純滾動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)分析

高彩云

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

純滾動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)分析

高彩云

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

通過對(duì)粗糙斜面上作純滾動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)分析，分平動(dòng)狀態(tài)和轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)是否變化兩種情形進(jìn)行討論，得出了剛體在水平面和斜面上可能出現(xiàn)這兩種運(yùn)動(dòng)的條件，并且通過實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.

純滾動(dòng) 靜摩擦力 剛體 平動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體純滾動(dòng)可看成隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).當(dāng)剛體作純滾動(dòng)時(shí)必須滿足aC= αr[1].靜摩擦力對(duì)作純滾動(dòng)的剛體不作功，不能使剛體的總能量發(fā)生任何變化，但它實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與平動(dòng)動(dòng)能之間的能量轉(zhuǎn)換[2-3].文獻(xiàn)[4-6]已對(duì)作純滾動(dòng)剛體的靜摩擦力方向及其影響因素作了詳細(xì)的討論.本文在總結(jié)已有研究的基礎(chǔ)上，從一個(gè)新的角度對(duì)純滾動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行較全面的分析.

1 動(dòng)力學(xué)分析

剛體作純滾動(dòng)時(shí)必須滿足無(wú)滑滾動(dòng)的條件aC= αr，這里僅討論無(wú)形變的剛性平面或斜面，不考慮滾動(dòng)摩擦力矩的影響.

如圖1所示，半徑為r質(zhì)量為m剛體在傾角為θ粗糙斜面上作純滾動(dòng)，外力T平行于斜面作用于剛體，作用線的縱坐標(biāo)為y，建立坐標(biāo)系并進(jìn)行受力分析(設(shè)靜摩擦力f沿斜面向上).

圖1 剛體在斜面上純滾動(dòng)受力分析

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，得剛體的動(dòng)力學(xué)方程為:

解(1)得

2 結(jié)果與討論

由純滾動(dòng)的條件aC=αr知，當(dāng)aC=0時(shí)，α=0;當(dāng)aC≠0時(shí)，α≠0.即平動(dòng)狀態(tài)和轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)要么都發(fā)生變化，要么都不發(fā)生變化.本文將平動(dòng)狀態(tài)和轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)都不發(fā)生變化的純滾動(dòng)叫“勻速”純滾動(dòng)，平動(dòng)狀態(tài)和轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)都發(fā)生變化的純滾動(dòng)叫“變速”純滾動(dòng).下面對(duì)這兩種情況進(jìn)行討論.

2.1 剛體作“勻速”純滾動(dòng)

令aC=0,α=0,即

解之,得

討論:

1)當(dāng)θ=0時(shí)，有f=-T,y=-r或f=T=0.

表明剛體在水平面上作“勻速”純滾動(dòng)有兩種可能情況:一是外力和靜摩擦力都為零，二是外力和靜摩擦力是一對(duì)共點(diǎn)平衡力.

2)當(dāng)θ≠0,T=0時(shí)，方程組(3)無(wú)解.

可知,剛體在粗糙斜面上只受重力和支持力的情況下不可能作“勻速”純滾動(dòng).

3)當(dāng)θ≠0,T≠0時(shí)，

由(4)式可知，

當(dāng)T＞mg sinθ時(shí)，f＜0，y＜0

當(dāng)T＜mg sinθ時(shí)，f＞0，y＞0

表明如果有外力作用，剛體可能在粗糙斜面上作“勻速”純滾動(dòng)，但外力作用線必須在特殊值y= (mg sinθ-T)r/T.此時(shí)摩擦力的大小和方向都取決于T和mg sinθ的大小.

2.2 剛體作“變速”純滾動(dòng)

令aC≠0,α≠0即

由aC=ar,即

解之,得

討論:

表明靜摩擦力的大小和方向完全取決于外力作用線的位置，當(dāng)作用線剛好在y=I/mr時(shí)，靜摩擦力可以為零.

表明剛體在粗糙斜面上只受重力和支持力作用而作沿斜面向上或者向下純滾動(dòng)，靜摩擦力總是沿著斜面向上.

