從高等數(shù)學教學談學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

方曉峰， 李應岐， 曾 靜

（第二炮兵工程學院數(shù)學與軍事運籌教研室，西安 710025）

從高等數(shù)學教學談學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

方曉峰， 李應岐， 曾 靜

（第二炮兵工程學院數(shù)學與軍事運籌教研室，西安 710025）

為了得到最佳的教學效果，在教學過程中培養(yǎng)學生創(chuàng)造性的教學活動成為課堂教學的重要組成部分.本文分析了高等數(shù)學教學在培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維方面存在的問題及原因，并以研究性教學為例，分析了在教學過程中如何實現(xiàn)對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).最后提出學生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)在教學實施中的幾點思考.

創(chuàng)新思維；研究性教學

現(xiàn)代數(shù)學在當今社會的各個領(lǐng)域都發(fā)揮了至關(guān)重要的作用，而目前大學數(shù)學教學卻呈現(xiàn)低效和難教的狀況，國家新近提出“實踐科學發(fā)展觀，建設(shè)創(chuàng)新型國家”的戰(zhàn)略構(gòu)想，反映了知識經(jīng)濟時代對人才的數(shù)學素養(yǎng)提出了更高的要求.探討大學數(shù)學教學對學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)成為當下高等數(shù)學素質(zhì)教育研究的重要課題.所謂創(chuàng)新思維是指在新異的問題情境中，在一定目標指引下，調(diào)動一切已知信息、獨特、新穎且有價值地解決問題中表現(xiàn)出來的智力品質(zhì).在教學過程中關(guān)注創(chuàng)新思維的培養(yǎng)能保證學生順利解決他們當前乃至今后可能遇到的各種對他們來說是全新的問題，并能深刻地高質(zhì)量地捕獲和掌握新知識，將知識廣泛遷移到他們所面臨的問題情境中，使學習和創(chuàng)新活動得以順利完成.

1 高等數(shù)學教學在學生創(chuàng)新培養(yǎng)中存在的問題

在現(xiàn)實教學中，忽視對學生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)是我國教育存在的一個突出問題.現(xiàn)行的院校教育無論在教育觀念上、教學目標上，還是教育教學的內(nèi)容、方法組織形式上都顯得相當滯后.高等數(shù)學教學中普遍存在著思想上忽略學生主體地位，目標和評價上單一，把教學過程單純看成是數(shù)學知識的單向傳遞，教學方式機械單調(diào)，教學內(nèi)容強調(diào)知識記憶等現(xiàn)象.這些現(xiàn)象實際上否定了學生是一個能夠主動探索的活生生的主題，忽視了學生的個性差異和創(chuàng)造潛力，束縛和泯滅了學生的思想火花.在這種模式下學生自發(fā)能動性受到阻礙，學生不得不使自己去適應、順從、難堪地服從教師的要求.在這種教育方式下是很難培養(yǎng)出具有自發(fā)、獨創(chuàng)靈感的創(chuàng)造性學生的.

雖然今天我們正在拋棄這類阻礙學生積極性的教育和課堂實踐，但阻礙高等教育中不利于學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)還存在著更多得因素，具體表現(xiàn)在：

1.現(xiàn)行教材某些內(nèi)容的敘述、結(jié)構(gòu)的編排、課后習題的配備等都顯得比較滯后，缺乏新意，客觀上不利喚起學生的創(chuàng)新意識.

2.絕大多數(shù)教師對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力雖持認同態(tài)度，但由于受傳統(tǒng)教育思想的影響，教師自身缺乏創(chuàng)新意識，教學中仍自覺不自覺地“以教材為中心”，在對教材的把握上缺乏創(chuàng)新精神.教學中對怎樣培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力不知如何下手，教學中常常因循守舊，在一定程度上扼殺了學生思維創(chuàng)新的萌芽.

3.現(xiàn)行教育管理體制和教育教學質(zhì)量的評價制度尚存在許多不合理的因素.面對這些機制，教師缺乏沖破束縛的勇氣、魄力和應有的條件，因而從客觀上也造成了抑制教師培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的嚴重后果.

