無支架纜索吊裝系統單跨雙吊點主纜計算

劉 睿，雷雨亮，周水興

(1.重慶交通大學 土木建筑學院，重慶400074;2.北京海龍公路工程公司，北京102206)

無支架纜索吊裝系統是大跨度拱橋主拱拱圈(肋)及拱上構件安裝常用的施工設備［1－3］。此外，也可用于懸索橋加勁梁的安裝施工［4］。

主纜是纜索吊裝系統最主要的承重軌道。通常一個構件由兩個吊點同時起吊，但一直以來有關雙吊點主纜弧長、垂度和水平張力等，均按兩吊點的合力作用于吊點中心，采用單吊點公式開展［5］。目前國內對無支架纜索吊裝系統吊裝節段的扣索力、預抬量研究較多，但對纜索系統本身的研究很少［6－8］。楊勝［9］利用MATLAB數學運算工具編寫了主纜計算程序，但主纜垂度和水平張力等仍按單吊點法計算。文獻［10］推導了雙吊點主纜的相關公式，但弧長和垂度公式有誤;在比較單吊點法和雙吊點法計算誤差時，僅分析了主纜跨徑的變化，而忽略了其他參數變化對計算誤差的影響。

隨著橋梁跨度的不斷增大，對計算精度和施工控制要求也在相應提高。筆者根據主纜靜力平衡原理，建立了單跨雙吊點主纜以各吊點位置為分界點的主纜分段曲線方程，推導了相應的主纜水平張力和垂度計算公式，分析了主纜跨徑、纜索自重、雙吊點間距和吊重等因素對主纜水平張力的影響。結果表明:按單吊點法或雙吊點法計算單跨雙吊點主纜水平張力，其差異主要受雙吊點間距與主纜跨徑之比的影響，且主纜水平張力的差異隨雙吊點間距與主纜跨徑之比的減小而減小，當兩者之比在0.05以內時，用兩種方法計算得到的水平張力的相對誤差也在5%以內，可忽略不計。

1 單跨雙吊點主纜相關公式推導

兩端固定于地壟或其他錨固裝置，中間支承于兩塔架的主纜為3跨連續索。當兩邊跨跨度較小時，為簡化計算，常忽略其影響，同時不計兩塔架位移，視主纜與塔架平滾(或索鞍)的接觸點不會滑動，這樣主纜就可以按兩端固定的單跨主纜計算［5］。圖1為單跨雙吊點主纜計算簡圖。

圖1 單跨雙吊點主纜計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of main cable with double-lifts in single span

圖1中:HA為左端塔頂A處主纜的水平張力;VA為左端塔頂A處支點反力;HB為右端于塔頂B處主纜的水平張力;VB為右端塔頂B處的支點反力;β為主纜弦傾角，β=arctan(h/l);g0為主纜自重荷載集度;g為主纜按跨徑均勻分布的自重荷載集度;t為主纜左吊點距左索塔A的水平距離;a為左右兩吊點間距;l為主纜跨度;P為作用于主纜上的集中荷載(P/2表示荷載由兩吊點均勻分擔);h為兩索塔高差。

1.1 基本假定

1)主纜在跨間只承受張力而不承受彎矩［5］;2)在主纜跨中各處主纜的水平張力大小相等，HA=HB=Hx=H［5］;

3)構件吊重由兩個吊點平均分擔。

1.2 主纜弧長S的計算

1.2.1 左、右索塔處支反力

左索塔(A點)支反力:

式中:HA為距A點水平距離為t處(左吊點)的主纜水平張力;其余參數含義同上。

右索塔(B點)支反力:

1.2.2 主纜曲線方程

作用有雙吊點的主纜(圖1)，其線形由左塔頂(A點)至左吊點(C點)、左吊點至右吊點(D點)、右吊點至右塔頂(B點)3個分段曲線組成。主纜弧長可通過其曲線方程求得。

以左邊塔頂A點作為整個坐標系的坐標原點，沿HA方向作為x軸，沿VA方向作為y軸，并設點C距點A的水平距離為t。將主纜曲線從A點至C點分為第1段，從C點至D點分為第2段，其坐標表示為從D點到點B分為第3段，其坐標表示分別為:x∈ (0，t) 、x∈(t，t+a) 、x∈(t+a，l) 。

對于A－C段主纜曲線，可建立圖2所示的計算簡圖。

圖2 主纜A－C段計算示意Fig.2 Calculation diagram of segmentA－Cof main cable

圖2中:Hx為A－C段上距A點水平距離為x處主纜水平張力;Vx為A－C段上距A點水平距離為x處主纜豎向分力;其于參數含義同圖1。

對A點取矩，由∑MA=0

由:∑V=0，得:Vx=VA－gx

可得出A－C段主纜的曲線方程:

式中:據基本假定2)，因HA=HB=Hx=H，為此以后各式中Hx均表示為H。

同理，參照圖3、圖4，可得C－D段和D－B段弧的曲線方程。

圖3 主纜C－D段計算示意Fig.3 Calculation diagram of segmentC－Dof main cable

圖4 主纜D－B段x∈(t+a，l)計算示意Fig.4 Calculation diagram of segmentD－B x∈ (t+a，l)of main cable

將3個曲線方程聯立，即為主纜曲線的分段方程，如式(4):

1.2.3 主纜弧長S的計算

將上式展開成級數，取前兩項得:

將式(5)因式分解、合并同類項得單跨雙吊點主纜的弧長計算式:

