線性方程組在處理矩陣秩問題中的應用

林大華，戴立輝

（閩江學院 數學系，福建 福州 350108）

線性方程組在處理矩陣秩問題中的應用

林大華，戴立輝

（閩江學院 數學系，福建 福州 350108）

通過若干實例討論了用線性方程組解決矩陣秩問題的思路與方法.

矩陣的秩；線性方程組；應用

線性方程組的理論與矩陣的秩有很密切的關系，但一般的高等代數和線性代數的教科書多是討論如何用矩陣的秩來解決線性方程組的問題，對如何用線性方程組來討論矩陣的秩涉及的不多.而事實上很多矩陣秩的問題如果用線性方程組來討論的話是很容易解決的，本文試圖通過實例介紹用線性方程組解決矩陣秩問題的思路與方法.

1 基本結論

1.1 線性方程組A X=b有解?秩(A)=秩(A)，這里A分別是線性方程組的系數矩陣與增廣矩陣. 1.2若A是m×n矩陣，W是齊次線性方程組A X=0的解空間，則維(W)=n-秩(A).

1.3 若齊次線性方程組A X=0和B X=0的系數矩陣A和B分別是s×n與m×n矩陣，則

（1）若A X=0的解都是B X=0的解，那么秩(A)≥秩(B)；

（2）若A X=0與B X=0同解，那么秩(A)=秩(B)；

（3）若A X=0的解都是B X=0的解，且秩(A)=秩(B)，那么A X=0與B X=0同解.

證明 設W1與W2分別為A X=0與B X=0的解空間，則

維(W1)=n-秩(A)，維(W2)=n-秩(B)

（1）由假設知W1?W2，于是有維(W1)≤維(W2)，從而有

n-秩(A)≤n-秩(B)

故秩(A)≥秩(B).

（2）由于W1=W2，所以n-秩(A)=n-秩(B)，故秩(A)=秩(B).

（3）由于W1?W2，又維(W1)=維(W2)，所以W1=W2，故A X=0與B X=0同解.

注：當秩(A)=秩(B)時，A X=0與B X=0不一定同解.如，A=(0，1，0，…，0)，B=(1，0，…，0)時，秩(A)=秩(B).但A X=0的解空間為

W1={(k1，0，k3，…，kn)'|ki是任意數，i=1，3，…，n}

而B X=0的解空間為

W2={(0，k2，k3，…，kn)'|ki是任意數，i=1，3，…，n}

顯然，W1≠W2，故A X=0與B X=0不同解.

2 實例

例1設A、B分別為m×k和m×s矩陣，α是m維列向量，若秩(B α)=秩(B)，則秩(A B α)=秩(A B).

例2設A、B分別為m×n和n×s矩陣，且A B=0，則

秩(A)+秩(B)≤n

證明 設B的列向量為B1，B2，…，Bs，則

0=A B=A(B1，B2，…，Bs)=(A B1，A B2，…，A Bs)

于是A B1=A B2=…=A Bs=0，即B1，B2，…，Bs為A X=0的解.

令W為A X=0的解空間，則B1，B2，…，Bs∈W，因此B的秩，亦即列向量組B1，B2，…，Bs的秩不大于W的維數，即

秩(B)≤維(W)=n-秩(A)

故，秩(A)+秩(B)≤n.

例3設A為n階方陣，則存在n階方陣B，使得

秩(A)+秩(B)=k

其中k是滿足秩(A)≤k≤n的任何整數.

證明 設秩(A)=r，k是滿足r≤k≤n的任何整數.

若r=n，則k=n，于是取n階方陣B=0，就有

秩(A)+秩(B)=k

若r

當k=r時，取n階方陣B=0，就有秩(A)+秩(B) =k.

當k>r時，有1≤k-r≤n-r，令n階方陣

B=(B1，…，Bk-r，0，…，0)

則秩(B)=k-r，于是有

秩(A)+秩(B)=r+k-r=k.

例4若A是m×n實矩陣，則秩(A'A)=秩(A).

證明顯然，A X=0的解都是(A'A)X=0的解.

設X0是(A'A)X=0的解，則(A'A)X0=0，從而X0' (A'A)X=0，于是(A X0)'(A X0)=0，由于A X0是實m維列向量，所以A X0=0，即X0是A X=0的解.

因此，A X=0與(A'A)X=0同解，故秩(A'A)=秩(A).

②用與例2同樣的方法可以證明，當A為復矩陣時有

例5設A、B分別為k×m和m×n矩陣，且秩(A B)=秩(B)，則對任意n×s矩陣C，都有秩(ABC) =秩(B C).

證明由秩(A B)=秩(B)及B X=0的解都是(A B) X=0的解，知B X=0與(A B)X=0同解.

設X0是(ABC)X=0的任一解，則(ABC)X0=0，于是C X0是方程組(A B)X=0的解，從而C X0是B X=0的解，因此(B C)X0=0，即X0是(B C)X=0的解.

另一方面，(BC)X=0的解顯然是(ABC)X=0的解.

所以，(BC)X=0與(ABC)X=0同解，故秩(ABC)=秩(BC).

〔1〕北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔2〕樊惲，錢吉林，等.代數學辭典[M].武漢:華中師范大學出版社,1994.

O151.2

A

1673-260X（2010）03-0006-02

“十一五”國家課題“我國高校應用型人才培養模式研究”數學類子課題研究項目（FIB070335-A2-03）