4.受社會上各種因素的影響，學生往往只看重考試的分數(shù)，過分追求標準答案，不敢標新立異，缺乏創(chuàng)新意識和創(chuàng)新激情；注重競爭而缺乏合作、導致思維狹隘；加之一部分學生的學習習慣和學習態(tài)度欠佳，他們的學習大多還是接受式，學生對教師的依賴性極強，缺乏主動性和積極性.

面對這些情況，結(jié)合高等數(shù)學課堂教學實際，筆者就數(shù)學教學中創(chuàng)新教育實施從教學模式上，結(jié)合自己的教學進行了一定的探討，旨在通過這些教學理念和教學方法的研究為高等數(shù)學課堂教學中能營造創(chuàng)新思維情境，拓展學生思維空間，訓練學生創(chuàng)新思維方法，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力，以及練習測試中對創(chuàng)新教育的滲透起到一定的促進作用.

2 基于高等數(shù)學課堂研究式教學培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維教學模式

教學模式是在一定教學思想指導下所建立起來的完成所提出教學任務的比較穩(wěn)固的教學程序以及實施方法的策略體系.它是人們在長期教學實踐中不斷總結(jié)、改良教學而逐步形成的.它源于教學實踐，又反過來指導教學實踐，是影響教學的重要因素.要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，就應當有與之相適應的，能促進學生創(chuàng)新思維培養(yǎng)的教學模式.

長久以來，在教育學、心理學的研究中，人們提出很多針對克服“以教師為中心的注入式、以教材為中心的結(jié)構(gòu)式和以課堂為中心的封閉式教學”的研究，進行了不少的試驗和改革，其中在世界影響最大的是美國教育心理學家布魯納，他極力倡導知識發(fā)現(xiàn)過程.他指出：“發(fā)現(xiàn)不限于尋求人類尚未知曉的事物，明確地說，包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式”［1］這就是說，學生在學習中并不一定真正發(fā)現(xiàn)人類未知的東西，主要是模仿發(fā)現(xiàn)者的思維路線-即發(fā)現(xiàn)路線，是一種“發(fā)現(xiàn)式”的學習.這種方法要求學生不只是記住書本上的現(xiàn)成結(jié)論，而是要通過自己的研究思考，知道結(jié)論是怎樣來的，知道每個概念、范疇、規(guī)律、原理是什么、為什么，怎么樣.這個過程體現(xiàn)了學生學習的自主性，可以充分發(fā)揮學生學習的主觀能動性.美國芝加哥大學教授施瓦布以“科學的本質(zhì)是不斷變化”為前提，在“作為探究的科學”和“通過探究教學”兩理論基礎(chǔ)上，構(gòu)建了研究性學習理論.研究式教學即是在“研究性學習”理論和“發(fā)現(xiàn)學習”理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.

研究式教學，其最根本的特征在于“教”和“學”的全過程都貫穿著研究性.它包括研究式地“教”和研究式地“學”兩個方面.所謂研究式地“教”就是要加強課堂講授的研究性，講課要有科研含量，對學生提出的問題能進行深入地分析和研究，力求從理論上作出回答.所謂研究式地“學”，就是學生在學習過程中聯(lián)系思想和工作實際認真讀書，邊讀書、邊思考、邊研究，從而達到培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的目的.

研究式教學的基本模式如下圖1.例如在講授拉格朗日中值定理時，教師可以按下列的步驟引導學生去研究探索和發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論和證明.

圖1

圖2

首先回顧洛爾定理的結(jié)論實質(zhì)，利用動畫揭示結(jié)論的幾何意義，它表明存在開區(qū)間a，（b）內(nèi)的一點ξ1，使得曲線在該點處的切線與連接曲線兩端點的弦AB平行.類似地，通過動畫圖形的變化過程，當曲線兩端點的函數(shù)值不相等時，上述結(jié)論是否存在相應的結(jié)論，即：是否在區(qū)間內(nèi)存在一點ξ1，在該點處的切線與區(qū)間端點的連線AB平行，演示圖形肯定了這一結(jié)論（圖2）.接下來對這一結(jié)論進行論證.

