耦合發電機系統的動力學分析及其自適應控制

吳淑花,劉振永,郝建紅,馬志春

(1.石家莊學院物理與電氣信息工程系,河北石家莊 050035;2.華北電力大學電氣與電子工程學院,北京 102206)

耦合發電機系統的動力學分析及其自適應控制

吳淑花1,劉振永1,郝建紅2,馬志春1

(1.石家莊學院物理與電氣信息工程系,河北石家莊 050035;2.華北電力大學電氣與電子工程學院,北京 102206)

利用相圖、龐加萊截面、功率譜、時間序列圖分析了耦合發電機系統的混沌吸引子的特點、對稱性、平衡點及穩定性等基本動力學特性。提出了在目標態未知的情況下利用自適應反饋法將混沌系統精確地控制到不穩平衡點,并給出了理論證明,數值模擬驗證了該方法的有效性和可行性。

耦合發電機系統;動力學特性;自適應控制

近年來,由于混沌控制具有巨大的應用前景而吸引了物理學家的極大興趣。1990年,OTT等基于有無窮多的不穩定周期軌道嵌入在奇怪吸引子中這一事實,提出了一種利用混沌內在特性的控制策略(即OGY法)[1]。此后,人們提出了許多混沌控制的方法,這些控制方法大體可以分為反饋方法和非反饋方法2大類[2-8]。反饋方法有OGY法、自適應控制、延遲反饋控制(DFC)、線性反饋控制、非線性反饋控制、變結構控制、模糊控制等等。非反饋控制方法有弱周期參數擾動法、弱周期脈沖附加法、弱噪聲信號附加法等等。每種方法都有其優勢和不足,選擇合適的方法是有效進行混沌控制的關鍵。

深入細致地研究系統的混沌行為將有助于認識和有效地進行混沌形態的控制。筆者就文獻[9]中的耦合發電機系統模型,利用理論推導、數值仿真、Poincaré截面圖等,分析了系統的基本動力學特性。已有學者對該系統的混沌控制作了大量的研究[9-11]。文獻[9]中,作者用2種反饋方法(單反饋法和雙反饋法)將耦合發電機系統鎮定到平衡點和極限環,數值模擬結果顯示這2種反饋方法是非常有效的,然不足的是需要提前計算得到目標態的精確信息。筆者將反饋方法進一步完善,在不知道目標態的精確信息情況下,利用自適應控制法將耦合發電機系統控制到不穩平衡點,并對該方法的控制過程和結果進行了理論分析和數值模擬。

1 耦合發電機系統的混沌模型

耦合發電機系統是1個具有混沌特征的非線性動力學系統,該系統由2個連接在一起的發電機組成,其中任何一臺發電機都處于另一臺發電機產生的電流所形成的磁場中。選擇適當變量,該系統可以用下面的1個四維常微分方程組來表示[10-11]:

其中x1,x2分別表示2臺發電機的電流變量;ω1,ω2表示2個發電機轉子的角速度;q1,q2為轉子受到的扭轉力矩;μ1,μ2,ε1和ε2是表征發電機耗散效果的正數參數。令ε1=ε2=0,則耦合發電機系統可用1個具有混沌特征的三維自治方程組來描述:

其中,μ和α分別作為系統的控制參數(μ為正數參數,α為非零參數)。當μ>1/2時,系統(1)的向量場散度

其中,F=(F1,F2,F3)=(-μx1+x2(x3+α),-μx2+x1(x3-α),x3-x1x2)。

可見,系統(1)是類似于Lorenz的受迫耗散系統,但不拓撲等價[12]。故?t≥0,?x1(t),x2(t)和x3(t)全局有界并且連續可微。變換(x1,x2,x3)→(-x1,-x2,x3)后,系統保持不變,故系統具有以x3為軸的自然對稱性。

2 耦合發電機系統的動力學分析

2.1 耦合發電機系統的典型混沌吸引子

當參數μ=2和α=3時,作者研究了系統(1)的動力學行為。圖1a)—圖1d)顯示了系統(1)具有1個典型的混沌吸引子(本文中的單位均采用約化單位);圖1e)反映了在x1=0截面上的龐加萊映像,這些點形成了具有某種形狀和自相似結構的圖案;圖1f)顯示了x3(t)的功率譜是連續的;圖1g)反映了x3(t)的時間序列是非周期的。

用奇異值方法計算得到系統(1)的3個Lyapunov指數:λ1=0.449 3,λ2=0,λ3=-3.449 3。按照Kaplan和Yorke猜想[13],可求出系統(1)的Lyapunov維數

系統(1)具有分數維。以上分析表明系統(1)在參數μ=2和α=3時的運動是混沌的。

2.2 耦合發電機系統的平衡點及穩定性分析

圖1 當μ=2,α=3時系統(1)的混沌動力學行為分析Fig.1 Dynamical analysisof sysytem(1)atμ=2 andα=3

將系統(1)在各平衡點處的線性化系統的特征多項式統一表示為

由式(2)計算得到E0(0,0,0)處的特征多項式

由式(3)和式(4)可知,此時A=2μ-1,B=α2+μ2-2μ,C=-α2-μ2,AB-C=2μ(α2+(μ-1)2)。

根據Routh-Hurw itz條件,當僅當A>0,B>0,C>,AB-C>0時,所有的特征值才都具有負實部。本系統在μ>1/2的條件下,C<0。也就是說,不是所有的特征值都具有負實部,因此平衡點E0(0,0,0)是三維相空間中的一個不穩定鞍點。

