基于具有不確定性隨機擴散模型的動態(tài)資產(chǎn)組合選擇

摘 要：假設(shè)資產(chǎn)收益服從隨機擴散過程，運用隨機控制方法獲得動態(tài)資產(chǎn)組合的封閉解，并以上證綜指為樣本，實證研究模型參數(shù)不確定性與動態(tài)資產(chǎn)組合的關(guān)系。結(jié)果表明，模型參數(shù)不確定性導(dǎo)致資產(chǎn)組合存在對沖需求，并與風(fēng)險規(guī)避程度、投資期、信息量有關(guān)；與獨立的正態(tài)過程相比，模型參數(shù)不確定性效應(yīng)可提升一階自回歸過程下動態(tài)資產(chǎn)組合的穩(wěn)健性；動態(tài)資產(chǎn)組合問題只有在其投資期末才等價于靜態(tài)資產(chǎn)組合問題。

關(guān)鍵詞：動態(tài)資產(chǎn)組合；模型不確定性；隨機控制；貝葉斯分析

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5192(2011)02-0062-04

Dynamic Portfolio Selection Based on the Stochastic Diffusion Model with Uncertainty HE Chao-lin1， MENG Wei-dong2

(1.School of Management Engineering， Anhui Polytechnic University， Wuhu 241000， China; 2.College of Economics and Business Administration， Chongqing University， Chongqing 400044， China)

Abstract:Assuming that asset return follows stochastic diffusion process， this paper uses method of stochastic control to obtain the closed-form solution of dynamic portfolio， and studies the relation between model parameters’ uncertainty and dynamic portfolio based on the sample of Shanghai Exchange Composite Index. Results show， model parameters’ uncertainty results in the hedging demand of portfolio， which is related with the degree of risk aversion， investment horizon， and the quantity of information; comparing with the identical normal process， it can enhance the robustness of dynamic portfolio under one-order autoregressive process; the problem of dynamic portfolio equals to that of static portfolio only at the end of investment horizon.

Key words:dynamic portfolio; model uncertainty; stochastic control; Bayesian analysis

1 引言

模型不確定性問題是社會經(jīng)濟系統(tