高中立體幾何之“傳統”與“向量”的PK

　　第一輪新課程改革的實施隨著2010年高考的結束告一段落，但是我們的新課程還將繼續，我們對新課程改革的探索與實踐還將繼續，我省高考中的立體幾何問題涉及一個翻折問題，新穎獨特，堪稱為一個好題，但從閱卷的情況看，學生的作答與得分情況并不理想，這種情況值得我們反思，目前高中立體幾何關注學生的現實性生活，從生活中來，到生活中去，并將知識運用于實際的思考方式，知識點分成“空間幾何體、點、直線、平面之間的位置關系”與“空間向量與立體幾何”兩塊，產生了“傳統歐氏推理體系”的立體幾何(以下簡稱“傳統”)與“空間向量計算體系”的立體幾何(以下簡稱“向量”)的雙線教學，目前關于涉及“立體幾何”具體教學的文獻已經很多，多數都是圍繞具體題目的解法進行展開，缺乏對立體幾何“雙線”的整體把握，筆者認為我們要“治標”就必須要“治本”，下面筆者就從“發展歷史”、“教學必要性”、“教學編排與內容”三方面對兩者進行對比分析，以期對我們今后的教學有所啟示。
　　
　　1　“發展歷史”的PK
　　
　　歐氏幾何學作為研究空間形態的科學，在數學中占有舉足輕重的地位，歷史上數學科學首先以幾何學的形式出現，幾何學提出的問題，誘發了一個又一個數學觀念和有力的數學方法，幾何學具有深刻的邏輯結構、豐富的直觀背景以及鮮明的認證層次，在直覺和形式化之間建立了一種特殊的聯系，使得幾何學成為啟發邏輯思維和培養演繹推理能力的最有效的途徑，英國著名數學家阿蒂亞說過：“幾何是數學中的這樣一個部分，其中視覺思維占主導地位，而代數則是數學中有序思維占主導地位的部分，這種區分也許用另外一對詞更好，即‘洞察’與‘嚴格’，兩者在真正的數學研究中起著本質的作用，”這就明確地指出幾何學不只是一個數學分支，而且是一種思維方式，它滲透到數學的所有分支，對于幾何的思維價值，蘇聯著名數學家科爾莫格羅夫的話也很精辟，他指出：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題轉化到幾何上的視覺化——幾何想象，或如平常人們所說的幾何直覺，對于幾乎所有數學分支的研究工作，甚至對于最抽象的工作有著重大意義。”
　　向量從阿基米德的平行四邊形法則算起，至今已經走過兩千多年的歷程，向量的原型是力，它是物理對象，阿基米德用有向線段表示力，使它又成為了幾何對象，文藝復興時期，笛卡爾發現用代數方法可以研究圖形的幾何性質，劃時代地創立了解析幾何與坐標方法，使得數量標志幾何位置成為可能，引入坐標系后，向量又成了一對有序實數(是指平面向量)，從而又變成了代數對象，所以向量實際上溝通了物理和數學，在數學中又溝通了幾何與代數，人們習慣用“數”表示代數，“形”表示幾何，從而可見向量是“數形結合”的橋梁，這種溝通使數學大大增強了活力，向量是一種有用的數學工具，向量作為一種成熟的數學工具進入幾何領域，又為人們解決這些領域的問題提供了新的方法，增加了新的視野，此后幾何學就沿著兩個方向發展，一是基于幾何直觀的傳統歐氏綜合幾何學，二是沿著解析幾何、向量幾何的方向發展，向量學科的形成和發展是一個不斷觀察現實世界和提出問題、分析問題和解決問題的過程，這說明數學思想與方法本身就是面對社會發展、服務于社會發展的，幾千年積累形成的數學思想方法系統將繼續促進社會的發展，如今向量已經成為最重要的數學基本概念之一，是一個非常優秀的數學模型，回顧向量的發展的歷史，我們會清晰地感到，向量作為一個成功的數學模型，它的最早原型就是人們一刻也不能缺少的“力”、無處不在的“速度”、只要運動就會生成的“位移”等，可見向量并不是憑空產生的概念，它是由人們生存、生活、生產中時刻遇到的那些經驗、知識不斷的抽象、升華、提煉而成，通過向量的教學，可以讓廣大師生知道，一個數學模型之所以能確立、發展，關鍵在于它具有廣泛的應用性，社會發展需要它，它就會發展，社會也會因為它的發展而得到促進。
　　
　　2　“教學必要性”的PK
　　