把系統(1)分別在平衡點E1,E2,E3,E4處線性化,可以得到如下相同的特征多項式

在μ>1/2條件下,根據Routh-Hurw itz條件判定,這4個平衡點(E1～E4)都是三維相空間中的不穩定焦點,其位置具有對稱性。觀察圖1a)—圖1d),系統(1)的吸引子不但具有低維混沌吸引子的一般特點,還具有更復雜的折疊和拉伸結構,這說明了系統(1)在局部上比低維混沌系統具有更強的不穩定性。圖1a)顯示不穩鞍點E0居于混沌吸引子的中央,整個吸引子以x3軸對稱。周邊的4個環形區域各圍繞1個不穩定的焦點,形成1個多邊的螺旋型的混沌吸引子。系統(1)有5個平衡點,而Lo renz系統只有3個,因此,它完全不同于Lo renz系統,它的復雜性大大增加了混沌控制的難度。

3 自適應控制

3.1 自適應控制器

考慮一個n維非線性動力系統˙x1=fi(x),在右邊加入控制器u后受控系統變為

當系統被控制到固定點時,這個控制擾動將趨于0。構造一個具有可變反饋增益ki(t)的閉環系統[14]

其中,ε∈Rn+,可變反饋增益k(t)∈是一個非增加的正函數,當系統達到平衡狀態x＊時,k趨于其最大值k＊。計算平衡態y的位置[14]

其中,y∈Rn,λ∈,這種性質保證了對任何λ>0的解有界并且y→x＊。由式(5)、式(6)和式(7)構成控制系統[15]

然而,經PYRAGAS證實,λ>0時,該控制器不能穩定系統的不穩定鞍點,只有λ<0時可以穩定[14]。

因為f(x)是有界的,意味著?l<∞,?i,有|fi(x)|≤l|xi-yi|。如果xi≠yi,選擇L>l,由上式得到如下的不等式

當?i,xi=yi時有˙V=0。按照LaSalle不變原理,式(10)保證了t→∞在系統˙xi=fi(x)的任何有界的解都趨于不穩定的平衡點。

3.2 數值模擬

此控制器具有一定的靈活性,通過選擇不同的施控時間,可以將系統控制到不同的不穩平衡點上,控制的目標由施加控制時系統的運動軌跡決定。也就是說,施控時,未被控制的系統運動到距離最近的不穩平衡點將被穩定。

通常情況下,上面的控制器維數被簡化使用。如果將一維控制器加到系統(1)的第1個方程上,受控系統變為如下形式:

選取μ=2,α=3,時間步長取0.01,采用四階Runge-Kutta法求解方程(11)。在以下所有數值模擬中選擇初始值(x1,x2,x3,k,y)t=0=(1,1,2,0,0)。

3.2.1 對不穩焦點E1～E4的穩定

將控制器加在系統(1)第1個子方程上(見方程(11)),令ε=0.3,λ=0.3,在t=11時刻加入控制,系統(1)被穩定在E1(-1.045,3.451,-3.606)點(見圖2所示)。改變控制時間t=12,系統(1)被穩定在另一個平衡態E2(1.045,-3.451,-3.606)點。

將控制器加在系統(1)的第2個子方程上,令ε=0.3,λ=0.3,在t=11時刻加入控制,系統(1)被穩定在E3(3.451,1.045,3.606)點;當控制時間為t=12時,系統(1)被穩定在E4(-3.451,-1.045,3.606)點。

3.2.2 穩定不穩鞍點E0

將控制器加在系統(1)的第3個子方程上,令ε=0.3,λ=-0.3,在t=12時刻加入控制,系統(1)被穩定

在E0點。圖3顯示了鞍點E0被穩定的過程。

4 結 語

研究了耦合發電機系統的基本性質,計算了Lyapunov指數和維數、時域波形圖、頻譜圖和龐加萊截面圖,討論了系統的平衡點及其穩定性。基于LaSalle不變原理設計了一個自適應控制器,在不知道系統目標態的情況下實現了耦合發電機系統的混沌控制。數值仿真結果表明了該方法簡單,易于操作,且控制效果好,收斂的速度快,在實際工程中有廣泛的應用價值。

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Dynamical analysis and adap tive control fo r coupled dynamos system

WU Shu-hua1,L IU Zhen-yong1,HAO Jian-hong2,MA Zhi-chun1
(1.Department of Physics and Electrical Information Engineering,Shijiazhuang University,Shijiazhuang Hebei 050035,China;2.School of Electric and Electronic Engineering,North China Electric Power University,Beijing 102206,China)

The basic dynamic characters fo r the coup led dynamos system are analyzed by phase map,Poincarésection,power spectrum and time series.It involves chaotic attracto r,symmetry,equilibrium states and stability.In the case w here the know ledge of goal states is not know n,an adap tive feedback control is used to stabilize unstable steady states for the coup led dynamos system,and the academic p rovenance is given.Numerical simulations verify the validity and feasibility of themethod. Key words:coup led dynamos system;dynamical p roperties;adap tive control

TM 31;TP273+.2

A

1008-1542(2010)03-0214-05

2009-12-07;

2010-01-08;責任編輯:王士忠

國家自然科學基金資助項目(10775018)

吳淑花(1968-),女,河北石家莊人,講師,碩士,主要從事非線性動力學與混沌控制方面的研究。