在研究新問題時，我們經(jīng)常會借助已有知識探索未知知識，引導學生如何利用洛爾定理證明拉格朗日中值定理，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個輔助函數(shù)F （x），使它滿足洛爾定理的第三個條件：F （a） ＝F （b），這時教師可引導學生從下列角度入手研究：

方法一（幾何直觀法） 從圖3不難發(fā)現(xiàn)直線AB與曲線f（x）在端點重合，也就是說由直線方程和曲線方程相減得到的新函數(shù)肯定在端點的函數(shù)值相等，并且等于零.相減得到的函數(shù)自然滿足洛爾定理的第三個條件，于是學生很容易得到輔助函數(shù)為

方法二（代數(shù)法） 引導學生分析，現(xiàn)在我們要證明的結(jié)論是：在區(qū)間存在一點ξ，使其滿足而該等式的右側(cè)是一常數(shù)，不妨令其為K，上述結(jié)論變?yōu)閒′（ξ）＝K.如果對方程變形，不難得到f′（ξ）-K＝0.

對照洛爾定理的結(jié)論，學生很容易聯(lián)想到：只要作一函數(shù)F （x），使其導數(shù)在一點為零，即滿足F′（x）＝f′（ξ）-K＝0，這樣的函數(shù)是很好找的，F(xiàn) （x）＝f（x）-Kx.進而引導學生驗證該函數(shù)是否滿足洛爾定理的條件.

事實上

從而證明了拉格朗日中值定理.在教學過程中，就研究式教學來說，解決問題思路還沒有得到真正升華.在此教師需進一步引導和啟發(fā)學生思考，方法二中隱含了什么樣的本質(zhì)含義.實際上方法二不過是將方法一中用過原點且平行弦AB的直線方程代替弦AB方程得到的，在方法一中，可以利用任意平行于AB的直線方程代替均可得到相應的輔助函數(shù)，即輔助函數(shù)可以看成是函數(shù)f（x）與x的線性組合：F （x）＝f（x）＋λx，這樣我們也可以得到其它形式的輔助函數(shù)形式：

通過這樣的教學不僅加深了學生對拉格朗日中值定理的內(nèi)容和正面的理解，同時也激發(fā)了學生的學習興趣和創(chuàng)造性.

與此同時，作為研究式教學的本質(zhì)，教師還應該繼續(xù)挖掘問題的本源.引導學生對上述輔助函數(shù)做法進一步的理解.從上面的探索過程不難發(fā)現(xiàn)，在做輔助函數(shù)時我們考察的是函數(shù)f（x）與x的線性組合.如果教師能進一步引導學生考慮，若線性組合的函數(shù)是f（x）和x2，或者是f（x）與g（x），即輔助函數(shù)為

這時會分別得到什么結(jié)論呢？并指出是這些結(jié)論成立的條件：

學生在教師的引導下會展開探索和討論，并在教師的指導下對結(jié)論成立的條件經(jīng)過研究和補充便能得到下列不同的中值等式：

通過上述具體的教學過程，不難發(fā)現(xiàn)，研究式教學模式強調(diào)了“以學生為中心”，教師起引導和指導性作用，但這種指導顯得格外突出，在整個教學過程中，都以指導活動為主，即使講授也是指導性的講授，而不是定論灌輸給學生.該模式徹底改變了教師越俎代庖的狀況，改變了授予標準答案而無視學生個人體驗的狀況，從而使學生有更多的參與機會和參與行為，使他們不僅能明確學習的目標，積極的學習態(tài)度，能對學習進行自我調(diào)控，而且還能自主體驗，獨立地感知、學習、理解好、提高，完成主體對外在事物和自我的超越，實現(xiàn)創(chuàng)新.

