通過分數學分式

數學是以數量關系和空間形式為主要形式和研究對象的科學，數量關系和空間形式是從現實世界中抽象出來的，這樣的抽象是一個逐步深入的過程，人們首先從計算具體物體個數的活動中抽象出整數概念，又從把一個具體事物分為若干份的活動中抽象出分數的概念，這是一種從實物到數的抽象，人們在研究整數和分數的過程中，為了更好的反映一般規律，又抽象出整式和分式的概念，這是一種數到式的抽象。

“從具體到抽象，從特殊到一般”是人們認識事物經常經歷的過程，所以，我們在教學過程中，應該充分利用學生對分數已有的認識基礎，發揮這樣的認識基礎的作用，通過分式和分數的類比，從具體到抽象、從特殊到一般的認識分式，解決有關分式的習題，這樣有助于理解和記憶所學的分時段內容。同時，這樣的學習過程對于培養良好的學習方法也會起到引導作用。

那么我們先一起探討一下分式和分數之間究竟存在怎樣的關系吧!

分式的定義:如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。在這個定義中，需要特別注意定義中隱含的幾點:①分式是兩個整式相除的分式，其中分子為被除式，分母為除式，分數線起除號的作用;②分式的分母中必須含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，這是區別整式的重要依據。在這個概念中，如果A，B都是整數，那么就成了我們熟悉的分數了。既然分數和分式在形式上如此相像，那么他們是不是也具有很多共同的性質呢?我們是不是可以通過對分數的性質的掌握來理解分式的一些性質呢?

一、為什么分式需要判斷何時有意義?

在任何情況下，分式的分母的值都不可以為0，否則分式無意義。這里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一個字母來說的。也就是說，分式的分母不為零是隱含在此分式中而無須注明的條件。這個條件其實我們在學習分數的時候就知道，0不能當分母，所以，我們就很好理解為什么必須會判斷一個分式何時有意義。

相關習題:

當x取什么值時，下列分式有意義?

(1)(2) (3)

解:(1)當3x-5≠0，即x≠時，分式有意義。

(2)當|x|-1≠0時，即x≠±1時，分式有意義。

(3)因為無論x取什么值，x2+2>0，所以無論x取任何實數，分式都有意義。

二、會解決當x為何值時，分式值為0.

根據以前學習的分數的知識，=0，=0，=0，所以學生很容易得到:讓一個分式的分子為0，這個分式的值為0的結論。但是，在學習分數的時候，我們就知道0是不能當分母的，也就是是沒有意義的。用除法也很好解釋:0除以任何一個不為0的數，商為0。在這里，也強調了分母(或者除數)不能為0.所以，讓一個分式值為0的正確結論是:分子為0但是分母不為0。相關習題:

當x取何值時，下列分式值為0?

(1) (2) (3)

解:(1)由x+2=0，2x-3≠0，得x=-2.所以，當x=-2時，分式值為0.

(2)由|x|-2=0，x+2≠0，得x=2.所以，當x=2時，分式值為0.

(3)由x-3=0，x-9≠0，得到無論x取何值分式的值都不可能為0，所以沒有使分式值為0的x的值。

三、會解決一個分式何時值為正，何時值為負?

在前面分數的學習中，我們知道分數線起除號的作用，利用除法法則，兩數相除，同號得正異號得負，從而在分式的題中，我們通過這個法則，可以很容易解決這類型的題。如:

(1)當x 時，分式的值為正?

(2)當x 時，分式的值為負?

(3)當x 時，分式的值為正?

解:(1)根據實數運算法則，同號相除得正，而分子1是正數，可知x+2是正數，所以 x+2>0，x>-2.

(2)因為x2+1>0，根據實數運算法則，異號兩數相除得負，可知1-x<0，所以x>1.

(3)在這個題目中，無論是分式的分子還是分母我們都無法判斷是正還是負，但是根據實數運算法則，我們可以借助于不等式組，來解決這道題:當分子是正的時候，分母也是正的;當分子是負的時候分母也是負的。于是得到:

x-1>0 x+2>0或者x-1<0 x+2<0，解得:x>1時或者x<-2時分式值為正。

綜上可知，分式的學習與分數之間的學習存在著很密切的關系，他們之間是具體與抽象，特殊與一般之間的關系。我們通過他們之間的類比，可以很好很輕松的學好分式的有關知識。當然學習分式后，我們還可以解決大量的實際生活中的問題，讓學生可以感受到學習數學是貼近實際，貼近生活的。