的平凡解的全局穩定性問題.文獻[2]、[3]利用類似的方法導出了四階常系數線性系統的Liapunov函數公式,并研究了相應的四階非線性系統的Liapunov函數的構造與應用.文獻[4]、[5]給出了一類四階非線性系統的局部穩定性.

文獻[6]通過做變換,

且運用類比法構造了一類三階非線性系統,的李雅普諾夫函數,從而推出了該類系統的零解全局漸近穩定的充分條件(即引理1).這里,c是常量,函數f(x,y)是連續的且有連續的二階偏導數.

引理1 如果c＞0,并且存在b＞0,使得函數f(X,Y)滿足條件：

[bfXX+cfYX]Y≤0,

則系統(1)的零解是全局漸近穩定的.

1 主要結論

在本文中,我們主要研究如下一類四階非線性系統,

的全局穩定性,這里,d是常量,函數f(x,y,z)是連續的且有連續的二階偏導數.

做變換,

將系統(2)轉換成如下等價系統,

所對應的線性系統,的李雅普諾夫函數[2,7].

其中,a,b,c,d均大于0,ab-c＞0,abc-c2-a2d＞0.

用 fX(X,Y,Z),fY(X,Y,Z),fZ(X,Y,Z)分別代替上式的 c,b,a,則得系統(3)的李雅普諾夫函數,

對(6)式按(3)式求導得：

由此可得如下：

定理1 如果系統(3)在區域{(Y,Z,U)|YU≥0,ZU≥0,YZ≥0}中成立,d＞0,且存在a＞0, b＞0,c＞0,并滿足如下條件：

則系統(3)的零解為全局穩定.

證明 由條件顯然可見,

當 Y≠0時,V(X,Y,Z,U)≥d(abc-c2-a2d)Y2/c＞0;

當 Z≠0時,V(X,Y,Z,U)≥(abc-c2-a2d)Z2/a＞0;

當 Y=0,Z=0,但X≠0時,V(X,Y,Z,U)≥ad2X2＞0;

當X=Y=Z=0,但X≠0時,V(X,Y,Z,U)≥cU2＞0.

因此,只要(X,Y,Z,U)≠(0,0,0,0),必有V(X,Y,Z,U)＞0,即V是正定的.

其次,證明正定函數具有無窮大性質.

當 Y→∞時,V(X,Y,Z,U)≥d(abc-c2-a2d)Y2/c→∞,

如果 Y有界,且 X→∞時,V(X,Y,Z,U)≥(abc-c2-a2d)Z2/a→∞;

如果Y,Z有界,且Z→∞時,V(X,Y,Z,U)≥a(dX+cY+→∞;

如果Y,Z有界,且U→∞時,V(X,Y,Z,U)≥c(U+aZ+c→∞.

因此,V(X,Y,Z,U)→∞,當 X2+Y2+Z2+ U2→∞時.

綜上討論,并由文獻[1]知系統(2)的零解是全局漸近穩定的.

[1]王 聯,王慕秋.非線性常微分方程穩定性分析[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社,1987：381-422.

[2]梁在中.關于一類四階非線性系統李雅普諾夫函數構造的研究[J].應用數學和力學,1995,16(2)：181-188.

[3]沈家騏,盧亭鶴,金 均.一類四階方程 Л Я П у Н О В函數的作法[J].上海師范學學報,1983,25(3)：1-5.

[4]徐 靜,李玉潔.一類四階非線性系統的穩定性[J].大學數學,2001,15(1)：47-49.

[5]徐 靜.一類四階非線性李雅普諾夫函數的穩定性[J].廣西師范學院學報,1993,11(3)：38-41.

[6]吳 檀,鄒長安,車克鍵.一類三階非線性系統的全局穩定性[J].應用數學學報,1997,22(3)：438-441.

[7]黃明謙.一類四階非線性系統的李雅普諾夫函數的構造[J].湖南師范大學自然科學學報,1989,12(4)：295-300.

Global Stability of 4-Order Nonlinear System

LI Tao1,XIE Jingli2,SUN Changjun3

(1.Huaihua Vocational and Technical College,Huaihua 418000,China; 2.School of Mathematics and Computer Science,Jishou University,Jishou 416000,China; 3.Section of Mathematics Teaching and Research,Lianyungang Technical College,Linyungang 222006,China)

Analogism is a normal method of studying the global stability of nonlinear systems.Using this method,Liapunov’s function of a nonlinear system isformulated to derive sufficient conditionsfor its global stability when it has null solution.

nonlinear system;Liapunov’s function;global stability

O175.13

：A

1004-5422(2010)02-0115-03

2010-02-03.

湖南省教育廳教育科學“十一五”規劃立項課題基金資助項目(XJK06CZC061).

李 濤(1963—),男,碩士,副教授,從事非線性系統研究.