遞推法諧波測量及其改進

邱永生，王 燦，楊 宇

0 引言

電氣化鐵道是我國交通運輸的主要力量，具有很多優越性，但是也存在一些問題，最主要的就是電力機車在運行過程中會產生大量的電力諧波[1]，使電網電壓波形產生畸變，給電網帶來極大危害。與此同時，牽引線路獨特的諧波特征也成為一些保護的重要判據[2]。所以無論從諧波的抑制還是從諧波的應用來看，諧波測量都非常關鍵。

1 諧波測量方法概述

目前諧波測量方法主要分為4類。第1類基于傅立葉變換的諧波測量，其主要優點是精度較高，使用方便，而不足是計算量大造成檢測時間較長，當信號頻率和采樣頻率不一致時會產生頻譜泄漏效應和柵欄效應，造成測量誤差。針對其不足提出的很多解決方案[4～6]都取得一些成果。基于傅立葉變換的諧波測量仍然是當前實際應用的主要方法。第 2類是基于瞬時無功功率的諧波測量[7,8]，第 3類和第4類則分別是基于神經網絡的諧波測量[9,10]和基于小波分析的諧波測量[11～13]，后 3類方法各有其優缺點[3]，相關文獻都進行了詳細闡述。

2 遞推法諧波測量

使用傅立葉算法計算諧波，如果計算諧波次數較少時一般直接使用DFT算法并合并同類項來計算各次諧波，如果計算諧波次數較高時一般則使用FFT算法。使用 FFT算法計算諧波時間較長，往往每隔一個基波周期以上時間計算一次或在程序的主循環中計算，實時性不夠強。隨著技術的進步以及對裝置要求的提高，有些地方往往要求每個采樣間隔都能提供當前的諧波數值，以適應保護控制或測量的需求，這時再使用以上2種計算方法就會使資源很緊張甚至不夠用。本文使用傅立葉遞推算法并采用簡化的測頻回路，運算函數極其簡潔，可以在每個采樣中斷點計算出當前各次諧波值，同時僅占用中斷內極少的CPU時間，提高了運算速度，為裝置的其他工作如保護運算、控制等爭取了更多時間。

2.1 遞推法諧波測量推導

遞推法諧波測量仍然是基于傅立葉變換[14]，設輸入量傅立葉級數表達如下：

式中，l為諧波的次數，l= 0，1，…，m；ω為基波角頻率；Acl、Asl為第l次諧波的余弦和正弦分量的幅值。

根據傅立葉變化可得：

式中，Ts為采樣間隔，T=TsN為信號基波周期，則N為一個基波周期內的采樣點。將式（2）和式（3）中x(t)按采樣順序離散化，并采用矩形積分近似可得：

Acl(k)、Asl(k)分別對應當前時刻點第l次諧波的余弦和正弦分量的幅值，同理可得前一采樣間隔時刻點Acl(k-1)、Asl(k-1)的計算公式：

分別用式（4）—式（6）和式（5）—式（7）整理，可得：

由式（8）和式（9）就可以求得各次諧波分量的模值和相位角[15]。由式（8）和式（9）可見，用遞推法計算基波及各次諧波非常簡潔，相對于 FFT來說運算量非常小，更不用說普通DFT，而且該方法不需FFT算法要求的每周波采樣點N為2的整數次冪。隨著采樣頻率的增加，FFT算法計算時間成倍增長，而遞推法計算時間卻不變，這也是遞推法的重要優點。

2.2 遞推法諧波測量的問題及改進

觀察式（8）和式（9），如果CPU在從存儲設備中讀取數據時發生錯誤，無論Acl(k-1)、Asl(k-1)、(2/N)cos(2lkπ/N)、(2/N)sin(2lkπ/N)、xk、x(k-N)中任何一個出錯，由于該方法是遞推的，就會導致該錯誤一直保持在計算結果中，導致永遠的錯誤。當然，針對現在的技術而言，CPU從存儲設備中讀取數據錯誤的可能性是非常小的，但仍要保證萬無一失。可采用比較雙數據區的方案來解決。首先是采樣值采用雙數據區，Acl(k-1)、Asl(k-1)、(2/N)cos(2lkπ/N)、(2/N)sin(2lkπ/N)也同樣采用雙數據區。計算時，分別對2個數據區進行計算，將計算結果進行比較，如果不相等則表明中間有出錯環節，將所有歷史數據清零重新開始計算。如果在一段時間內出錯大于一定的次數，則裝置發告警信號或同時閉鎖裝置，請求維護。一般而言，現在的裝置數據采樣都采用雙緩沖區，而Acl(k-1)、Asl(k-1)、(2/N)cos(2lkπ/N)、(2/N)sin(2lkπ/N)占用的存儲區數量并不大，至于 2次運算和 FFT比較，由于遞推法本身運算量就很小，并不會增加多少運算量。因此，改進后，相比FFT和DFT算法，裝置性能得到了極大提高。

2.3 同步測頻

傅立葉遞推法大大降低了諧波測量的運算量，但是測頻并使采樣同步才是消除頻譜泄漏的關鍵。同步測頻的框圖見圖1。

圖1 同步測頻框圖

低通濾波器是使用RC的濾波，屬于基礎類的被動濾波，在選擇合適的R、C的精度和溫漂指標，可以將波形的畸變控制在一個可預期的范圍內。

經過低通后的波形進入幅值比較，由于和固定幅值比較，理論上可以得到一個周期性的方波，但是考慮有可能出現多次諧波，波形并非周期的正弦波形，所以需要進行再次濾波，準確地甄別出基波的頻率。這些都將在FPGA內進行集中處理。

FPGA內使用的是 100 MHz時鐘源，相對50 Hz的基波而言，可以做到非常好的分辨率。在波形經過幅值變化比較后，首先進行一次數字FIR濾波，然后對些許毛刺進行分析，分析波頭位置，并鎖頻，計算基波周期數，推算出周期，同時同步調整采樣周期，實現閉環頻率跟蹤及采樣控制。

在牽引變電所的實際應用中，由于饋線電壓電流的基波頻率是一致的，而用電壓作為測頻信號相對電流而言顯然更為穩定，故一般采用母線電壓作為測頻信號源。

3 應用及總結

以上方法已經應用于DSA96系列電氣化鐵道保護和監控裝置的研制中，該系列裝置采用TI公司最新 32位雙核芯片Davinci。以每周波采樣64點為例，分別對采用 FFT算法和采用遞推法諧波測量進行比較，表1中僅指計算一路模擬量的諧波對應的時間值。

表1 遞推法和FFT計算諧波比較表

由表1可見，2種諧波測量方法的測量精度是一致的，但計算速度上遞推法遠優于 FFT算法，隨著采樣頻率和需計算模擬量通道的增加，該優點將越來越明顯。將該方法應用于綜合諧波保護以及諧波抑制距離保護都顯著地提高了保護出口時間。

由以上闡述可見，采用帶校驗的遞推法相對于FFT算法而言具有以下優點：

（1）速度快，隨著采樣頻率和模擬量通道的增加，該優點越來越明顯；

（2）每基波周期采樣點不要求為2的整數次冪，擴大了應用范疇；

（3）算法簡單，程序實現簡潔方便。

因此，在工程實踐中采用帶校驗的遞推法計算諧波實用可行，值得推廣。

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