抗差估計的選權迭代法分析與比較

陳西強,黃張裕

(河海大學 測繪科學與工程系,江蘇 南京 210098)

抗差估計的選權迭代法分析與比較

陳西強,黃張裕

(河海大學 測繪科學與工程系,江蘇 南京 210098)

在抗差穩健估計中,選權迭代法應用最廣,較易理解,M估計法計算簡單。基于M估計的基本理論,深入分析Huber、Hampel、IGG 3種常用的選權迭代法,并利用水準網數據,分析這3種常用選權迭代法的適用范圍和相應的抗差效果,表明IGG法比其他兩種的抗粗差效果要好,且易實現。

抗差穩健估計;選權迭代法;Huber法;Hampel法;IGG法

在抗差穩健估計中,最常用的為M估計法,其估計方法有許多種,其中選權迭代法應用最廣,較易理解,計算簡單。對于選權迭代法,理論研究相對比較多,但對其中的參數選取,在理論上有所研究,實際應用研究上存在不夠深入和不足的問題[1-2]。本文在分析M穩健估計基本理論的基礎上,討論了3種常用的選權迭代法。選用水準網實例,深入分析3種選權迭代法的初始權選取和條件參數選取,并從縱橫兩個方面來進行比較、分析這3種常用選權迭代法的適用范圍和相應抗差效果,表明IGG法比其他兩種方法的抗粗差效果要好,且易實現。

1 M穩健估計

設有參數向量X是未知的非隨機量,為了估計未知向量值,進行n次觀測得到向量L的觀測值l,由極大似然估計有[3]

式中:f是隨機量L的密度函數。

Huber提出用ρ(li,x)代替函數-lnf(li,^x),使其定義廣義化,于是有

式中:φ(li,^x)=?ρ(li,x)/?x。

由式(2)對參數x進行估計,就是廣義極大似然估計,簡稱M估計。測量平差中,觀測量L的殘差為V,M估計的函數ρ可取為ρ(vi),即M估計的準則為

通常殘差V為未知數的函數,將式(2)對未知數x求導,取極值點,則有

考慮到誤差方程vi=ai^x-li,ai為A的第i行向量,則有

令權函數pi(vi)=ρ′(vi)/vi,即得

用矩陣表示為

式(7)類似最小二乘估計的法方程形式,用權函數矩陣P(V)=diag(p1(vi),p2(vi),…,pn(vi))代替觀測權陣P。為此,可將穩健估計的選權迭代法歸結為如下模型:

誤差方程與權函數為

估計準則為

將平差模型轉換為最小二乘估計的模型,采用類似最小二乘估計。只是權函數P(V)是殘差的函數,計算前V未知,只能通過給其賦予一定的初值,采用迭代法估計參數^x。具體計算過程如下:

1)列誤差方程,令各觀測權函數初值均為1,即令p1(vi)=p2(vi)=…=pn(vi)=1。

2)解算法方程,得出^x和V的第1次估值^x(1)=(ATA)-1ATl,V(1)=A^x(1)-l。

3)由V(1)確定各觀測權函數pi(vi),再解算法方程,通過迭代計算,直到前后兩次解的差值符合要求為止。

4)最后結果為

隨著函數ρ的選取不同,可以構成權函數的多種不同的形式,通常權函數是一個在平差過程中隨改正數變化的量,經過多次迭代,使含有粗差的奇異觀測的權函數為0(或者接近于0),而相應的殘差值在很大程度上反映了其粗差值[4-5]。

2 幾種常用的選權迭代法

2.1 Huber法

Huber法的極值估計準則是假設觀測值在不利分布情況下求最優估計[6]。取M估計的函數

由Huber權函數可以看出,Huber估計的權函數是單調的,它在c處的斜率有突然變化。當所有改正數均在-c和c之間時,Huber估計就是經典最小二乘法估計[7]。而當部分改正數大于c時,其p(v)與改正數成反比,v愈大,對應的p(v)愈小,與此相應該觀測值對參數估計的影響也愈小。

2.2 Hampel法

對于Hampel法,取M估計的函數為3段截尾函數

求得權函數pi(vi)為

式中:a、b、c為3個系數,可適當選取,它們均為標準差的倍數。

2.3 IGG法(周文江法)

IGG法是由中國科學院測量與地球物理研究所周文江教授最初提出的,取M估計的函數[8]

求得權函數pi(vi)為

IGG法屬于有淘汰區的M估計,權因子之間變化比較平緩,k值一般取一個很小的數。

3 實例分析

水準路線如圖1所示。

圖1 水準路線

如表1所示水準網,A、B兩點的已知高程分別為HA=5.000 m,HB=6.000 m,觀測了7條水準線路,表中帶＊號的表示有粗差的觀測值,對h2賦以粗差0.050 m,h6賦以粗差-0.030 m。根據水準路線觀測數據,按最小二乘原理,在不含有粗差和含有粗差的條件下分別解算,如表2所示。

表1 水準網觀測數據

表2 基于最小二乘解算結果

3.1 3種方法分析

對于 Huber法分析c選取對估計結果影響。在迭代過程中,σ值隨每次迭代后算出的觀測改正值來確定。在本次數據分析中,c分別取 0.4σ、0.8σ、σ、1.2σ、1.6σ、2.0σ、2.5σ,試驗數據結果如表3所示。

