外壓自增強圓筒的設計計算方法

朱瑞林 朱國林

1.湖南師范大學,長沙,410081 2.江西警察學院,南昌,330103

0 引言

內壓圓筒的彈性和彈—塑性應力分析及自增強理論,國內外已有很多文獻論述[1-8],而外壓圓筒彈—塑性應力分析或自增強問題,目前尚無相關理論。外壓自增強是在容器使用前對其進行加外壓處理,使筒體內層屈服,產生塑性變形,形成塑性區,外層仍為彈性狀態。保持該外壓一段時間后卸壓。卸壓后筒體內層塑性區因殘余變形不能復原,而外層彈性區力圖復原,卻受到內層塑性區的阻擋也不能恢復到原來狀態,但外層彈性區力圖復原的趨勢給內層塑性區以拉伸作用,使內層塑性區產生拉應力,而外層彈性區產生壓應力。于是形成一種內層受拉、外層受壓的預應力狀態。容器投入使用受外壓后,預應力與操作壓力引起的應力疊加,使應力較大的內壁應力降低,應力較小的外壁應力有所增加,從而使容器壁中應力趨于均勻。由此可提高容器的承載能力。

與受內壓的情況一樣,外壓自增強技術的關鍵因素也是超應變度的確定。對超應變度的確定,現行技術只有針對內壓容器的方法,針對外壓容器的方法未見報道,能否沿襲內壓容器的方法,沒有理論支持。即使現行的內壓容器方法,也有一些不足,如反向屈服問題,即卸除自增強壓力后可能內層因受到過大的壓縮而產生壓縮屈服。這是很不利的。從安全、經濟的觀點出發,自增強容器要同時保證卸除自增強壓力后整個筒壁內殘余應力的當量應力及總應力的當量應力均不大于材料的屈服強度σs,還要提高承載能力。外壓容器的應用是很廣的,如真空貯罐、減壓塔、潛艇外殼等。如何確定超應變度和承載能力,以提供一種安全的外壓自增強圓筒形壓力容器及其設計計算方法,是需要解決的問題。

1 彈—塑性應力分析

圖1所示是內外半徑各為 ri、ro的圓筒。受外壓p作用時,內壁面應力最大。外壓增到一定值時,圓筒內壁面開始屈服;繼續增大外壓,塑性區從內向外擴展,形成兩個區:內側為塑性區,外側為彈性區。外壓增大到某值時,對應的彈 —塑性界面半徑為rj,k=ro/ri稱為徑比,kj=rj/ri稱為塑性區深度。筒體橫截面彈—塑性區域如圖2所示。假想從rj處將彈、塑性區分開,加上相應的力,并設彈—塑性界面上的壓力為pj。這樣,外層彈性區是內外半徑各為rj、ro的彈性筒體,受內壓pj和外壓p作用(圖2b);內層塑性區是內外半徑各為ri、rj的塑性筒體,僅受外壓 pj作用(圖2c)。

1.1 塑性區應力分析

設筒體材料屈服時符合特雷斯卡(Tresca)條件,即

式中,σr、σt分別為徑向應力、環向應力。

筒壁單元體的平衡方程為 dσr/dr+(σr—σt)/r=0,將式(1)代入該式得 :dσr/dr+σs/r=0,該式的解為

邊界條件:①r=ri時,σr=0;②r=rj時,σr=—pj。

將條件 ①代入式(2)解出積分常數C,將C代回式(2)得

由式(1)得

而軸向應力

將條件 ②代入式(3)得彈 —塑性區界面壓力:

令式(6)等于式(7),得外壓與相應的rj的關系:

式(8)右邊第一項是塑性層全屈服壓力,第二項是彈性層內壁面初始屈服壓力。該式與內壓容器公式一致[1],在式(8)中令kj=1得初始屈服載荷:

令kj=k得全屈服載荷:p/σr=lnk

1.2 彈性區應力分析

彈性區的應力可由文獻[1-4]等直接得到:

k=3.5,kj=1.712 76和kj=k=3.5(全屈服)時,彈—塑性狀態應力分布分別如圖3a、圖3b所示。

式(8)實際上是進行自增強處理時所施加的外壓pa,即自增強壓力,這個壓力與塑性區深度有關,只要rj確定了,自增強壓力就可按式(8)算出。有了彈—塑性分析的結果,就可以進行外壓自增強分析。

2 外壓自增強理論的建立

自增強壓力(式(8))作用下筒壁的應力:塑性區應力按式(3)～式(5)計算;彈性區應力按式(9)～式(11)計算。

卸除pa后,筒壁中的殘余應力:按卸載定理,以Δp=pa—0=pa為假想載荷,按彈性理論計算所引起的應力。在卸載壓力Δp作用下,按彈性理論,徑向、周向、軸向應力改變量分別為[1]

