連續控制系統的計算機輔助設計

一、連續控制系統計算機輔助設計的概述

控制系統的設計有兩種方法:古典控制理論設計方法和現代控制理論設計方法。MATLAB對兩種方法都提供了相應的支持，并且可以方便的相互轉換。對于一個實際的系統，我們可以設計許多不同的模型。本篇論文主要研究論述連續控制系統的相關問題。連續控制系統的分析與設計關鍵在于如何建立數學模型 。

1、控制系統的時域模型

其中，y和u分別為系統的輸入與輸出，ai與bi分別表示輸入和輸出各導數項系數。

2、系統的傳遞函數模型:

傳遞函數是經典控制理論描述系統數學模型的一種方法，它表達了系統輸入量和輸出量之間的關系。它只和系統本身的結構、特性和參數有關，而與輸入量的變化無關。

對于一個SISO連續系統，連續系統的傳遞函數為:

3、控制系統模型的建立

如果要分析一個系統，首先需要建立系統模型。

parallel()函數是系統的并聯連接。此函數按并聯方式連接兩個狀態空間系統，適合連續時間系統和離散時間系統。serise()函數的功能是系統的串聯連接。feedback()函數的功能是把兩個系統的反饋連接。

4、控制系統的模型轉換

MATLAB為我們提供了十分簡單的模型轉換方式。函數tf，zpk，ss不僅用于系統模型的建立，也可用于模型形式之間的轉換。

二、連續控制系統計算機輔助設計的編程

1、連續控制系統的時域分析

線性系統的時域分析是主要分析系統在給定的典型輸入信號作用下，在時域的暫態和穩態響應，以及系統的穩定性。在對控制系統進行時域分析時，通常使輸入信號為單位階躍函數或單位脈沖函數，由此求得系統的輸出響應即控制系統的單位階躍響應(step)和單位脈沖響應(impulse)。

1.1 MATLAB中使用initial命令來計算和顯示連續系統的零輸入響應。

[y，x，t]=initial(a，b，c，d，x0)

1.2 連續控制系統的單位脈沖響應函數為impulse，使用方法與step函數類似，

1.3 單位階躍響應函數調用方式:[y，x，t]=step(a，b，c，d)

step函數用于在MATLAB環境下求取連續控制系統的單位階躍響應。

1.4 連續控制系統對任意輸入的響應用lsim命令來實現。

lsim(sys，u，t)lsim(sys1，sys2，..，u，t)

2、閉環系統的阻尼系數和固有頻率

damp命令用來計算閉環系統所有共軛極點的阻尼系數和固有頻率。

連續控制系統的頻域分析

系統的時域分析是分析系統的直接方法，比較直觀，但離開計算機仿真，分析高階系統是困難的。

2.1頻率響應和頻率特性

根據微分方程解的理論，系統的穩態輸出仍然為與輸入信號同頻率的正弦信號，只是其幅值和相位發生了變化。輸出幅值正比于輸入的幅值Xi，而且是輸入正弦頻率ω的函數。輸出的相位與Xi無關，只與輸入信號產生一個相位差 而且也是輸入信號φ的函數。即線性系統的穩態輸出是:

頻率特性是傳遞函數的一種特殊形式。任何線性連續時間系統的頻率特性都可以由系統傳遞函數中的s以jω代替而求的。頻率特性圖示法

在經典控制論中，常用圖示法來描述系統的頻率特性，他們是:

(1) 幅相頻特性-----Nyquist圖，ω由0→表示極坐標上的G(jω)的幅值和相角的的關系。

(2) 對數幅相特性-Bode圖有兩個圖組成:對數幅頻特性圖和對數相頻設計圖。

(3) 對數幅相特性---Nichols圖，它是以ω為參變量來表示對數幅值和相角MATLAB工具箱中的函數可以輕松實現繪制。

2.2控制系統Bode圖的繪制

Bode圖，即對數頻率特性通過兩張圖——幅頻特性圖及相頻特性圖來表達頻率響應，其中幅頻特性圖的縱坐標是幅頻特性的的對數20log，單位是分貝(dB)，采用線性分度;橫坐標采用對數分度的角頻率ω。相頻特性圖的縱坐標以度為單位的頻率響應的相移，采用線性分度;橫坐標與幅頻特性圖中的橫坐標相同。