3 高等數(shù)學教學培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力的幾點思考

物理學家勞爾說：“重要的不是獲得知識，而是發(fā)展思維能力.教育無非是一切已學過的東西都忘掉的時候所剩下的東西.”［4］這番話初聽起來似乎有點偏激，然而它的精神無疑是正確的，其實，一個人走出校門以后，他在實際工作中所表現(xiàn)出來的才能高低，正是取決于“剩下的東西”.其實上述的“剩下的東西”正是當前我們強調(diào)概念學習、問題解決和創(chuàng)造性，為了達到最有效的學習，應當向?qū)W生講的越少越好，而對他們自己去發(fā)現(xiàn)引導越多越好.因此被譽為“思維體操”的數(shù)學教學，在教學過程中需經(jīng)過何種形式培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力呢？

1.課堂教學中營造培養(yǎng)“創(chuàng)新思維能力”的氛圍.

古人云：“親其師，才能信其道.而信其道，才能好其導乃行其道.”這說明建立平等、和諧的師生關(guān)系，老師才能取信于學生，學生才能樂于接受他的教育.從心理學角度看，教師不僅只是傳授知識，還應幫助學生學習，培養(yǎng)他們的學習能力.從心理健康角度講，教師應能把學生從懼怕權(quán)威、缺乏自信心以及自卑感等不良心理狀態(tài)中解救出來；鼓勵學生表達自己的思想和觀念.這就要求教師努力要建立民主和諧的師生關(guān)系.

另外，在課堂教學中，教師要鼓勵學生發(fā)表與自己不同的見解，要讓學生敢于否定“權(quán)威”的觀點和定論.只有這樣才能促使每個學生樹立學習信心，營造自由安全的教學環(huán)境.課堂教學歷來都是教學改革的主戰(zhàn)場，當然也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力的主戰(zhàn)場，在數(shù)學教學中抓住教材的基本數(shù)學知識，基本數(shù)學方法，基本數(shù)學思想的前提下，不拘泥于教材上的例題、題解、順序等，變“教師是演員，學生是觀眾”為“學生是演員，教師是導演”；變課堂教學結(jié)構(gòu)“提問-討論-答辯-評價”為“問題-分析-探索-研究-創(chuàng)新（拓展）-評價”.這樣教師在數(shù)學教學中才能有意識地營造學生創(chuàng)新思維能力的學習氛圍.

2.教學內(nèi)容中突出對創(chuàng)新素材的挖掘.

高等數(shù)學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性、廣泛的應用性、豐富的創(chuàng)新思維方法，因此教學中為學生列舉豐富多樣的素材，對學生創(chuàng)新思維的形成具有深刻的啟迪作用，高等數(shù)學課程教學中創(chuàng)新素材的挖掘可以從以下幾個方面入手：1）對數(shù)學知識背景與產(chǎn)生發(fā)展過程的再現(xiàn).2）對具有創(chuàng)新特征的教學內(nèi)容的組織；在教學內(nèi)容的選編與組織中，應突出具有研究性的概念、原理與技能的內(nèi)容；應留給知識發(fā)展的空間與學生思考的余地；應包含能喚起學生好奇心，使學生獨立思考的教學內(nèi)容；應包含具有一定綜合與實際意義的教學內(nèi)容.3）對教學內(nèi)容中創(chuàng)新思維方法的挖掘；高等數(shù)學中蘊含了豐富的思維方法，如歸納與演繹，分析與綜合等邏輯方法，數(shù)學中的形象思維、靈感思維、范思威定式等非邏輯思維，以及數(shù)學中特有的悖論、猜想和常用的數(shù)學方法，這些方法對學生創(chuàng)新思維的形成具有積極的促進作用.