將式(8)代入式(12)得應力改變量分別為

根據卸載定理,用卸載前的應力,式(3)～式(5)和式(9)～式(11)減去各相應的應力改變量式(13)～式(15),即得殘余應力。

塑性區:

彈性區:

塑性區殘余應力的當量應力σ′e/σs為

σ′e/σs=|σ′r/σs—σ′t/σs|

將式(16)、式(17)代入上式得塑性區殘余應力的當量應力 σ′e/σs:

同理,彈性區殘余應力的當量應力σ′e/σs為

以下結論也適合于受內壓的情況,因為:

其中,wy代表“外壓”,ny代表“內壓”,tsx代表“彈塑性”。

kj2—1 ＞lnkj,故整個彈性區內,σ′e/σs ＞0。但在塑性區 ,σ′r/σs—σ′t/σs可正可負。如在容器內表面,r/ri=1,于是內壁面殘余應力的當量應力σ′ei/ σ為

故在容器內表面 ,σ′r/σs —σ′t/σs 恒為負。顯然,d(σ′r/σs —σ′t/σs)/d(r/ri)在塑性區大于 0,彈性區小于0。而在彈塑性界面,r/ri=kj,式(19)、式(20)都成為

這實際上是三條殘余應力曲線(式(16)～式(18))交點的橫坐標。因為令式(16)=式(17)和式(16)=式(18)或式(17)=式(18)都得式(26),這說明三條殘余應力分布曲線交于一點,其橫坐標為式(26)。

在式(25)中,令kj=k得全屈服時容器內表面殘余應力的當量應力為

又在式(27)中令 σ′ei/σs≤1得

解式(28)得

稱kc=2.218 457 489 916 7…為臨界徑比。所以,當k≤kc時,不論kj多大,即不論塑性區多深,卸除pa后,容器不會產生屈服;而 k≥kc時,若kj過大,即塑性區太深,卸除pa后,容器會屈服。于是在式(25)中令σ′ei/σs=1可得k ≥kc時容器的徑比k與不產生屈服的塑性區深度kj間的對應關系,并將這種kj記作kj*,稱作最佳塑性深度:

或

式(26)～式(31)與內壓容器的相應公式相同[9-10]。最佳塑性深度如圖4所示(實線oab)。

式(30)表明:對一定徑比 k的容器,若kj≤kj*,則卸除pa后筒壁不屈服;若kj≥kj*,則卸除pa后筒壁會屈服。所以由式(30)可方便地確定安全的kj。由式(30)知,k越大(筒體越厚),kj越小,即塑性區越淺。這給工程應用帶來了很大方便,因為筒體越厚越難產生較大的屈服區,故當筒體較厚時取較淺的塑性區,不但卸除自增強壓力后筒壁不會屈服,且可以滿足設計要求。式(30)的求解可循以下途徑:①采用式(31);②用Excel軟件;③用圖4查取。

若kj=kj*,式(26)成為r/ri=20.5＜e0.5,即當 kj=kj* 時 ,不論 k 和 kj多大,σt′=σr′總在r/ri=20.5處發生。

再次說明 r=rj處 ,σ′ej＞ 0 。

圖5a、圖5b是殘余應力及其當量應力沿壁厚的分布。

外壓p在器壁內r處產生的軸向、徑向、環向應力分別是

外壓引起的當量應力為

塑性區內,總應力 σT/σs的當量應力 σTe/σs為

令σTe/σs=1得(式(33)實際就是式(8)):

式(34)與r/ri無關。

d(p/σs)/dkj=(k2—k2j)/(kjk2)＞0(kj=k時,d(p/σs)/dkj=0),即 kj越大,p/σs越大 ,kj=k時 ,p/σs最大。但 k ＞kc時,kj不能達到 k;只有k＜kc時,kj才可達到k。

所以,自增強容器承受pa時,在整個塑性區,σTe/σs≡1(σ′ei/σs≤1 不一定成立),這便自然達到了等強度設計效果。若承受小于pa的載荷,在塑性區 ,σTe/σs ＜1;若承受大于 pa的載荷,在塑性區,σTe/σs＞1。圖 6所示為總應力當量應力 σTe/σs沿壁厚的分布。不論k＜kc還是k＞kc,也不論kj大小如何,均可用式(34)確定容器所能承受的壓力,此時必有 σTe/σs≡1。k ＜kc時,令 kj=k,式(34)成為全屈服壓力(py/σs):

結合式(34)與式(30)可得當kj=kj*時自增強容器的承載能力:

其中,pe為初始屈服壓力。即kj=kj*及σTe=σs時自增強容器的承載能力為其初始屈服壓力的2倍,稱為最佳承載能力p*/σs,當自增強容器承受p*/σs且 kj=kj*時 ,必有 σ′ei=σs及整個塑性區σTe≡σs。k ＜kc時 ,不采用式(36)。式(36)示于圖7。將式(36)代入式(32)得

于是在塑性區有:

