中秋博餅中的數學問題

李艷芳

（福建師范大學 閩南科技學院 理工系，福建 泉州 362332）

中秋博餅中的數學問題

李艷芳

（福建師范大學 閩南科技學院 理工系，福建 泉州 362332）

博餅，是福建廈門三百年來獨有的中秋傳統活動，是一種獨特的月餅文化，也是廈門人對歷史的一種傳承.相傳，中秋博餅，是鄭成功屯兵廈門時為解士兵的中秋相思之情、鼓舞士氣而發明的.于是，一代一代傳下來，就成了如今廈門獨具特色的民間習俗.本文從數學的角度，用古典概率和獨立性的理論計算各個獎項中獎的概率、哪個獎最難中以及什么獎都拿不到的概率，并分析獎項設置的合理性助.

博餅；古典概率；獨立性

1 博餅規則

會餅一套，骰子一副（6個），大瓷碗一個.每個人每次要把6個骰子一起投進大瓷碗里，眾人依次投骰子，看骰子點數得餅（獎品）.獎項從大到小如下表所示（關于博餅規則，一秀到對堂是沒有爭議的；而對于狀元里面的分類和大小順序，各公司、單位及商場在執行的時候略有不同，下表所示是常見的一種規則.規則是人為制定的，制定好后玩家共同遵守，重要的是享受游戲過程中的樂趣）：

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2 獎品設置

一套中秋會餅中，共有大小不同的63塊餅.依大小順序分別為：狀元餅1塊；榜眼餅2塊；探花餅4塊；進士餅8塊；舉人餅16塊；秀才餅32塊.博餅游戲延續到現代，會餅已經被其他物品所替代，如日用品，食品，購物卷等.這些物品按照會餅規定的數量組合.

3 說明

3.1 如果沒有出現上述排列組合中的任何一種情形，則投擲者什么也得不到；如果投擲過程中有骰子溢出瓷碗，則投擲者不僅什么也得不到，下一輪還要輪空；

3.2 如果一個排列組合可以符合多種情形時，按最大者，即按排在表中最上層者算，如兩粒紅四點，得二舉一個，而不能得一秀兩個；

3.3 在會餅全部分配完畢前，自第五個三紅得主起，后來的三紅得主均可以向游戲進行的反方向離自己最近的三紅得主追繳三紅餅一個；同樣，自第三個對堂得主起，后來的對堂得主可以按游戲反方向順序追繳前面對堂得主的對堂餅一個；

3.4 狀元餅的分配，則按大小來算，排在表中上層的為大，如果同時出現五王或五子，則按剩下的那個骰子點數來算，點數大者勝；如果同時出現多人有四粒紅四點，則按剩下的2粒骰子的點數之和的大小來算，大者勝；如果點數相同，則先擲出者勝；

3.5 同一博手兩次或兩次以上博到狀元，以最后一次算數，若該博手“祿骨”[同一博手兩次博到狀元但點數小于先前（先前的狀元大于其他博手），也小于其他博手，稱為祿骨]，狀元即被追繳，若是狀元插金花，所得的對堂不被追繳，只追繳狀元.

4 概率計算

假設骰子相互獨立（相當6個骰子分開搖），得出表中所示骰面組合的理論概率；但實際6骰子一起搖，相互碰撞，獨立性假設存在一定誤差.

同時擲6只骰子，每一種擲法為一個基本事件，樣本空間是由所有可能的骰面組合構成的集合，樣本空間中含有66=4665 6個樣本點，對于每個骰子而言，每個骰面被擲出的可能性相同，這是一個古典概率問題.表中列出的11種情況兩兩互不相容.

狀元插金花（4個4加2個1）：

p1=C46/66=15/4665 6≈0.0003 2;

六杯紅（6個 4）：p2=1/66=1/4665 6≈0.0000 21;

六杯黑（6個都一樣，但非6個4）：

p3=5/66=5/4665 6≈0.0001 07;

五王（5個 4，一個非 4）：

p4=C56×6/66=36/4665 6≈0.0007 72;

五子登科（5個一樣但不能為4，另外一個與其他 5個不同）：p5=C56×6×5/4665 6=180/4665 6≈0.0038 58;

普通狀元（4個4，另外兩個均非4，也不能同時為 1）：p6=C46×[5×5-1]/4665 6=360/4665 6≈0.0077 16;

對堂（1到6各一個）：

p7=C16C15C14C13C12C11/66=720/4665 6≈0.0154 32;

三紅（3個4，其他3個都非4）：

p8=C36×5×5×5/4665 6=2500/4665 6≈0.0535 84;

四進[4個一樣的（非4），另外2個與其他4個不同]:p9=C46×5×5×5/66=1875/4665 6≈0.0401 88;

二舉[有2個4，另外4個中不能有4，并且還不能都一樣（否則成四進了）]:p10=C26×(5×5×5×5-5)/66=9300/4665 6≈0.1993 31;

一秀[1個4，另外5個的狀況有點復雜，其中不能有4，不能都一樣（否則成五子登科了），不能有其中4個是一樣的（否則成四進了），還不能分別是 1、2、3、5、6（否則就成對堂了）]:p11=C16×(5×5×5×5×5-5-C45×5×4-5!)/4665 6=1749 9/4665 6≈0.3729 42.

5 結果分析

計算結果如表1的左半部分所示.

5.1 六杯紅的概率其實是最小的，這個獎項最難獲得，從概率的角度把六杯紅設置為最高獎更合理；同樣如果按照概率小的級別高這樣一個原則，對原來的游戲規則進行調整，各獎項從大到小如上表右半部分所示.

表1

5.2 p1+p2+L+p11≈0.6942 73擲一次骰子能得獎的概率為0.6942 73，假設一桌10人，那么一圈之后大概有7人能拿到獎品，全部獎品有63份，理論上9圈后獎品差不多會分完.由于三紅和對堂可被追繳，所以實際圈數可能會增加.擲一次骰子什么獎都得不到的概率為0.3057 27，9圈后沒有得到任何獎品的概率為 0.3057 279≈0.0000 2，相當于1/5000 0，這個概率非常小，所以基本上大家都能拿到獎品.

5.3 博出狀元的概率為p1+p2+p3+p4+p5≈0.0127 96，約1/78，假設一桌10人，理論上，8圈之內應該會出狀元.

〔1〕盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2001.

〔2〕陳魁.概率論統計輔導[M].北京：清華大學出版社，2004.

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1673-260X（2010）12-0017-02