高階混沌振子的微弱信號頻率檢測新方法

徐艷春，楊春玲

(1.哈爾濱工業大學 電氣工程學院，哈爾濱150001，xyc7309@163.com;2.黑龍江大學 機電工程學院，哈爾濱150080)

由于混沌系統對初值和擾動的敏感性，使其在很多領域得到廣泛應用.混沌理論在信號檢測方面的應用近幾年也引起人們的廣泛關注.目前，該理論已被成功地應用于微弱信號檢測當中，并取得較大進展.研究表明，大多數檢測方法是在信號頻率已知的條件下去測量弱信號的幅值，并沒有提及如何檢測信號的頻率.而有些研究采用混沌理論測量頻率的方法是在Duffing 方程的基礎上，采用78 個振子陣列進行頻率檢測，該算法不僅復雜且只有當振子頻率增加到某一成分信號頻率附近時，才可以從時間圖像上清晰觀測到陣發混沌現象，檢測方法繁瑣［1-3］.

本文將Rossler 混沌系統和比例微分控制方法相結合，提出基于Rossler 混沌控制的強噪聲背景下正弦周期信號頻率檢測的新方法.該方法最大特點是利用Rossler 混沌振子和比例微分控制進行信號頻率檢測.首先，通過比例微分控制，將正處在混沌狀態的系統控制到周期軌道，從而使系統呈現出周期運動.當然，前面所說的混沌狀態的系統是因為含有噪聲的待檢測信號的輸入才處于混沌態，這種混沌態蘊含著待檢信號的信息.此時，若直接用譜分析方法測頻率，并不能測出待檢周期信號的頻率，本文用比例微分控制方法將其控制到穩定周期態后，再用譜分析方法則可測出未知信號的頻率.

1 Rossler 混沌系統的特性研究

1963 年美國氣象學家Lorenz 在數值試驗中偶然發現了第一個混沌吸引子，不久，德國物理化學家O.E.Rossler 于1976 年指出，還可以用兩種不同的方法從Lorenz 吸引子中抽出更簡單、非對稱的吸引子結構.一是研究Lorenz 方程組中的r 值遠遠大于28 時的情況;二是重新構造Lorenz 吸引子的折疊過程.這兩種方法都可以得到同一拓撲結構，方程中雖只含一個非線性項xz，但卻能產生混沌運動的非線性動力系統，這就是Rossler 系統［4-6］.

Rossler 系統是一個簡單的而又內稟復雜的非線性系統，系統的方程為

Rossler 系統比Lorenz 系統簡單，而且拓撲不等價，即不存在任何的微分同胚變換把Rossler 系統轉化成另一個系統.

Rossler 系統是一個三階自治系統，含有一個非線性項xz，正是這個非線性項使系統產生分叉、混沌等復雜的動力學行為.其中方程在a =b=0.2，c 為不同值的時候，Rossler 吸引子的形狀如圖1 所示.事實上，Rossler 系統的任何一個方程對周期信號都很敏感，輸入微弱的周期信號會對系統行為產生很大的變化［7］.

圖1 c 為不同值時Rossler 吸引子相圖

對Rossler 系統進行穩定性分析如下.取a=0.3，b=0.2，c=5 進行研究.

令

這樣得到系統的兩個平衡點為:s1=(0，0，0);s2=(-ab+c，(ab-c)/a，-(ab-c)/a).即s1=(0，0，0)，s2=(4.94，-16.47，16.47).

下面討論這兩個平衡點的穩定性.

對于平衡點s1=(0，0，0)，其雅可比矩陣J為

它的特征方程為

所以其特征值為

因特征值p1，p2有正的實部，而p3有負的實部，故s1=(0，0，0)是不穩定焦點.

對于平衡點s2=(4.94，-16.47，16.47)，其雅可比矩陣J 為

其特征值分別為

因其特征值p1，p2有負的實部，而p3有正的實部，所以s2為不穩定的鞍點［8-10］.

2 比例微分控制策略

考慮如下的n 維非線性動力學系統:

其中:P ∈Rn，F=［f1，f2，f3，…，fn］是n 維光滑的向量場;μ 為系統的參數，當μ 取一定范圍的值時，系統處于混沌運動.

現對上式所表示的系統的狀態變量Pm取比例微分控制得

其中:k1，k2是本控制方法中的2 個可調參數，調整k1，k2的值可以實現不同的控制目標.將按如下方法進行反饋:

其中，j=1，2，…，n.

由上式所示的反饋方式可知:F()中的子系統fm()不受反饋控制作用而自由演化.若系統fm()中無狀態變量xm，也不受控制作用而自由演化，則本控制方法只需對系統的一部分子系統進行控制，這就大大減小了控制的代價和在實際工程系統中實現控制的難度，克服了目前大多數狀態變量反饋法需要多個進行全局反饋的缺陷.同時，比例微分控制法不影響原系統的特性，其結構相對簡單，控制結果非常豐富，只要控制參數取很小的數值，就能十分有效地實現對非線性動力學系統的混沌控制，且控制速度快，這也正是本文采用此控制方法的原因.

