基于指數標度的層次分析法在橋梁評定中的應用

孫東生，朱 懿，周水興

(1.重慶交通大學 土木建筑學院，重慶400074;2.四川省鐵路建設有限公司，四川成都610072)

目前，國內外權重系數的計算方法主要有:特爾斐專家評估法(Delphi)［3］、主成分分析法［4］、層次分析法(AHP)［5］。其中層次分析法是一種定性與定量相結合、系統化、層次化的分析方法，因其處理多目標復雜決策問題實用、有效而得到廣泛應用。兩部規范中技術狀況評定方法仍沿用了層次分析法的思路，然而，傳統AHP中1－9標度存在部分缺陷，容易導致評定結果出現逆序、判斷矩陣一致性與思維一致性相脫節等問題［6－10］。鑒于AHP的實用性較強、簡明易懂，如對其權重標度進行改進仍是一種較好的方法。對此，國內外學者提出了多種不同的標度，主要有改進 1 －9 標度［6］，比例標度［7］，9/9 －9/1 和 10/10 －18/2 標度［8］，0.1 －0.9 標度［9］，指數標度［11］等。舒康［11］等依據心理學上的韋伯－費希納定律，提出的指數標度較好地解決了思維一致性與判斷矩陣一致性相脫節問題。呂躍進［12－14］對指數標度和1－9標度進行了系統的比較分析，指出兩者的不相容性，得出1－9標度可能導致決策失誤，而指數標度則是一個計算結果可信、優良的標度，并根據指數標度在參數a=1.316的情況下，計算出對應的1～13階隨機一致性檢驗指標值，完善了指數標度理論。如今，改進后的基于指數標度的層次分析法已在經濟、工業、軍事等多個領域中得到良好應用［15－16］。然而，基于指數標度的層次分析法在橋梁技術狀況評定中的應用尚未見報道，多數仍沿用傳統的基于1－9標度的層次分析法，存在一定的不合理性。

筆者將基于指數標度的層次分析法應用到橋梁技術狀況評定中，以中承式鋼管混凝土系桿拱橋為例，構造構件兩兩判斷矩陣，計算出各自的權重系數(簡稱構權)。與相同重要性評語下的1－9標度計算結果對比表明:從整體到細部構件的權重系數，指數標度計算結果都較為準確地反映出構件之間的重要性關系，說明用指數標度來計算構件權重系數是合理可行的。

1 基于指數標度的AHP構權

1.1 指數標度

式中:n為重要性程度劃分等級;a為待定參數。

對于參數n與a的確定，從心理學上考慮，人們對2個事物差別程度的辨別區分通常至多9級，超過9級時的判斷極易產生混亂與模糊不清。因此，一般情況下重要性程度等級分為9級為宜，即n=8。考慮到兩兩比較中的因素重要性程度應當在同一數量級上才容易比較。所以，一般認為9是重要性之比的極限［10］，則改進后指數標度公式變為:

式中:參數a值可通過公式確定a=1.316，與文獻［10］中通過心理調查得到的a相同。從而確定1－9級中所有的權重標度見表1。

表1 改進指數標度Tab.1 Improved exponential scale

由于指數標度具有良好的心理學依據，克服了1－9標度思維一致性與判斷矩陣一致性不一致的矛盾，并且引入到數學結構中，具有良好的有界封閉性、自治性、一致性［13］。

施錦芳（2015）得出日本企業的融資方式主要是間接融資，政府建立中央和地方信用擔保機制，在政府的監管協助下，企業既增加了運行信心，又分攤了擔保風險。其次，日本的主辦銀行制度形成了銀行為主的融資體系，大型企業和銀行構成融資體系的主體，形成了銀企互相參股的局面，助長了一批企業的迅速發展。

1.2 構權步驟

1)依據指數標度，構造評定指標兩兩判斷矩陣K=(uij)n×n，uij為評定指標i與指標j重要性關系標度值，按表1取值;n為評定指標的個數。

2)求判斷矩陣K=(uij)n×n的最大特征值λmax，并進行隨機一致性檢驗(見2.3)，如能滿足要求進行第3)步。否則，予以調整K=(uij)n×n，直到λmax滿足要求為止。

3)ωi權重計算。找出最大特征值λmax對應的特征向量，歸一后，即得到對應評定指標權重系數ωi。

1.3 一致性檢驗

在構造兩兩判斷矩陣時，由于客觀事物的復雜性以及人類判斷能力的差別，構造的判斷矩陣難以達到完全一致，可能會出現A比B重要、B比C重要、C比A重要的錯誤結果。因此，需要對所構造的判斷矩陣進行隨機一致性檢驗。

傳統隨機一致性指標RI值是針對1－9標度而言，指數標度是一種新的標度，不能繼續沿用。所以，要對隨機一致性檢驗指標RI值重新計算，文獻［14］依據1－9標度隨機一致性檢驗指標的計算方法，統計出了1－13階正互反矩陣計算1 000次得到的平均隨機一致性指標RI值(表2)，其他步驟仍沿用1－9標度的檢驗方法，具體如下:

1)計算一致性指標CI

式中:n為判斷矩陣的階數;λmax為判斷矩陣最大特征值。

2)隨機一致性檢驗指標(表2)

