由 X上理想族誘導出的＊X上的 I-拓撲

馬春暉,李生剛,史艷維

(1.陜西師范大學數學與信息科學學院,陜西西安710062;

2.西安建筑科技大學理學院,陜西西安710055;

3.西安培華學院基礎部,陜西西安710125)

由X上理想族誘導出的＊X上的 I-拓撲

馬春暉1,2,李生剛1,史艷維3

(1.陜西師范大學數學與信息科學學院,陜西西安710062;

2.西安建筑科技大學理學院,陜西西安710055;

3.西安培華學院基礎部,陜西西安710125)

在非標準擴大模型下,利用集合X上全體理想之族,誘導出了集合X的非標準擴張＊X上的一種拓撲——I-拓撲.研究了集合X上全體理想之族的基本性質及理想族上、下確界存在的條件.在此基礎上,利用X上全體理想之族誘導出了＊X上的 I-拓撲.討論了 I-拓撲的緊性、分離性等基本性質及其在非標準拓撲學中的一些應用.

非標準擴大模型;理想;單子;I-拓撲;弱 Hausdo rff

非標準拓撲學是非標準分析理論的一個重要的研究方向[1],對它的研究是非標準分析理論前進的主要動力之一.非標準拓撲學的研究大致分為兩個方面:一是利用非標準分析理論的有關知識對拓撲學中的概念和結論進行非標準刻畫,進而得到較原有結論簡潔、直觀的結果[2-4];二是在集合X的非標準擴張＊X上構造出一種拓撲結構,利用非標準模型的特性,討論其拓撲性質[5-8].

本文主要是對非標準拓撲學的第二個研究方面做了一些嘗試性探討.在非標準擴大模型下,利用集合X上全體理想之族,誘導出了集合X的非標準擴張＊X上的一種拓撲——I-拓撲,討論了 I-拓撲的緊性、分離性等基本性質及其在非標準拓撲學中的一些應用.

1 預備知識

2 理想族及其上、下確界

3 由X上的理想族誘導出的＊X上的拓撲——I-拓撲

接下來討論 I-拓撲空間(X,T)的分離性.

引理3.1 設A?＊X,則A°=ν(Id(A)),其中A°表示集合A在 I-拓撲空間(X,T)中的內部.

證明由于A?＊X,則 Id(A)是由A生成的X上的離散理想,即 Id(A)∈I,所以ν(Id(A))∈T.又ν(Id(A))= ∪{＊G|＊G?A},于是ν(Id(A))?A.假設G是包含在A中的 I-開集,則G≠＊X,于是存在I∈I,使得G=ν(I),這樣對于任意的I∈I,＊I?G?A,由 Id(A)的定義,I∈Id(A),即 I?Id(A),由引理2.1,G=ν(I)?ν(Id(A)).從而ν(Id(A))是包含在A中的最大 I-開集,即A°=ν(Id(A)).

引理3.2[9]ν(Id(＊X-{x}))=＊X-{x},當且僅當x∈X.

由引理3.1和引理3.2直接可得:

定理3.3 I-拓撲空間(X,T)不是T1空間,進而不是 Hausdorff空間.

但 I-拓撲空間(X,T)仍具有以下弱分離性:

引理3.3 設A?X,則＊A既是 I-開集,又是 I-閉集.

證明若A=X,則＊X顯然既是 I-開集,又是 I-閉集.若A?X,則由例2.1知,I(A)是X上的一個由A生成的主理想,這樣ν(I(A))=∩{＊G|G?X,G?A}=＊A,也就是說,對于任意的A?X,存在I(A)∈I,使得＊A=ν(I(A)),即＊A∈T.同理＊X-＊A=＊(X-A)是 I-開集,所以＊A又是 I-閉集.從而,對于任意的A?X,＊A既是 I-開集,又是 I-閉集.

定理3.4 I拓撲空間(X,T)是弱 Hausdorff空間.

證明設x,y∈＊X,G是點x的任意一個 I-開鄰域,并且y?G.由于y?G,所以G≠＊X,由 T的定義,存在X上的理想 I∈I,使得x∈G=ν(I),這樣,根據理想單子的定義,存在I∈I,x∈＊I?G.由引理3.3,＊I既是 I-開集,又是 I-閉集.從而＊X-＊I也既是 I-開集,又是 I-閉集.而＊X-＊I?＊X-G,于是y∈＊X-＊E.即存在 I-開集＊E和＊X-＊I,使得x∈＊I,y∈＊X-＊I,且＊I∩(＊X-＊I)= ?,亦即 I拓撲空間(X,I)是弱 Hausdorff空間.

在一般拓撲空間,有以下結論:

引理3.4[10]在任一拓撲空間中,對于任意的閉集A,A∪B°?(A∪B)°,其中Y°表示集合Y在該拓撲空間下的內部.

