結合環上的一類乘法映射

王力梅

(天水師范學院數學與統計學院,天水 741000)

結合環上的一類乘法映射

王力梅

(天水師范學院數學與統計學院,天水 741000)

本文給出了結合環上一類乘法映射的定義,并且利用peirce分解的方法討論了若該結合環滿足一定的條件,則環上的乘法映射一定是可加的,從而進一步完善了乘法映射的結果.

結合環;Martindale條件;乘法映射＊

1 介紹及預備知識

近幾年來,可加映射的研究是人們研究的一個熱門話題,自從Rickart[1]和Johnson[2]最早研究了乘法同構是否可加的問題以后,許多學者從不同的方面完善了這個結果, Daif[3]考慮了可乘導子的可加性問題,杜煒等人[4]將這個結果推廣到套代數上,劉珍[5]又利用分塊理論考慮了Banach空間上有界線性算子是自動可加的,本文在以上結論的基礎上考慮了環上δ-導子的可加性,從而進一步完善了可加映射的研究成果.

設R和S是任意的結合環(不一定有單位元),對任意的x,y∈R,若存在一個一一映射σ:R→S使得(xy)σ=xσyσ,則稱這個映射σ為R到S的一個乘法同構.Rickart和Johnson最早研究了乘法同構是否可加的問題.但是,這些文章對環R加了某些條件的限制,而Martindale[6]取消了這些限制,同時概括了Rickart的主要定理.本文在此基礎上研究了環上乘法δ-導子的可加性.在文獻[7]中,Beidar給出了環上導子的定義:設R是任意的結合環,d為環R上的一個可加映射,如果對任意的x,y∈R,都有(xy)d=xdy+x,那么稱d為環R上的一個導子.本文在此基礎上給出了乘法δ-導子的定義.定義如下

定義1.1 設R是任意的一個結合環,δ是一個(不一定可加)映射,若對任意的x,y∈R,都有(xy)δ=y+x,則映射δ:R→R稱為環R上的一個乘法導子.

定義1.2 設R是任意的一個結合環,若對任意的x,y∈R,存在環R上的一個自同構δ,使得(xy)g=xgy+,那么映射g:R→R稱為環R上的一個乘法δ-導子.

定義1.3 設R是任意的一個結合環,{eα|α∈Α}是冪等元且{|α∈Α}?R, (1)xR=0?x=0

(2)如果eαR x=0(α∈Α),那么x=0(即R x=0?x=0)

以上條件稱為Martindale條件.

2 主要結論

定理2.1 設R是任意的一個結合環,{eα|α∈Α}是冪等元且{eα|α∈Α}?R,若環R滿足Martindale條件,則環R上的乘法δ-導子g是可加的.即(x+y)g=xg+yg在證明主要定理之前,先看以下幾個引理

引理2.2 0g=0

證明:0g=(0·0)g=0g·0+0δ·0g=0+0=0

下面幾個引理的證明,我們處理{eα|α∈Α}中一個固定的冪等元.我們稱這個冪等元為e1,設e2=1-e1(R不一定有單位元).那么,設Rij=eiR ej,i,j=1,2,我們可以將R按peirce分解寫成R=R11⊕R12⊕R21⊕R22,其中xij∈Rij

由上式得到

而

同樣,對a2j∈R2j,我們有

對于i,j,k本質的不同是設i=k=1,j=2

引理2.4 g在R12上可加

證明:設x12,u12∈R12,須證

對于a1j∈R1j我們有

對于a2j∈R2j運用以上引理顯然有

綜上可知,

引理2.5 g在R11上可加

而

所以

同理

引理2.6 g在e1R=R11+R12上可加

由引理2.3,2.4,2.5可知

定理2.1的證明:

設任意的x,y∈R,αt∈eαR

又由于[αt(x+y)]g=(x+y)g=(x)g+(y)g(δ在R上可加)

由中Martindale條件的條件(2)知(x+y)g-(xg+yg)=0

即(x+y)g=xg+yg

[1]RickartC E.One-to-one mappings of rings and lattices[J].Bull.Amer.Math.Soc,1948,54:758-764.

[2]Johnson R E.Rings with unique addition[J].Proc.Amer.M ath.Soc,1958,9:57-61.

[3]Daif M N.W hen is amultip licative derivation additive?[J].Internet J Math Sci,1991,14:615-618.

[4]杜煒,張建華.套代數上的可乘導子[J].紡織高校基礎科學學報,2007,20:153-155.

[5]劉珍,劉江.上的可乘導子[J].寧夏師范學院學報(自然科學),2008,6(29):12-15.

[6]Martindale W S.Enaremultip licative mappings additive?[J].Proc.Amer.M ath.Soc,1969,21:695-698.

O153.3

A

1004-7077(2010)02-0034-03

2010-01-18

王力梅(1980-),女,甘肅蘭州人,助教,碩士,主要從事環論研究.

[責任編輯:陳慶朋]