文獻［10］由于弧長公式推導有誤，因此，退化計算后得不到與式(7)相同結果，導致后續水平張力方程和垂度的計算式也相應有誤。

1.3 主纜水平張力普遍方程

第1狀態:設載有吊重的跑車Pmax(Pmax為最大吊重和跑車及起重設備的總重)位于主索跨度的中間以此作為變化前的標準平衡狀態。第2狀態:設荷載Px≤Pmax，荷載左吊點位于距A支點距離為t處，與此狀態相對應的主索曲線長度為St，支座A處主纜張力為Tt，水平張力為Ht。

在上述2個平衡狀態中，主索曲線長度的改變，是由于主索在不同荷載位置作用下張力變化而引起的彈性變形ΔS所產生，其值可用式(8)計算:［1］

將式(6)代入式(8)，可得雙吊點纜索水平張力普遍方程:

式中:Hmax為最大吊重位于跨中時主纜的水平張力;G為主纜總重，G=gl;E為主纜彈性模量;F為主纜截面積;P為作用于主纜上的任意集中荷載;P≤Pmax;其余參數含義同上。

1.4 安裝時主纜張力方程及主纜垂度計算

1.4.1 主纜安裝時的張力方程

式中:H0為主纜的安裝水平張力;P0為跑車等空載時的重量;其余參數含義同上。1.4.2 左、右吊點垂度普遍公式

左吊點垂度計算簡圖如圖5。

圖5 左吊點垂度計算簡圖Fig.5 Calculation diagram of sag in leftlift

圖5中:Ht為左吊點處主纜的水平張力;Vt為左吊點處主纜的豎向分力。

對x=t位置取矩，由∑Mt=0，即:

可得左吊點垂度計算式:

同理，據右吊點垂度計算簡圖(圖6)，可得右吊點的垂度計算式。

圖6 右吊點垂度計算簡圖Fig.6 Calculation diagram of sag in rightlift

圖6中:Ht'為右吊點處主纜的水平張力;Vt'為右吊點處主纜的豎向分力。

右吊點垂度計算式:

式中:t'為右吊點距支點A的水平距離，t'=t+a;其余參數含義同上。

1.4.3 安裝垂度計算式

當安裝吊重P位于跨中，將0代入左吊點垂度計算公式，或將代入右吊點垂度計算公式均可求得雙吊點的安裝垂度計算公式:

1.4.4 吊重最大時主纜垂度計算式

主纜最大垂度計算公式:

2 單、雙吊點公式計算誤差控制

因主纜的相關計算都是基于主纜最大水平張力開展后續計算，故只對雙吊點纜索按單吊點法和雙吊點法計算的最大水平張力進行比較。

2.1 單、雙吊點法最大水平張力計算公式差異

主纜按單吊點法計算最大垂度的公式如式(15):

式中:fmax為主纜的最大垂度;其余參數含義同上。

對比式(14)可知，式(15)是當a=0時的特例。

記:雙吊點主纜利用單吊點法與雙吊點法計算水平張力的相對誤差為δ，計算如式(16):

令:δ≤0.05(工程容許誤差)，則式(17)可改寫成以k為自變量的不等式方程:

求解該不等式，得到k＞0的k值范圍為:

當k≤0.05的時候，δ＜0.05，即:雙吊點主纜計算可選用單吊點法公式滿足工程誤差要求。

對式(19)的右邊進行計算:

綜上分析，雙吊點纜索在滿足以下2個推論之一時，采用單吊點法公式計算均滿足工程誤差要求。

推論1:當k＜0.05時，δ＜0.05。

推論2:當0.05≤k≤ μ時，δ≤0.05，(μ=

2.2 算例及分析

主纜跨徑l=217.04m，兩吊點間距a=13m，兩岸高差h=4m，E=75 600 MPa，拱肋最大凈重P1=400 kN，吊具、配重及施工荷載P0=50 kN，Pmax=P1+P0=450 kN，主纜單位自重集度g0=0.44 kN/m，主纜弦傾角 β =0.012(弧度)。

因此:

因k＞0.05且k＞μ，不滿足2個推論的要求。

不宜采用單吊點公式計算。下面用單、雙吊點法分

表1 算例單吊點法與雙吊點法最大水平張力計算誤差Tab.1 Calculation tolerance of maximal horizontal tension with the method of singelift and doublelifts in a certain project

主纜自重和吊點間距不變的情況下，在不同主纜跨度和不同吊重下最大水平張力的相對誤差。計算結果如表2～表4。

表2 當Pmax=450 kN時k、θ變化對δ的影響Tab.2 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 450 kN

表3 當Pmaxis 1 000 kN時k、θ變化對δ的影響Tab.3 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 1 000 kN

表4 當Pmaxis 1 500 kN時k、θ變化對δ的影響Tab.4 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 1 500 kN

通過表2～表4數據證明:本文的2個推論是正確的。

3 結語

根據無支架纜索吊裝系統單跨雙吊點主纜受力及曲線形態，給出了主纜分段曲線弧長表達式，推導了主纜垂度、水平張力等計算公式。分析了主纜自重、跨徑、吊點間距、最大吊重等因素對主纜水平張拉的影響，為今后主纜計算提供理論依據，且可提高計算精度。

由于主纜在自然環境中受到溫度變化的影響會發生伸縮，但本文公式中未計入溫差影響，對此，讀者可參考文獻［5］，在此不再贅述。

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