掌握七種題型 輕松求解最值

〔關鍵詞〕 數學教學；三角函數；類型；最值；求解

〔中圖分類號〕 G633.6

〔文獻標識碼〕 Ｃ

〔文章編號〕 1004—0463(2011)01（B）—0079—02

三角函數的最值問題是高考命題中的一個重要知識點，它在高考題中出現的形式多種多樣，一般和其他知識點相結合.這里筆者將三角函數的最值問題分為7種類型，現介紹如下.

題型一：求形如f（x）=Asinx+Bcosx+C的函數的最值.

這種題型利用正弦、余弦函數的有界性進行求解.

f(x)=Asinx+Bcosx+C=■sin（x+?漬）+C，

其中tan?漬=■，?漬=arctan■，則f(x)max=■+C，此時，x=2k?仔+■-?漬，k?綴Z；f(x)min=-■+C，此時，x=2k?仔+■-?漬，k?綴Z.

例1 已知f(x)=■sinx+3cosx+2，求f(x)的值域.

解：∵f（x）=■sinx+3cosx+2，

∴f（x）=2■sin（x+ ■），

∵-1≤sin(x+■)≤1，

∴-2■≤2■sin（x+■）≤2■，

∴-2■≤f(x) ≤2■，

∴f（x）?綴[-2■，2■].

題型二：求形如f（x）=Asin2x+Bsinx+Ｃ的函數的最值.

利用換元法，設u=sinx，通過x的范圍確定u 的范圍，然后把三角函數轉化為關于u的一元二次函數之后，在u的范圍內求f(u)=Au2+Bu+C的范圍.

例2已知f(x)=cos2x+sinx，x?綴- ■， ■，求f(x)的值域.

解：設u=sinx，x?綴- ■， ■，

∴-■≤sinx≤■，即-■≤u≤■，

由f(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1 得，

f(u)=-u2+u+1，（-■≤u≤■）

由下圖知： ■f（－■）≤f（u）≤ f（■）=■.

∴f(x)∈■，■.

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題型三：求形如f（x)=a（sinx+cosx)+bsinxcosx +c或 f（x)=a（sinx-cosx)+bsinxcosx +c的函數的最值.

首先，設u=sinx+cosx或u=sinx－cosx得，u?綴 [-■，■]，

∵u2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx

或u2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx，

∴sinxcosx=■或sinxcosx=■，

∴f（u)=■u2+au+c-■或 f（u)=-■u2+au+c+■，

u?綴[-■，■].

然后，若題目條件中給出自變量x的取值范圍，那么根據x的取值范圍，求出u的范圍.最后，求f（u)在u的范圍內的最值.

例3 求函數f（x)=sinxcosx+sinx+cosx的最值.

解：設u=sinx+cosx，u∈[-■，■]，

則f（u)=■u2+u-■，

即求f（u)=■u2+u-■在[-■，■]上的最值.

ymax=f（■)=■＋■，ymin f（-1)=-1.

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題型四：求形如f（x)=asin2x+bsinxcosx+ccos2x的函數的最值.

首先利用降冪公式cos2x=■或sin2x=■化為關于2x的三角函數，再根據題型一求最值.

例4 求函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=■+sin2x+■=sin2x+cos2x+2

=■sin（2x+■) +2，∴y∈[2-■ ，2+■].

題型五：求形如y=f［g（x)］的函數的最值.

首先稱u=g（x)為內函數，y=f（u)為外函數，可以先討論清楚內函數u=g（x)的取值范圍，再討論外函數y=f（u)的取值范圍.

例5 求函數y=log2（1+sinx)+log2（1-sinx)，當

x∈ （- ■ ，■]時的值域.

解：y=log2（1+sinx)+log2（1-sinx)

=log2（1+sinx)（1-sinx)=log2（1-sin2x)=log2cos2x，

設u=cos2x，∵x∈ （- ■ ，■]， ∴u∈[■，1].

∴y=log2u∈ [-1，0]，

∴原函數的值域為[-1，0].

題型六：求形如y=Asinxcos2x或y=Asin2xcosx，A>0的函數的最值.

例６求y=Asinxcos2x的值域.

解：這里首先要保證y>0，則給出的x的取值范圍要保證sinx>0或cosx>0，先把y=Asinxcos2x兩邊平方得：

y2=A2sin2xcos2xcos2x=■A22sin2xcos2xcos2x，

∵■≥■，

∴2sin2xcos2xcos2x≤■，∴ y2≤■A2■=■，

∴y ≤■A.

題型七：求形如y=■的函數的最值.

把y=■看成動點P（sinx，cosx)與定點M（a，b)兩點連線的斜率的最值問題.令X=sinx，Y=cosx，由于X2+Y2=1，故動點P（sinx，cosx)在單位圓上.

例7求y=■的值域.

解：把y=■看成動點P（sinx，cosx)與定點A（2，2)兩點連線的斜率的最值問題（如下圖）.令X=sinx，Y=cosx，由于X2+Y2=1，

∴動點P（sinx，cosx)在單位圓上.

設過點A（2，2)的圓的切線方程為y－2=k(x-2)，即kx-y+2-2k=0，圓心O到切線的距離d=■≤r，∵r=1，

∴■≤ 1 ，

解得■≤ k≤■ ，

故原函數的值域是[■，■] .

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?笙 編輯：謝穎麗