當kj=kj*時,式(37)成為σT*/σs≡1(整個塑性區),不僅如此,還有 σ′ei/σs=1。

在式(33)中 ,令 σTe/σs=0,有

即自增強容器承受式(38)的壓力時,在塑性區某 r/ri處,σTe/σs=0。在式(38)令 p/σs=0 得

這正是式(26)。

在容器內表面,r/ri=1,于是式(36)成為

在容器彈塑性界面處,r/ri=kj,式(38)成為

結合式(39)與式(30)可得當kj=kj*時:

式(34)與式(39)相除得

將式(39)代入式(33)得

在內表面,r/ri=1,于是式(42)成為σTe/σs=0。

在彈塑性界面處,r/ri=kj,于是式(42)成為σTe/σs=0 ＜1 —1/k2j＜1。

因此,自增強容器承受由式(39)所表達的載荷時,一定不會屈服。

在彈性區:

在容器外表面,r/ri=ro/ri=k,則

把式(34)代入式(43)得σTe/σs=k2j/k2≤1,欲使σTe≥σs,根據式(43),須使

這是個很大的載荷。kj=1時,式(44)成為p/σs≥(k2—1)/2;kj=k時,式(44)成為p/σs≥lnk=py/σs。不難證明,(k2—1)/2 ＞lnk。

由式(36)可導出自增強容器在σ′ei=σs(考慮安全系數及圓整后σ′ei＜σs)、整個塑性區內 σTe≡σs(考慮安全系數及圓整后σTe＜σs)條件下壁厚t的計算公式:

式中,n為安全系數;[σ]為許用應力,[σ]=σs/n。

當k＜kc時,不采用式(45)。由式(34)可導出自增強容器在塑性區內σTe≡σs時壁厚t的計算公式(σ′ei≤ σs不一定成立):

kj=kj*時,即k～ kj關系符合式(30),式(46)即是式(45)。由式(35)可導出k＜kc的自增強容器當kj=k時,在整個筒壁內 σTe≡σs條件下壁厚 t的計算公式(σ′ei＜σs必成立):

3 結論

建立了外壓圓筒自增強理論與設計計算方法,分析論證過程中得到的一些規律、關系式及數據、圖表等可作為壓力容器工程設計時參考的依據;對工程上遇到的各種情況,均可按本文提供的方法加以解決;這些規律、關系式及數據、圖表等大多與內壓自增強圓筒相同,所以本文建立的外壓圓筒自增強理論同樣適用于內壓自增強圓筒。如以下諸結果與內壓自增強圓筒的相應結果在形式上一樣:

(1)p/σs=pa/σs=(1 —k2j/k2)/2+lnkj時,塑性區有σTe≡σs;彈性區有 σTe＜σs。

(2)在σ′ei=σs、塑性區 σTe≡σs條件下,最佳承載能力是:k為1 ～kc時p/σs=lnk=pa/σs;k≥kc時 p/σs=(k2—1)/k2=pa/σs=2pe/σs。

(3)自增強處理時不產生屈服的塑性區深度(σ′ei/σs=1)為 k2lnk2j—k2—k2j+2=0。

(4)k2lnk/(k2—1)=1是一個很有意義的式子,臨界徑比kc即是此式的解。

(5)初始屈服壓力和全屈服壓力。

導致上述結果的原因關鍵在于內、外壓情況下的幾個當量應力相等(見式(21)～式(24))。

[1]余國琮.化工容器及設備[M].北京:化學工業出版社,1980.

[2]Brownell L E,Young E H.Process Equipment Design—vessel Design[M].New York:John Wiley&Sons,1959.

[3]Fryer D M,Harvey J F.High Pressure Vessels[M].New York:Chapman&Hall,1997.

[4]Jaward M H,Farr J R.Structural Analysis and Design of Process Equipment[M].New York:John Wiley&Sons,1984.

[5]Parker A P,O'Hara G P,Underwood J H.Hydraulic Versus Swage Autofrettage and Implications of the Bauschinger Effect[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2003,125(3):309-314.

[6]de Swardt R R.Finite Element Simulation of Crack Compliance Experiments to Measure Residual Stresses in Thick—walled Cylinders[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2003,125(3):305-308.

[7]Levy C,Perl M,Ma Q.The Influence of Finite Three—dimensional Multiple Axial Erosions on the Fatigue Life of Partially Autofrettaged Pressurized Cylinders[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2003,125(4):379-384.

[8]Amer H,Brown R D,Hetherington J.A Study of the Residual Stress Distribution in an Autofrettaged,Thick—walled Cylinder with Cross—bore[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2004,126(4):497-503.

[9]Zhu Ruili.Results Resulting from Autofrettage of Cylinder[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,21(4):105-110.

[10]Zhu Ruilin.Ultimate Load—bearing Capacity of Cylinder Derived from Autofrettage under Ideal Condition[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,21(5):80-87.