關(guān)于正態(tài)分布，偏態(tài)分布的等距分組

賈振聲

（重慶三峽學(xué)院經(jīng)管學(xué)院，重慶萬(wàn)州404000）

關(guān)于正態(tài)分布，偏態(tài)分布的等距分組

賈振聲

（重慶三峽學(xué)院經(jīng)管學(xué)院，重慶萬(wàn)州404000）

一組數(shù)據(jù)進(jìn)行等距分組，到底分多少組？為此我們對(duì)正態(tài)分布進(jìn)行研究，通過(guò)公式得出了計(jì)算分組的算法.

均值 方差 擬合函數(shù) 全距 四分之一距

各種統(tǒng)計(jì)方面的書，在討論等距分組的時(shí)候，對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式或者只把它當(dāng)作參考，或者干脆不用.原因是經(jīng)驗(yàn)公式，組距只與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)有關(guān)，而與數(shù)據(jù)擬合的函數(shù)形狀無(wú)關(guān).

對(duì)服從正態(tài)分布的數(shù)列，我們進(jìn)行了研究,得出求組距的方法,這個(gè)方法簡(jiǎn)單適用.其次，推出的公式對(duì)偏態(tài)分布也適用.

1 直方圖及組距的上界

1.1 直方圖

（1）觀測(cè)量x1，x2，…,xN；找出其最小值x*1和最大值

R為全距.一般的l≥2，即分組，分5個(gè)組或5個(gè)組以上.d-c記為

我們把R*叫做閉全距.

分布數(shù)列呈鐘形分布，表現(xiàn)對(duì)稱分布.設(shè)對(duì)稱軸x＝μ，它擬合的密度函數(shù)為

根據(jù)樣本值的情況，將其分為2i＋1組，各組的范圍為

并記mi為區(qū)間

內(nèi)的樣本數(shù)，i＝0，1,…,l

作表

此表稱為樣本分組頻數(shù)分布表.顯然

得到的直方圖見圖1.

圖1 直方圖

且有

取對(duì)數(shù)：

得

由此等式

這里a取極大值，應(yīng)滿足的條件：

a取一般值可寫為：

（1）兩邊同乘以2得：

又

進(jìn)而有

即

當(dāng)然有

定理1一組數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，它擬合得密度為單調(diào)遞減的函數(shù).l固定，S有極大值，而沒(méi)有極小值對(duì)a求偏導(dǎo)：

已知閉全距為R*，等距分類，組距極大值滿足（1）.

1.2 由等式（1）推導(dǎo)a的上界

由直方圖，共2l＋1個(gè)；Si（0，1,…,2l）中，所有數(shù)據(jù)分布在內(nèi)，99.7%分布在（μ－3σ，μ＋3σ）內(nèi).所以有

因?yàn)閘≥2，故

進(jìn)一步

又因?yàn)椋?），又有

當(dāng)l≥3時(shí)，有

當(dāng)l≥4時(shí)，有

2 主要定理的證明

2.1 定義

定義3N個(gè)數(shù)據(jù)分布R*上表示每個(gè)數(shù)據(jù)所占平均距離.

2.2 主要定理的證明

E.貝肯巴赫所著《不等式入門》，有些不等式我們常用，故作為一個(gè)引理.

引理2N個(gè)數(shù)據(jù)依正態(tài)分布，R*是閉全距，每個(gè)數(shù)據(jù)所占的平均距離為.則有i，使得

定理1一列正態(tài)分布的數(shù)列，則至少有2個(gè)相似區(qū)間.

證明依引理2，有

定理2正態(tài)分布的樹立在中存在一個(gè)相似區(qū)間，這里a表示組距.

所以M內(nèi)有一個(gè)相似區(qū)間.由于對(duì)稱性還有一個(gè)相似區(qū)間.

3 利用定理3,可找出求組距方法

1）把資料從小到大排列.并計(jì)算資料組的平均數(shù)μ，方差σ.