3)計算一致性比例

當CR＜0.10時，認為該判斷矩陣的一致性是可以接受的。即可將特征向量歸一后，作為判斷指標的權重系數;否則，予以調整判斷矩陣。

2 橋梁構件權重系數計算

文獻［1］把橋梁構件先分為下部結構、上部結構、橋面系，再分別針對不同橋型對三部分劃分子構件。文獻［2］則統一所有橋型構件。參考兩部規范，以中承式鋼管混凝土系桿拱橋為例，主橋構件劃分為兩層:第1層劃分為橋面系、上部結構、下部結構;第2層劃分為第1層中3部分的子構件。運用筆者推薦的指數標度構造判斷矩陣、計算如下:

表2 指數標度隨機一致性檢驗指標Tab.2 Random consistency index of exponential scale

2.1 第1層全橋結構

按全橋劃分的結構構件包括:{A，B，C}={下部結構，上部結構，橋面系}。根據已有病害調查經驗可知:對于鋼管混凝土拱橋，病害主要集中在上部結構中，如:拱肋脫空、吊桿銹蝕、系桿斷裂等，下部結構病害較少，對橋梁總體技術狀況影響不大。由此，判斷A比B為稍微重要，A比C為強烈重要，B比C為明顯重要，按照表1對應的標度值，構造出判斷矩陣為:

計算得到λmax=3.008 4，由表2及式(3)、式(4)可計算出:CR=0.012＜0.10，滿足隨機一致性檢驗要求。各部分權重值ωi:{下部結構，上部結構，橋面系}={0.53，0.36，0.11}。按此方法對第 2層構件構造判斷矩陣及權重計算。

2.2 下部結構

按下部結構劃分的構件包括:{A1，A2，A3，A4}={基礎，拱座(橋墩)，地基沖刷，支座}。這里把橋臺、錐坡、耳墻作為引橋部分考慮，技術狀況評定時不包括在主橋構件之內。按此順序構造出判斷矩陣為:

計算得到 λmax=5.012，CR=0.005＜0.10，滿足隨機一致性檢驗要求。計算本層權重值ωi={0.47，0.29，0.19，0.07}，乘以下部結構在整個橋梁中的權重系數0.53，得到下部結構的構件權重ωi:{基礎，拱座(橋墩)，地基沖刷，支座}={0.249，0.143，0.101，0.037}。

2.3 上部結構

上部結構劃分的構件包括:{B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7}={拱肋，橫向聯系，系桿、吊桿、拱上立柱、橫梁、縱梁}，按此順序構造出判斷矩陣為:

計算得到 λmax=7.012，CR=0.002＜0.10，同樣滿足隨機一致性檢驗要求。計算本層權重值ωi={0.3，0.1，0.17，0.13，0.1，0.1，0.1}，乘以上部結構在整個橋梁中的權重系數0.36，得到上部結構的構件權重ωi:{拱肋，橫向聯系，系桿，吊桿，拱上立柱，橫梁，縱梁}={0.108，0.036，0.061，0.047，0.036，0.036，0.036}。

2.4 橋面系

按橋面系劃分的構件包括:{C1，C2，C3，C4，C5，C6}={橋面鋪裝，伸縮縫，人行道，排水設施，欄桿、護欄，附屬設施}。按此順序構造出判斷矩陣為:

計算得到λmax=6，CR=0＜0.10，滿足隨機一致性檢驗要求。計算本層權重值ωi={0.22，0.22，0.16，0.12，0.12，0.16}，乘以橋面系在整個橋梁中的權重系數0.53，得到橋面系的構件權重ωi:{橋面鋪裝，伸縮縫，人行道，排水設施，欄桿、護欄，附屬設施}={0.024，0.024，0.018，0.013，0.013，0.018}。

2.5 計算結果分析

依據以上構件之間的相對重要性關系評語對應的1－9標度值，構造判斷矩陣，計算出構件權重系數與指數標度計算結果對比見表3(全橋構件權重為100)。

表3 指數標度與1－9標度計算結果對比Tab.3 Comparison between calculation results from exponential scale and that from 1－9 Scale

從表3可得，用指數標度法計算結果為:下部結構為53，上部結構為36，而用1－9標度計算結果分別為65和28。可見，指數標度削弱了下部結構的權重，加大了上部結構的權重。對于系桿，吊桿等細部構件的權重系數，指數標度計算結果要比1－9標度大，更能反映出它們的重要性。分析鋼管混凝土拱橋病害一般集中在上部受力構件，同時考慮到系桿的作用，對基礎要求偏低。由此，指數標度計算結果對于鋼管混凝土系桿拱橋受力構件是合理的。橋面系對橋梁技術狀況評定因橋型差異影響不大，指數標度計算結果與文獻［2］給出的權重系數基本一致，1－9標度計算結果差別較大，表明對于非受力構件，指數標度計算結果與公路橋梁養護規范吻合較好。

3 結 語

運用指數標度和1－9標度，通過對中承式鋼管混凝土系桿拱橋的不同構件構權結果對比表明，在相同重要性評語下，指數標度比1－9標度計算的權重系數分布更加合理，更能反映出評定橋梁的結構特點。本文的計算結果只是把基于指數標度的層次分析法運用到橋梁中的一次嘗試，計算結果可作為最初權重(有文獻稱原始權重)，相比1－9標度計算結果已具有明顯的優勢。對于最終權重系數的確定要根據實際情況做相應的修正。修正方法較多，但多數都以原始判斷矩陣或原始權重作為基礎，在此基礎上引入不同的理論，如:群判理論、變權理論及模糊數學理論等，進行一系列的數學處理，最后得到評定指標的最終權重系數。對此，筆者認為權重標度的選擇是AHP一項基礎性工作，是確定最終權重系數的關鍵環節，具有更高的研究價值。

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