表3 c選取對估計結果的影響

從表3的數據可以知道,隨著c取值的增大,總體上中誤差越來越大,迭代次數越來越多,到達一定的時候,迭代效果失效。而且當c為一倍中誤差的時候,Vh2和Vh6的改正值是最能反映出含有粗差的數據,但總體效果不是很理想。

對于Hampel法分析a、b、c的取值對估計結果影響。a、b、c3個系數分別取4組值進行比較分析,即取a=0.9σ,b=1.8σ,c=2.7σ;a=σ,b=2σ,c=3σ; a=1.1σ,b=2.2σ,c=3.3σ和a=1.2σ,b=2.4σ,c= 3.6σ,試驗數據結果如表4所示。

表4 a、b、c取值對估計結果的影響

從表4數據分析可知,在a、b、c三者的相互間隔增大的同時,方案1、2、3的估計結果沒有大的變化,只是中誤差和迭代次數都有所增大。當三者之間的間隔超出了一定的范圍時,必將導致估計失效。試驗分析得出間隔應在0.9～1.1之間,而且當間隔太小時,會導致求解過程中的權陣單極化。

對于IGG法分析k取值對估計效果影響。分別取k為0.001、0.000 1、0.000 01,試驗所得數據如表5所示。

表5 k取值對估計效果的影響 mm

從表5的數據分析可知,只要k值在一定的范圍之內,即對估計的效果沒有影響。權函數中的條件是隨著每次迭代得到的中誤差,在整個迭代過程中是變化的,而且越來越低,隨著滿足迭代條件而終止。

另外,對于3種選權迭代方法,分別分析初始權選取對估計結果的影響。在試驗分析中分別采用了初始權都為1和初始權按距離定權的2種方案進行數據分析,3種迭代方法計算結果完全相同,數據結果如表6所示。

表6 初始權選取對估計結果的影響 mm

從表6的數據分析可以看出,初始權的選取對3種方法的估計結果都沒有影響。

3.2 3種方法比較分析

現對Huber、Hampel、IGG方法作橫向比較,由這3種方法分別對這個已知含有粗差的水準網觀測數據進行平差處理,得到的結果如表7所示。

表7 不同選權迭代法比較

從表7的數據分析可知,在粗差較大的情況下,在迭代次數和最后的精度及計算結果綜合因素來看,IGG法比 Hampel法和Huber法效果要好。在抗粗差及剔除粗差方面,IGG和 Hampel都能很好地剔除由于h2帶來的粗差0.050 m和h6已賦的粗差-0.030 m,而Huber法相對來說要差點,而且在Huber法中的c值的選取好壞直接影響到抗粗差的能力。

4 結 論

1)穩健估計中的選權迭代法在初始化權方面都是相同的,即估計結果不受初始權的取值影響,且在選權迭代過程中,對于選權的標準或條件系數都是隨著每次迭代完后重新計算的中誤差相關,說明3種選權迭代的條件系數是動態的。

2)對于 Huber法,隨著c取值的增大,總體上中誤差越來越大,迭代次數越來越多,到達一定的時候,迭代失效,而且當c為1倍中誤差時,Vh2和Vh6的改正值是最能反映出含有粗差的數據,但效果不是很理想,因此,在含粗差較大時,建議 Huber法中c的取值范圍為中誤差的0.8～1.2之間。對于Hampel法,a、b、c三者的取值在一定范圍內相互間隔增大時,估計結果沒有大的變化,只是中誤差和迭代次數都有所增大,當三者之間的間隔超出了一定的范圍,將導致估計失效,試驗結果表明間隔應在0.9～1.1之間,而且當間隔太小時,會導致求解過程中的權陣單極化。在IGG法分析中,k的取值足夠小就能滿足要求,如本文試驗k值取0.001～0.000 01。

3)在這3種穩健估計的選權迭代法中,IGG法比其他兩種的抗粗差效果要好,且易實現;在不清楚數據分布的情況下,建議采用IGG法。

[1]陶本藻.穩健估計的應用問題[J].地礦測繪,2000(1): 1-3.

[2]楊元喜.參數M估計及驗后精度綜述[J].測繪通報, 1991(6):6-10.

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[4]吳富梅.多種權函數固定臨界值與可變臨界值抗差估計的比較[J].測繪工程,2006,15(3):19-22.

[5]李浩軍,唐詩華,黃杰.抗差估計中幾種選權迭代法常數選取的探討[J].測繪科學,2006,31(6):70-72.

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Analysisand comparison of the selecting weight iteration method in resistance robust estimation

CHEN Xi-qiang,HUANG Zhang-yu
(Department of Survey Science and Engineering,Hohai University,Nanjing 210098,China)

In the robust estimation,selecting weight iteration method is the most w idely understood,more easily and simp le calculation of M estimation.Based on the basic theory of M estimation method,this paper deep ly analyzes three common selecting w eight iteration methodsw hich are Huber、Hampel、IGGmethods,and analyzes the app licable scope and co rresponding poo r effect on the three commonly selecting w eight iteration methods by using the data of the netwo rk level.It show s that the exco rresponding poo r effect of the IGG is better than other two methods,and easy to achieve results.

resistance robust estimation;selecting weight iteration method;Hubermethod;Hampelmethod;IGGmethod.

P207

A

1006-7949(2010)04-0008-04

2009-09-03

陳西強(1986-),男,碩士研究生.

[責任編輯:劉文霞]