定理3.5 設集合A既是 I-開集,又是 I-閉集,則對于任意的B?＊X,A°∪B°=(A∪B)°.

證明一方面,因為A?A∪B,所以A°?(A∪B)°.同理可得B°?(A∪B)°,于是A°∪B°?(A∪B)°.另一方面,因為集合A是 I-閉集,所以對于任意的B?＊X,A∪B°?(A∪B)°,而A又是 I-開集,所以A=A°,于是A°∪B°?(A∪B)°.從而,A°∪B°=(A∪B)°.

定理3.6 設A?＊X,則以下結論等價:

(1)集合A是標準集合;

(2)集合A既是 I-開集,又 I-閉集;

(3)對于任意的B?＊X,A°∪B°=(A∪B)°.

證明只需證明(3)?(1).令B=＊X-A,則A°∪B°=(A∪B)°=(A∪(＊X-A))°=＊X°=＊X,由引理3.1,A°∪B°=ν(Id(A))∪ν(Id(B))=＊X,于是存在G∈Id(A),H∈Id(B)滿足＊G∪＊H=＊X,由Id(A)和 Id(B)的定義,A?＊G,B?＊H,所以A∪B=＊X,又A∩B= ?,因此A=＊G,即集合A是標準集合.

定理3.7 設集合A是 I-開集,I∈I,若對于任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,則A∪ν(I)≠＊X.

證明顯然A≠＊X,否則對于任意的I∈I,A∪＊I=＊X.于是,由引理3.1和集合A是 I-開集,有A=A°=ν(Id(A)).因為對任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,所以ν(Id(A))∪＊I≠＊X,于是,對任意的G∈Id(A),＊G∪＊I≠＊X,由轉換原理,G∪I≠＊X.又由定理 2.3和定理 2.4,Id(A)∨I存在,因此＊X≠Id(A)∨ν(I)=ν(Id(A))∪ν(I)=A°∪ν(I)=A∪ν(I),即A∪ν(I)≠＊X.

[1] DAV ISM.App lied nonstandard analysis[M].New York:Wiley,1977:83-117.

[2] 史艷維,陳東立,馬春暉.理想收斂理論的非標準刻畫[J].西安建筑科技大學學報,2005,37(2):294-296.

[3] 陳東立,馬春暉,苑文法.濾子收斂的非標準特征及其應用[J].純粹數學與應用數學,2004,20(1):10-13.

[4] 陳東立,馬春暉,王平安.網收斂的非標準特征及其應用[J].西安建筑科技大學學報,2003,35(3):289-291.

[5] 陳東立,馬春暉,史艷維.拓撲的非標準定義[J].西北大學學報,2006,36(3):348-351.

[6] 陳東立,馬春暉,史艷維.＊Tx的結構及其性質[J].數學研究與評論,2007,27(4):671-673.

[7] 陳東立,馬春暉,史艷維.度量空間中的擬近標準點及度量空間的非標準完備化[J].陜西師范大學學報:自然科學版,2008,36(3):10-12.

[8] 陳庭勇,殷樹友,林和平.RBF人工神經網絡拓撲結構定義與解的唯一性證明[J].東北師大學報:自然科學版,2009,41(3):30-35.

[9] LUXEMBURGW A J.A general theo ry of monads[M].New Yo rk:Halt,1969:7-23.

[10] KELLEY J L.General topology[M].New York:Sp ringer-Verlag,1955:107-123.

The I-topology on＊X induced by the fam ily of ideals on set X

MA Chun-hui1,2,L ISheng-gang1,SH I Yan-wei3

(1.College of Mathematics and Information Science,Shanxi Normal University,Xi'an 710062,China;
2.School of Science,Xi'an University of A rchitecture and Technology,Xi'an 710055,China;
3.Department of Basic Courses,Xi'an Peihua University,Xi'an 710125,China)

The I-topology on＊Xwas induced by the family of all ideals onXunder the nonstandard enlarged model.Firstly,some p ropertiesof idealsand conditionsof existence of the sup reme and infium of a family of ideals onXwere discussed.Then the I-topology on＊Xwas defined,and some topological p roperties were show n.A t last,some app lications of I-topology in nonstandard topology were obtained.

nonstandard enlarged model;ideals;monad;I-topology;weakly Hausdorff

O141.41;O189.11

110·31

A

1000-1832(2010)03-0013-05

2009-12-27

陜西省自然科學基金資助項目(2007A 12);西安建筑科技大學青年科技基金資助項目(QN0736).

馬春暉(1980—),男,博士研究生,主要從事格上拓撲學和應用非標準分析研究;李生剛(1959—),男,教授,博士研究生導師,主要從事格上拓撲學與擬陣鄰域研究.

(責任編輯陶 理)