　　幾千年來，“傳統”幾何學科作為世界文明史的一個科學體系，雖經歷風雨，卻依然生機勃勃，一個根本原因就在于它本身的價值決定了它具有不可替代的教育價值，它是二種理解、描述和聯系現實空間的工具；有助于培養學生良好的理性思維習慣；有助于發展學生演繹推理和邏輯思維能力；有利于學生形成科學的世界觀和理性精神；能為創造活動提供豐富的素材；可以作為各種抽象數學結構的模型，史寧中教授認為：“數學是對現實世界的數量關系、空間形式和變化規律進行抽象，通過概念和符號進行運算與邏輯推理的科學，”從這個數學的定義來看，數學教學不僅是讓學生了解數學知識、定理，更重要的是要鍛煉學生的思維能力(包括邏輯思維能力、空間想象能力和推理證明能力)，學會數學地思考問題，從另一方面來看，新課程中增加了獨立的“推理與證明”章節，而“傳統”幾何正是以“推理與證明”為根本的，王林全教授認為證明在數學教育中的地位可考慮以下幾個方面：(1)在數學教育中，解釋、判斷和證明的重要性；(2)在課堂教學中，建立證明教學的條件；(3)通過證明教學，幫助學生建立推理論證的數學思想方法，所以，數學教學能夠通過邏輯論證把數學知識發生發展的邏輯過程轉化為學生的思維過程，從而培養和提高學生思維能力，數學證明的教育價值在于：(1)通過證明的教與學，使學生理解相關的數學知識；(2)通過證明，訓練和培養學生的思維能力(包括邏輯的和非邏輯的)以及數學交流能力；(3)通過證明，幫助學生尋找新舊知識之間的內在聯系，使學生獲得的知識系統化；(4)通過證明，使學生更牢固地掌握已學到的知識，并盡可能讓學生自己去發現新知識，“推理與證明”是數學的基本思維過程，是做數學的基本功，也是人們在_般學習和生活中常用的思維方式，是發展理性思維的重要方面：數學與其他學科的區別除了研究對象不同之外，最突出的就是數學內部規律的正確性必須用推理的方式來證明，而在證明的過程中，又經常要用合情推理去猜測和發現結論、探索和提供思路，因此，無論是學習數學、做數學，還是對于學生理性思維的培養，都需要在基礎教育階段的高中數學中加強這方面的學習和訓練，傳統幾何歷經風雨一直被世界各國視為重點，雖經歷多年的爭論，但最終取得的共識是：幾何學中的嚴密推理對培養學生數學思想能力具有重要的作用。
　　從控制論的角度分析，學習一門課程好比瀏覽一個城市，課程的邏輯體系，就好比城市的交通系統，應當有一個“放射型”的交通中心，交通中心應該四通八達，找到它，我們到哪兒都方便，而歐幾里德的幾何體系沒有一個突出的中心，沒有一個能讓學生俯瞰全局的制高點，它的邏輯結構是串聯式而不是放射型的，《幾何原本》的每一節都那么重要，任何一部分沒有學好，往前走路就斷了，這就是串聯邏輯結構的特征，從問題解決的角度分析，“傳統”立體幾何體系的又一個問題在于它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法，學生學會了加減乘除，就會算很多算術題；學會了解方程、方程組，就能解大量的方程應用題，而幾何方面，盡管人們學了一堆幾何定理，仍然會在一些其實并不難解的問題面前束手無策，立體幾何給出的基本解題工具主要是全等三角形和相似三角形，而許多問題里面的圖形，并不包含這些，要用上它們，往往要作輔助線，可怎樣作輔助線呢?這同樣是一個難點，也使得很多學生束手無策，平面幾何如此，立體幾何也如此，當然，三角法在立體幾何中是一個應用廣泛的方法，甚至是一個通法，但是三角法的應用仍然沒有改變立體幾何難學的狀況，那是因為立體幾何的知識的基底太多，比如，要求二面角的大小，必須先造角，那么如何去造，方法就有很多，而且每一個具體的問題，幾乎只有一種造法，這樣在學生手頭，每一個問題都是新的，學生對立體幾何學習失敗的歸因方向不言而喻，“立體幾何太難了”、“我不是學幾何的料”是較多學生的結論，因此在立體幾何的學習中引入一種新的工具是在所難免的，這時候空間向量成為了理想的工具，吳文俊先生認為：“歐幾里得體系除了數量關系，純粹在形式間經過公理、定理來進行邏輯推理……盡管立體幾何漂亮的定理有的是，漂亮的證明也有的是，但是你跑不遠，更不能騰飛……對于幾何，對于研究空間形式，你要真正的騰飛，不通過數量關系，我想不出有什么好辦法，”由此可見，傳統的幾何要“騰飛”，必須引入具有“數量關系”的空間向量，幾何發展的根本出路在于幾何代數化，這其中的原因除了用代數方法研究幾何問題能“以數釋形”，有利于培養學生的邏輯思維能力外，還有一個很重要的原因就是，隨著信息技術的不斷發展，很多現實生活中的問題抽象成數學問題后，需要用計算機輔助處理，其中有關幾何圖形的問題計算機是無法直接處理的，只有將幾何圖形“翻譯”成代數語言，再編寫程序，從而達到處理幾何圖形的目的，研究幾何圖形的代數方法有很多種，如面積和體積的計算，笛卡爾時代的坐標幾何，向量幾何等，其中被實踐證明，對高中學生較為有效的方法是向量幾何，這是由于實現幾何代數化首先應把幾何中一個最基本的幾何量——“兩點的相對位置(位移)”代數化，兩點的相對位置是幾何中最基本的幾何量，它包括距離和方向兩個要素，把這個量加以抽象，就引出向量的概念，然后把幾何中的全等和平行(平移)、相似等轉化為向量的加法、數乘向量和數量積三個運算，這樣就把空間圖形的位置關系和度量關系的運算轉化為向量代數體系中的運算，向量運算體系與算術、代數運算體系基本相似，學生就可以運用他們熟悉的代數方法進行推理，來進一步掌握空間圖形的性質，所以向量有助于學生更容易理解和掌握幾何代數化的方法，引入空間向量可以更新學生對空間形式的思維方法，為學生建立一種符合現代數學發展要求的思維方式，同時由于向量運算體系與算術、代數運算體系基本相似，學生就可運用他們熟悉的代數方法進行推理，來掌握圖形的性質，從而豐富了學生的思維結構和運用數學解決問題的能力，到高中階段學生應該學習幾何的代數化方法，這是當前世界各國基礎數學教學階段要求達到的水平，高中學生初步學習幾何的代數化方法，能為以后的學習打下較為堅實的基礎。
　　但是，空間向量引入立體幾何的嘗試并不是第一次，20世紀60年代，國外有一批熱心改革的數學家和數學教育家，發起了一場轟轟烈烈的“新數學”運動，但是他們的改革走了極端，例如，著名的法國數學家狄東尼甚至提出了“歐幾里德滾蛋”的口號，他們的想法是讓向量運算來取代立體幾何，結果遭到了挫折，有人說新數學運動以失敗告終，有人則反對這種說法，認為不算失敗，不管怎么說，反正是進行不下去了，為什么沒有成功呢?也許從事這一運動的數學家和數學教育家們沒有真正弄清楚歐幾里德體系能夠占領課堂兩千多年的原因吧，他們想簡單的切斷歷史，讓學生從上一代人的終點開始，盡快的吸取近代甚至現代數學的成就，結果表明，這只是一廂情愿的良好愿望，人的認知過程是有客觀規律的，我們很難期望用數學家的領悟來代替中學生的領悟，更不能希望中學生跳過一系列的認識發展階段，直達現代數學的大門，這說明，在高中數學中引入空間向量的同時，絕對不能忽略“傳統”立體幾何的教學。
　　
　　3　“教學編排與內容”的PK
　　
　　在《普通高中數學課程標準(實驗)》中，立體幾何安排為三個模塊，必修教材中有兩個模塊，一是空間幾何體：觀察空間圖形，認識簡單幾何體及其簡單組合體；能畫出簡單空間圖形的三視圖，能識別三視圖所表示的立體模型，二是了解空間圖形的不同表示形式，點、線、面之間的位置關系：借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解可以作為推理依據的公理和定理；通過直觀感知、操作確認、思辨論證、認識和理解空間中線面平行、垂直的性質和判定；能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題，選修教材中有一個模塊，空間向量與立體幾何：掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，理解直線的方向向量與平面的法向量，能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系，能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理，能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題。
　　新課程中的立體幾何教學分成幾個部分，并分布在不同的教材之中，逐步進行深入與學習，不象舊教材中比較集中，相對要分散，新教材的引入是這樣的：幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科，空間幾何學是幾何學的重要組成部分，它在土木建筑、機械設計、航海測繪等大量實際問題中都有廣泛的應用，我們從對空間幾何體的整體觀察人手，研究空間幾何體的結構特征、三視圖和直觀圖，了解一些簡單的幾何體的表面積與體積的計算方法，這樣的一個編排方式，使學生更容易進入學習的角色，比如不少學生在立體幾何中的數學語言這一關上問題很大，學生數學語言學習的問題解決有利于實現數學語言內容到形式的統一，使學生感受到立體幾何的具體實在，可以克服對立體幾何抽象性的恐懼感，從具體到抽象，又將抽象的數學語言轉化成具體的圖形形象，新課程有利于學生認識世界，運用知識能力的提高和向量運算能力的加強，降低了學生學習立體幾何的難度。
　　“傳統”立幾在新舊教材處理方法上的變化反映于以下幾點：(1)從局部到整體，具體到抽象，舊教材：點、線、面——柱、錐、臺、球，新教材：柱、錐、臺、球——點、線、面；(2)專設“空間幾何體的三視圖”這一節，重點在于培養空間想象能力；(3)“點、線、面之間的位置關系”推進路線，舊教材：平面——線線——線面——面面，新教材：平面——平行——垂直；(4)空間幾何體：強調直觀感知，引進結構特征、線面關系，強調操作確認，學會思辨論證；(5)線線、線面、面面關系，舊教材：判定定理和性質定理都要求邏輯推理，對于平行垂直，既重定性又重定量，新教材：判定定理要求操作確認、合情推理，性質定理要求思辨論證、邏輯推理，對于平行與垂直，重在定性；(6)不要求用反證法證明簡單的問題。
　　“向量”在解決立體幾何問題中主要有三個方面的應用：(1)點、線、面的位置關系；(2)求線、面所成的角度；(3)求點、線、面的距離問題，而現在立體幾何問題的題型也主要有下面幾種形式：(1)計算問題，(2)證明問題，(3)探究性問題：①軌跡判斷問題，②取值范圍問題，③存在性問題，向量解決立體幾何問題的方式主要有兩種：(1)代數式運算方式，(2)向量坐標運算方式，一般來說，用向量的坐標運算，思維量更少，運算技巧性更低，更容易掌握，但坐標運算方式的弱點是要十分精確地寫出各個點的坐標，準確無誤地寫出相關向量的坐標，坐標一錯則全盤皆錯，另外，有些情況下可能并不是很方便建立直角坐標系，此時不妨考慮用代數式運算，只是運算技巧相對要強一些，從整體來看，學生通過向量法解決立體幾何問題，主要有4種方法：(1)向量的加、減法，向量的數乘；(2)AB·CD=|AB|·|CD|·cosθ(θ為AB與CD的夾角)；(3)利用向量垂直的特殊位置關系；(4)向量的代數式，學生只要學會了上面四種方法，大部分的立體幾何問題都可以迎刃而解，其中第四種向量的代數式，較前幾種方法稍難一些。
　　
　　4　結束語
　　
　　通過上述“傳統”與“向量”的PK，我們發現在“傳統”與“向量”之間存在著一種辨證關系，我們不能片面地說孰好孰壞，而應該從辨證的角度來看待它們，用“傳統”方法是幾何方法，而“向量”方法是代數方法，無論是代數領悟力好的學生，還是空間感強的學生，都找到了一種適合自己的解題方法，這樣更符合我國新課程的理念，體現了立體幾何課程對全體學生的適應性，即為不同學生的不同數學需求，打好不同的基礎，從而獲得最佳發展，這也是適合國際人才需求發展的需要，“傳統”與“向量”的雙線教學使學生在掌握有關知識，增強解決問題能力的同時，還了解到數學為什么今天被人們稱為數學文化的原因，了解到數學發展必須緊扣社會發展的脈絡，了解到數學內在的和諧與統一，了解到數學就在我們身邊，數學并不是空想出來的，而是對現實生活的濃縮，它是現實生活中具體事例的特例，從而，使學生在學習數學的同時，產生學習數學的興趣，在生活中，使學生養成良好的數學思維習慣。
　　
　　參考文獻
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　　2　史寧中，教育與數學教育，北京：中國少年兒童出版社，2005
　　3　吳文俊，數學教育現代化問題，數學通報，1995，(2)
　　4　吳麗娟，知其變，更應知其所以變，數學通報，2009，(