3.教學過程中體現(xiàn)對創(chuàng)新意識與創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

教師是課堂教學的組織者和實施者，在教學雙邊活動中，要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，教師首先必須有創(chuàng)新的教育觀念，才能培養(yǎng)有創(chuàng)新精神的學生.首先，教師要樹立培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神的意識，自覺的在課堂中改變過去那種以教師為中心的注入式教學，不斷嘗試以學生為主體的研究式教學方式.其次，教師要注重對學生學習方法的指導，教師在高等數(shù)學課堂中要充分調(diào)動學生的思維積極性，讓學生自己去觀察、去發(fā)現(xiàn)、去探討，教師在整個教學環(huán)節(jié)中只起引導的作用，教給學生行動的方法，培養(yǎng)學生的自學研究、探索興趣和創(chuàng)新欲望.再次，教師在教學中對學生認識興趣的激發(fā)，把數(shù)學內(nèi)容的特點，根據(jù)其特點挖掘激發(fā)學生興趣的源泉，使學生產(chǎn)生好奇心，引起學生的探索欲望，進而提高認識興趣；突出數(shù)學內(nèi)容中數(shù)學美的特征，使學生產(chǎn)生對數(shù)學美的追求和受到美的熏陶，激發(fā)學生的學習興趣.最后，課堂教學中要做好創(chuàng)新思維情境的創(chuàng)設(shè)，拓寬課堂教學中思維空間，創(chuàng)造良好的思維情境是培養(yǎng)學生創(chuàng)造思維的必要條件，它需要教師深入挖掘教學內(nèi)容的思想性，設(shè)計啟發(fā)學生創(chuàng)造性的問題，有了課堂的啟發(fā)和引導，還需拓寬學生的思維空間，留給學生思考余地也是課堂教學中實施創(chuàng)新教育的另一方面.只有留給學生有展示自己時間和空間，整個教學就會變單向式教學過程為交互式教學過程，使學生對知識的掌握有點到線成網(wǎng)狀分布，擴大知識面和思維空間.

4.教學考核中滲透創(chuàng)新教育思想.

在教學測試中滲透創(chuàng)新教育思想是創(chuàng)新人才培養(yǎng)的重要組成部分，現(xiàn)有的教學測試和聯(lián)系主要以訓練和考核基本知識掌握與運算推理為主，缺乏對知識應用能力，尤其是創(chuàng)新能力的訓練和測試.考試成績決定一切在傳統(tǒng)應試教育中根深蒂固，不利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，這就要求在練習與測試的選題原則與方式上，變重知識輕能力的訓練為考核轉(zhuǎn)化為知識與能力相結(jié)合，變重理論輕應用的訓練與考核轉(zhuǎn)化為理論與實際相結(jié)合，變以閉卷為主的測試方式轉(zhuǎn)化為閉卷與開卷，報告與小論文相結(jié)合.為此，在教學過程中可將專題為單元的訓練與考核方式相結(jié)合.在練習中布置設(shè)計一些具有一定深度和創(chuàng)造性的練習，如對某一專項思維能力培養(yǎng)的強化練習，對某一實際問題的數(shù)學建模與上機實驗，對某一專題的思考與研究報告等來培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神與創(chuàng)新思維能力.在測試中控制知識和能力比例，加強分析解決實際問題的能力，使練習與創(chuàng)新教育相結(jié)合.

總之，數(shù)學教學中創(chuàng)新教育的實施是一項綜合的系統(tǒng)工程，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力是當今教育界中的一個嶄新的課題，要真正做到更新觀念、轉(zhuǎn)變思想、建構(gòu)科學的符合學生認識規(guī)律的教學氛圍來實現(xiàn)培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力的方法，還需教育工作者不斷地探索、實踐和研究來促進以創(chuàng)新教育為核心的素質(zhì)教育的實施和創(chuàng)新人才培養(yǎng)工作的開展.

［1］ 布魯納.教育過程［M］.邵瑞珍譯.北京：文化教育出版社，1982：65-75.

［2］ 呂宗明.數(shù)學教學中滲透創(chuàng)新思維能力的途徑［J］.四川教育學院學報2005，21（增刊）：86-87.

［3］ 魏淑慧.研究式教學與學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)［J］.山東師范大學學報2008，53（5）：68-72.

［4］ 楊仲明.創(chuàng)造心理學入門［M］.武漢：湖北人民出版社.1988：180-225.

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C

1672-1454（2010）增刊1-0057-05