函數BODE可用于任意LTI系統，即單輸入單輸出(SISO)系統，多輸入多輸出(MIMO)系統，連續時間系統，離散時間系統。本節就連續時間系統進行分析。

用函數BODE繪制系統的Bode圖時，頻率范圍將根據系統零極點自動確定。

Bode(sys，ω) 是根據給定的頻率范圍ω繪制系統sys的頻率特性曲線。

Bode(sys1 ，…，sysN，ω)用于在給定的頻率范圍ω繪制多個系統頻率特性曲線。

2.3控制系統Nyquist圖的繪制

Nyquist的軌跡即為頻率特性。

頻率特性G(jω)是頻率ω的復變函數，可以在復平面上用一個矢量來表示。該矢量的幅值A(ω)=|G(jω)|，相角=。當頻率ω從0變化時，G(jω)通過其幅頻特性及相頻特性表示在極坐標中的圖形，稱為Nyquist圖。

Nyquist(sys);Nyquist(sys，ω);

MATLAB中，頻率范圍ω可由兩個函數給定:logspace(ω1，ω2，N)產生頻率在 ω1和ω2之間N個對數分布頻率點;linspace(ω1，ω2，N)產生頻率在ω1和ω2之間N個線性分布的頻率點;N可以缺省。

2.4控制系統Nichols圖的繪制

Nichols圖，即對數幅相圖采用直角坐標系，其中取幅頻特性|G(jω)|的對數20log|G(jω)|為縱坐標，單位為dB，線性分度;取相頻特性 做橫坐標，單位為度，線性分度。

Nichols(sys) Nichols(sys， ω)

函數nichols(sys)用于計算LTI系統的頻率響應并繪制Nichols圖，分析系統的開環和閉環特性。

幅值裕度和相角裕度

在頻域分析中，幅值裕度和相角裕度是反映系統的性能指標。MATLAB提供了得出幅值裕度和相角裕度的命令margin。

margin(G) [Gm，Pm，Wcg，Wcp]=margin(G)

2.5 連續控制系統的根軌跡設計

經典控制系統經常用傳遞函數來描述，系統設計往往借助于系統頻率特性，根軌跡法是最常用的方法。本節將就連續控制系統的根軌跡方程，根軌跡圖的繪制以及根軌跡在MATALAB中的實現來分析連續控制系統的根軌跡設計。

2.5.1根軌跡方程

控制系統的動態特性和穩定性都是由閉環極點來決定的。因此在分析系統時，需要確定閉環極點在S平面上的分布，而在設計系統時，則希望按性能指標要求將系統閉環極點設置在S平面的期望位置上。

根軌跡的一般定義是:當系統中某參數(通常指開環增益)由0時，系統閉環極點在S平面上運動的軌跡。

滿足根軌跡方程的所有s值必然都是系統可能的閉環極點;對于每一個閉環極點，系統都有相應的增益值。

2.5.2 根軌跡圖的繪制

根軌跡圖描述了當系統開環增益K由0變化時，閉環特征根在S平面上移動的軌跡。用人工逐點繪制，方法繁雜不適用。往往根據根軌跡的一些性質、規則和特殊點進行繪制。繪制根軌跡時，往往先要確定開環的極點和零點，并在S平面上分別用 和o表示。根軌跡起始于開環極點，終止與開環零點。如果開環零點數m小于開環極點數n，則有(n-m)條軌跡終止于無窮遠。根軌跡對稱于實軸、分支數等于閉環極點數。