3)當(dāng)θ≠0,T≠0時(shí)，有

可見,這時(shí)摩擦力的大小和方向都由(7)式來決定.具體到某一剛體時(shí),只需代入它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及所施加外力的大小和作用線位置等相應(yīng)物理量,進(jìn)行求解即可.

3 實(shí)例分析

圓柱體質(zhì)量為m半徑為r，某時(shí)刻獲得沿斜面向上的速度ν0(取沿斜面向上為正).

圖2 圓柱體在斜面上純滾動(dòng)

令圓柱體和斜面接觸點(diǎn)的速度νA=0，得該過程的平動(dòng)位移s1和狀態(tài)Ⅱ能量E1為:

第二階段:圓柱體質(zhì)心作勻減速運(yùn)動(dòng)，繞軸線作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，直到平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，圓柱體瞬時(shí)靜止.可解得該過程中靜摩擦力f和平動(dòng)位移s2為:

第三階段:由于受重力和靜摩擦力，圓柱體又從斜面上自由滾下，質(zhì)心作勻加速運(yùn)動(dòng)，圓柱體繞軸線勻加速轉(zhuǎn)動(dòng).同樣可解得:

設(shè)該階段的平動(dòng)位移為s3，當(dāng)s3=s1+s2即剛體又回到起始位置時(shí)，總能量E2為:

通過這個(gè)實(shí)例，驗(yàn)證了以下結(jié)論:

1)剛體在斜面上不受外力作用時(shí)，只能作“變速”純滾動(dòng).

2)不管圓柱體而作沿斜面向上還是向下作純滾動(dòng)，靜摩擦力總是沿著斜面向上.

3)E2=E1，即靜摩擦力不作功.

4 結(jié)論

通過上述分析討論得出以下結(jié)論:

1)剛體作勻速純滾動(dòng)有以下幾種情況:

(1)在水平面上，不受外力，則靜摩擦力為零;或者受外力，且外力和靜摩擦力是一對(duì)共點(diǎn)平衡力.

(2)在斜面上，必須受外力作用，且其作用線必須在y= (mg sinθ-T)r/T處，而靜摩擦力的大小和方向都取決于T和mg sinθ的大小關(guān)系.

2)剛體作變速純滾動(dòng)有以下幾種情況:

(1)在水平面上，必須受外力，靜摩擦力的方向取決于myr與I的大小關(guān)系.特殊地，當(dāng)myr=I的時(shí)靜摩擦力為零，再次驗(yàn)證了靜摩擦力的存在并不是剛體作純滾動(dòng)的必要條件.

(2)在斜面上，如果不受外力，則靜摩擦力必沿斜面向上;如果受外力則靜摩擦力的大小和方向由外力的大小以及作用線位置決定.

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社，1998.

[2]邢國(guó)禎，高春英.圓盤(剛體)純滾動(dòng)中靜摩擦力的作用[J].遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào)，1994，14(4):81-82.

[3]劉海.無(wú)滑滾動(dòng)中靜摩擦力的作用[J].六盤水師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2001，13(4):40-41.

[4]梁志強(qiáng).剛體純滾動(dòng)時(shí)靜摩擦力方向的判據(jù)[J].物理通報(bào)，1997(12):10-11.

[5]李惠玲，郭志俊.純滾動(dòng)剛體所受靜摩擦力的方向[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，12(1):43-45.

[6]劉大為，牛福龍.純滾動(dòng)輪所受靜摩擦力方向的確定[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，22(6):51-53.

Abstract:Analyzing the movement of pure rolling rigid body on an rough oblique plane，this essay is a discussion on tralation and rotation state changing or not.It gives possible situations two approaches happening and is validated by an example.

Key words:pure rolling;static fviction;rigid body;slide;rotation

〔編輯 李海〕

An Analysis of the Movement of Pure Rolling Rigid Body

GAO Cai-yun
(School of Physics and Electronics Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009)

O311.2

A

1674-0874(2010)05-0032-02

2010-06-25

高彩云(1980-)，女，山西五臺(tái)人，碩士，助教，研究方向:理論物理的教學(xué)與研究.