3 基于Rossler 混沌控制的未知信號頻率檢測方法

本文采用Rossler 混沌系統進行信號頻率檢測，利用該系統對輸入的周期信號敏感，輸入微弱的周期信號會對系統行為產生很大變化的特點，將待檢測的被噪聲淹沒的信號加入到Rossler 系統的任一個方程中，從而構成有待檢信號的混沌系統.若此時對該混沌系統進行頻譜分析，則頻譜圖曲線上的角頻率將是ω，3ω，5ω，…，或者是2ω，4ω，6ω，…，此時表現為幅值高低不同且頻率各異的若干信號，無法知道哪個頻率是所求的.然而，當系統被控制到周期狀態時，不管是奇階超諧解還是偶階超諧解，基頻(待檢頻率)的幅值最大、最清晰.因此利用前面的比例微分控制理論將混沌系統控制到周期運動狀態，最后通過頻譜圖非常容易檢測出頻率值.

具體控制算法及步驟如下:

1)調整Rossler 混沌系統參數，使其處于混沌的臨界狀態;

2)加入含有噪聲的待檢測的微弱信號，從而系統進入混沌態;

3)采用上述比例微分控制策略，調整控制參數，使其從混沌態進入周期態;

4)控制后的系統輸出中含有待檢信號的信息，對其進行頻譜分析，從而檢測出待檢信號的頻率.

文中選擇y 為受控變量，為了討論方便，不失一般性，令k1=1，按上述控制方法得受控后的方程為

對不動點s2=(4.94，-16.47，16.47)進行研究，將系統進行線性化，得其雅可比矩陣J 為

把J 代入其特征多項式為

由Routh-Hurwitz 判據得，當0.016 3 ＜k2＜287 653.466 7 時，系統的不動點是穩定的.

從理論上來說，將待檢測的微弱信號加入到3 個方程中的任一個方程均可改變系統的動力學行為，文中將待檢信號加入到Rossler 混沌系統的第二個方程中進行分析.

4 數值仿真

圖2 為k2=10，混沌系統未含有待檢信號時Matlab 仿真結果，從圖中可看出這種控制方法是有效的，系統通過這種控制能很好地控制到平衡點.

圖2 系統控制后的時域圖和相圖

設待檢信號為

其中，待檢信號的角頻率為60 rad/s，幅值為0.001 V，n(t)是均值為零、方差為0.1 的白噪聲.輸入信號加入到Rossler 混沌系統第二個方程后系統的相軌跡及譜分析如圖3 所示.

圖3 輸入信號后Rossler 系統的相圖及譜分析圖

由圖3 根本辨認不出輸入信號中的待檢周期信號.圖4 采用比例微分控制方法將Rossler 混沌系統控制到周期態后進行待檢信號的頻率檢測.

圖4 控制后系統的相圖和譜分析圖

由圖4 可直觀準確的看出，待檢的周期信號頻率為60 rad/s.

當待檢信號頻率為200 rad/s 時，系統的頻譜圖如圖5 所示.

圖5 受控系統的頻譜圖

經過大量的仿真實驗，將在相同輸入信噪比情況下，對本文提出方法和Duffing 陣列方法頻率檢測的結果進行比較，從表1 給出的實驗結果可以看出，本文提出的微弱信號頻率檢測方法相對Duffing 方程振子陣列檢測方法來說具有更大的優勢，其在檢測精度上較Duffing 系統檢測方法有較大的提高.

表1 2 種方法對微弱信號頻率檢測結果比較

5 討 論

對于Duffing 方程在以往混沌檢測信號方法中，Acos ωt 作為策動力，然后外加待檢信號，此時，要求待檢信號的頻率與周期策動力的頻率相同，最后，根據相軌跡的變化來測出待檢信號的幅值.在此過程中并沒有測量頻率;也有一些文獻專門利用Duffing 方程振子陣列進行信號的頻率檢測，但所需振子陣列較多，采用78 個固有頻率以公比1.03 成等比數列的振子構成陣列，w1=1，w2=1.03，…，wk=1.03wk-1，…，w78=9.738.若頻率在1 ～10 Hz 的被檢信號輸入到陣列中，就會在兩個相鄰的振子上發生穩定的間歇混沌運動，由此檢測出信號的頻率.因而只有當振子頻率增加到某一成分信號頻率附近時，才可以從時間圖像上清晰地觀測到陣發混沌現象.

應用本文提出的微弱信號頻率檢測方法，對不同信噪比下的正弦周期信號進行了大量的檢測仿真實驗.從仿真結果可以得到，本文提出的微弱信號檢測方法可以實現從強噪聲背景中檢測出待檢信號的頻率，不受頻差及策動力的限制，待檢信號的頻率通過頻譜圖可以直觀準確的被測出.

6 結 論

將比例微分控制方法引入到Rossler 混沌系統中，構成一個帶有控制項的混合系統.然后，將混有噪聲的待檢周期信號通過這個混合系統，調節控制項使混沌態轉變成周期態.從信號處理領域來講，相當于將噪聲濾掉，顯露出待檢周期信號，然后，再將混合系統輸出的信號通過頻譜分析，在頻譜圖中顯示幅值最大的所對應的頻率就是待檢信號的頻率.此方法克服了Duffing 測量系統必須使用多個振子陣列的局限.實驗仿真表明:本文提出的方法能夠檢測出深埋于強噪聲中的微弱正弦信號的頻率，且其檢測精度較Duffing 系統檢測方法更高，證明了該方法的有效性，其在理論上是可行的.

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