2）求出閉的全距R*并計(jì)算

3）s1…sn個(gè)數(shù)分別為.不妨設(shè)滿足

5）一份資料分組的時(shí)候，應(yīng)注意組與組的銜接.銜接好了，體現(xiàn)整體的趨勢(shì).設(shè)數(shù)據(jù)鏈為：b0≤b1≤…≤bn≤bn+1…其中一組包括了b1，b2，bn，如何截取才能使這一段嵌入數(shù)據(jù)鏈中去呢？我們規(guī)定：這一組應(yīng)包括在（a，c）內(nèi)，其中：

6）若遇到偏態(tài)分布，也用上面的方法處理，也不過(guò)作兩次，可參看下列例子.

4 例子

對(duì)城市居民的家庭生活情況抽樣調(diào)查，得到54戶家庭人均月收入的資料.

1） 已排列的54戶家庭人均月收入資料

本組資料最小值為810，最大值為2380.本組資料均值

c＝800，d＝2400，閉全距為

2）因?yàn)樗皇峭耆珜?duì)稱，分成兩個(gè)步驟.從800到1497.2共有27個(gè)數(shù)據(jù)，27個(gè)數(shù)據(jù)之間的平均距離

這13個(gè)點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)所占平均距離，應(yīng)考慮區(qū)間為

說(shuō)明選相似區(qū)間時(shí)，向右傾斜.所以在下面的討論中刪去990.

等價(jià)于：

進(jìn)一步我們可以確定：1148.6右邊的點(diǎn)至多是2個(gè)點(diǎn).即1160,1200

若不然，右邊有3個(gè)點(diǎn)，那么左邊的點(diǎn)必須有3×2.45＝7.35個(gè)點(diǎn)才能平衡，而這是不能的.

因?yàn)樽筮叺狞c(diǎn)共有6個(gè)點(diǎn)：1050,1070,1080, 1100,1120,1120

不難發(fā)現(xiàn)在（1020，1220）內(nèi)共有8個(gè)數(shù)據(jù)，它們是：1050,1070,1080,1100,1120,1120,1160 1200.

故（1020，1220）為相似區(qū)間.S＝8,a可選200.

5）令y＝x－μ從1497.2到2400，共有27個(gè)數(shù)據(jù)，27個(gè)數(shù)據(jù)之間平均距離:

半全距

而這個(gè)點(diǎn)在資料數(shù)據(jù)中沒(méi)有,所以叫做虛坐標(biāo)，它位于1940與1970之間.

不難看出在1800～2000之間共有六個(gè)數(shù)據(jù)，1840,1860,1870,1880,1940,1970，

它與F2＝33.4相似（F′2≈F2）.

故1800～2000之間的六個(gè)數(shù)據(jù)組成相似區(qū)間.S＝6.相似區(qū)間應(yīng)選（1805～2015），可結(jié)合取整的方式進(jìn)行可選（1800～2000）.此種方法已被多數(shù)人認(rèn)可.

7）設(shè)a′為組距，那么6×33.4＝200.4,為a′的估值.而a′的上界為

a′取值為200.

總之：由上面的結(jié)論.取200.通過(guò)進(jìn)一步整理，得到分布數(shù)列：

表1 某市居民家庭人均月生活費(fèi)收入次數(shù)分布表

[1]E.貝肯巴赫,R.貝爾曼.不等式入門[M].北京:北京大學(xué)出版社,1985:23.

[2]謝啟南,韓兆洲.統(tǒng)計(jì)學(xué)原理[M].6版.廣州:暨南大學(xué)出版社,1991:53-64.

[3]吳傳生.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2004:128-144.

Abstract：Because of thinking only the number of data but not fitting function，we would be adequate to take a farther afield when calculating group data with empirical formula.We have proved the three theorems based on studying the normal distribution，and then reach the conclusion there is a better method to do the same work.The method is simpler and more practical than empirical method and also work well with any skewed distribution.

key words:mean value;variance;fitting fuction;vange;quarter range

〔編輯 高海〕

The Isometric Group about Normal and the Skewed Distribution

JIA Zhen-sheng
(School of Economical Trade，Chongqing Three Gorges University，Chongqing,404000)

O213

A

1674-0874(2010)05-0005-05

2010-01-25

賈振聲（1952－），男，河北徐水人，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì).