必勝客傳菜服務系統最優化研究

摘要:以必勝客餐廳傳菜工作站為研究對象，定義為傳菜服務系統，通過對其的觀察和實際數據的統計分析，確定運用排隊系統進行分析，并運用了系統工程中的相關分析方法，實現該傳菜服務系統總費用的最低化和系統最優的服務人員配備數，達到系統最優化。

關鍵詞:必勝客;排隊論;傳菜服務系統

中圖分類號:F120.3文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)07-0175-03

一、背景分析

1.傳菜服務系統。必勝客歡樂餐廳的傳菜工作站是怎樣運行的呢?我們可以看到在餐廳的一角，設置有一個吧臺，吧臺前會站有服務員(人數不等)，并手持托盤。顧客所點的餐點都會在這個位置被接出，然后由這些服務員來送到相應顧客所在的餐臺，我們稱之為傳菜，而顯然這一塊相對于點餐等其他服務是被獨立出來的。

2.系統分析。由于就餐的客人到之后進行點餐。餐廳的后臺接到前臺的輸單后開始烹飪食品，產生熟食。到達吧臺的熟食是接二連三的，那么在這個系統中到達吧臺的每一道熟食都有可能排隊等候，然后由服務員接出、傳走，然后離開系統，可見在吧臺的熟食存在著排隊現象，因此可視為一個排隊系統。在這個系統中，每一道熟食即可看做需要接受服務的顧客，每一個服務員即服務臺，服務員對每一道熟食的處理服務即服務方式。其次，在該系統中，可觀察到幾位服務員對到達吧臺的熟食的處理是獨立的，到達吧臺的熟食按照先到先服務的方式接受服務，而對于先到的熟食由誰來傳送是隨機的，也可以說服務員之間是并列的。由于每個傳菜服務員的技能熟練程度、傳送速度以及與就餐客人交涉的內容不同，使得傳菜服務員對熟食的處理服務時間不同。

其特征如下:熟食到達吧臺時，如所有服務員全被占用，則只排一隊等候，哪個服務員完全空閑時，等候中的熟食按先后順序由空閑的傳菜服務員來處理，即先到先服務，且為等待制，也就是說每一道熟食接受服務需要等待。

3.服務機構。其特征如下:服務機構有多個服務員(服務臺);多個服務員之間是平行排列的且獨立;服務方式對單道熟食進行;服務時間是隨機的;處理時間的分布是平穩的。

二、模型的建立

1.數據收集與整理。調查所在的必勝客歡樂餐廳每天營業12個小時，即10:30～22:30;根據系統描述，可知服務時間是隨機的，假定服務時間的分布平穩，即分布的參數不受時間的影響，調查內容是單位時間內到達傳菜服務系統的熟食數與服務時間，其中對周末與節假日不作統計，因為這段時間餐廳的客流量極大，應分開作研究，但規律是一致的。

(1)單位時間內到達傳菜服務系統得熟食數:設定每一分鐘為一個調查單位，隨機調查94個調查單位，記錄每個調查單位內到達傳菜服務系統的熟食數(見表1)。

表1單位調查時間內的熟食數和頻數

(2)服務時間:選定20位服務員作為統計對象，實際統計(見表2);從而確定傳菜服務系統內每位服務員對每一道熟食的平均處理服務時間為26秒鐘。

表2 每道熟食服務時間及頻數

2.擬合檢驗。對輸入過程和服務時間的統計推斷，采用擬合優度的x2假設檢驗，判定文章所研究的排隊系統符合哪種分布模型。

(1)每一道食物在顧客點餐后并由服務員輸單之后開始做，在一定的時間間隔后產生熟食并到達吧臺，即輸入系統;設N(t)表示在時間間隔[0，t]內到達的熟食盤數(t>0)，定義Pn(t1，t2)表示在[t1，t2]內有n個到達的概率，則:

Pn(t1，t2)=P{N(t2)-N(t1)=n}，(t2>t1，n≥0)

系統基本符合如下三個條件 [2]:

①在任意兩個互不重疊的時間間隔內熟食到達的數量是相互獨立的;②在[t，t+Δt]這段時間內熟食到達的數量只與時間間隔的長度Δt有關而與起點時間t無關，即:p(t，t+Δt)=λΔt+ο(Δt);③在充分小的時間間隔Δt內，最多只有一道熟食到達，即:pn(t，t+Δt)=ο(Δt);由以上條件可知，截至時刻t有n道熟食到達的概率Pn(t)。

即:Pn(t)=t>0，(n=0，1，2，…，k)。

由以上的三個條件可以判斷輸入過程符合泊松分布，下面我們作進一步的驗證:

單位時間熟食平均到達:λ==2.1944; 計算概率:pi=e-λ(i=0，1，…，4)

計算理論頻數:f i =94Pi;求的值x2=:

通過Excel，計算過程如下表:

表3卡方檢驗過程

所以，x2=0.0214+0.0000+5.1459+0.5993+0.6360=6.4027;取α=0.05，自由度為3，查表得臨界值x20.05(3)=7.81;可見，x2

(2)服務時間的分布:當單位時間內系統的熟食到達，即輸入過程為泊松流時，那么熟食相繼到達的間隔時間T必服從負指數分布，這是因為對于泊松流，在區間[0，t]內至少有1道熟食到達的概率為:

1-P0(t)=1-e-λt，t>0

其次，當服從負指數分布時，其分布函數為:FT(t)=

1-e-λt，t≥00，t<0;而這概率又可表示為:P{T≤t}=FT(t)。

因此，相繼到達的間隔時間是獨立且為同負指數分布(密度函數為λe-λt，t≥0)，與輸入過程為泊松流(參數為λ)是等價的。

對一道熟食的服務時間也就是在忙期相繼離開系統的兩道熟食的間隔時間，服從負指數分布。這時它的分布函數和密度分別是:F(t)=1-e- v t，f(t)=ve - v t;其中表示單位時間能被服務完成的熟食數，稱為平均服務率，而1/v表示一道熟食的平均服務時間，這里平均就是期望值。所以，在該系統中平均服務率:v=2.3077道/分。

4.系統模型。由以上論證可知該傳菜服務系統符合排隊論模型中的M/M/C排隊模型(M代表泊松輸入或負指數分布，C代表多個服務臺)。即熟食到達服從泊松分布、服務時間服從負指數分布、多個服務員(服務臺)的排隊系統。這樣的排隊系統，有以下幾個重要運行指標:

(1)在排隊系統中熟食數的期望值LS，它是指正在接受處理服務和排隊等待處理服務的兩類熟食的平均值;(2)在隊列中等待處理服務的熟食數的期望值Lq;(3)熟食在系統中全部時間的期望值WS，即熟食排隊等待時間和接受處理服務時間總和的平均值;(4)熟食排隊等待時間的期望值Wq;(5)服務強度ρ，它反映了傳菜服務系統中服務員的工作強度，其值越大，說明需接受處理的服務隊列越長，傳菜服務員空閑時間越少;反之則然。

三、模型的求解

(一)模型計算

1.運行指標的計算。平時必勝客餐廳的傳菜服務系統中，熟食的平均到達率λ為:2.1944道/分鐘，每個傳菜服務員的平均服務率v為:2.3077道/分鐘。系統指標的計算值如下表:

表4系統指標的計算

2.M/M/C系統中C的最優值求解。求解M/M/C系統模型中C的最優解，這里通過建立C的目標函數 [3] 來分析。

對于在系統達到穩態的情形下，這時單位時間全部費用(服務成本與等待費用之和)的期望值:

z=c's#8226;c+cw#8226;L (3.1)

其中，c是服務臺數(傳菜服務員人數)，c's是每位傳菜服務員單位時間的成本，cw為每道熟食在系統停留單位時間的費用，L是系統中熟食的平均數Ls，并且c's與cw都是給定的值，唯一可變動的是服務臺數c，所以z是c的函數z(c)，現在求得最優解c*使z(c*)最小即可。

因為只能取整數值，不是連續變量的函數，所以不能用經典的微分法，文章采用邊際分析法 [4]，根據最小的特點，我們有:z(c*)≤z(c*-1)z(c*)≤z(c*+1);將公式(3.1)式中z代入，可得:

c′sc*+cwLs(c*)≤c's(c*-1)+cwLs(c*-1)c′sc*+cwLs(c*)≤c's(c*+1)+cwLs(c*+1)，化簡后得:

L(c*)-L(c*-1)≤c′s /cw≤L(c*-1)-L(c*)(3.2)

依次求c=1，2，3，…時L的值，并作兩相鄰的L值之差，因c′s /cw是已知數，根據這個數落在哪個不等式的區間里就可定出最優解c*，這一區間為最優區間。

(1)c′s 與cw值的確定:

①在必勝客歡樂餐廳中，從事服務工作的員工即服務員都是小時工，按小時計酬，每小時7元;因此，就可確定每個服務臺單位時間的成本，即c′s =7/60元/分鐘。

②對于cw的值，即每道熟食因在系統中等待停留給系統帶來的損失，該值不存在經驗值同時包含著不確定因素，因此文中把其看做一個統計值，并用三點估計法 [4] 來求得。

三點估計法公式:E=(T0+4Tm+Tp)/6。(3.3)

其中，T0代表樂觀判斷的損失值，Tm代表損失的大概估計值，Tp代表悲觀判斷下的損失值。

在必勝客歡樂餐廳中，我們可以發現顧客最不能夠等待的便是飲料;首先，飲料在西式的就餐順序中排在第一位，其次，對于飲品來說，都是現成品，只要盛裝好就可傳送上桌。因此，顧客對飲料的等待時間的期望值很小，飲料在傳菜服務系統中停留時間過長，超過顧客的等待忍耐時間，顧客通常會退掉所點的飲品，這對于我們來說已是最樂觀的情況。按照平均一桌飲料的價值45元來說，可得:T0=45/60元/分鐘。

而在悲觀的情況下，熟食在傳菜服務系統中停留時間過長，顧客等待不耐煩，會向經理反映，同時會影響到顧客下次來必勝客歡樂餐廳就餐的信心。因此，為了挽救我們要采取相應的措施，如給客人打5折，按在必勝客歡樂餐廳每桌消費的平均值來數為200元，在此，我們可得悲觀情形下的損失值:Tp=200*(1-0.5)/60=100/60元/分鐘。另根據必勝客店里的情況，可確定損失的大概值為:Tm=80/60元/分鐘。所以:cw=E=465/(6*60)元/分鐘。

(2)由(1)部分可知:c′s /cw=0.0903。

(3)已知對于該系統:Ls=Lq+cρ=p0+cρ;其中，p0=+-1。其次，已知系統中:λ=2.1944，v=2.3077，λ/v=0.9509;并令服務臺及傳菜的服務員人數依次為1、2、3、4、5。如表4中指標的運算，計算過程如下:

表5 不同c下的熟食期望值的求解

①將值代入公式3.2得表:

表6最優解的確定

可見，c′s /cw=0.0903落在區間(0.0903～0.2404)內，∴c*=3;即以3個傳菜服務員使總費用最小，直接代如公式(3.1)也可驗證:z(c*)=z(3)=1.6264(元);因此:c的最優解為3。

(二)對計算結果的分析

對符合M/M/C模型的傳菜服務系統最優的傳菜服務員人數的進行研究，必須在系統穩態的情形下，因此我們只計算了服務強度ρ<1的情形;如果服務強度ρ>1，系統不穩定，肯定會有越來越多的熟食排隊等待。

通過對傳菜服務員人數C建立關于總費用的目標函數z(c)進行分析求解。因為服務員的人數必然為非負的整數，因此是一個離散的變量，所以通過邊際分析法來分析，通過對傳菜服務系統的分析和計算，可得C的最優解為3，且此時系統單位時間內的總費用最低。

因此，在沒有其他條件的情況下，平時(周末、節假日除外)該家必勝客歡樂餐廳要實現傳菜服務系統的最優化，總費用最低，其管理層應適時的調整傳菜服務人員的配備，用M/M/3系統，即在吧臺配備三位服務人員，作為其傳菜服務系統的最優值。

參考文獻:

[1]范文字，苑輝.基于排隊論的銀行排隊問題研究[J].湘潭師范學院學報，2006，(1):27-30.

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[4]顧凱平，郝建華，高孟宇.系統工程學導論[M].北京:北京林業大學出版社，1997:56-63.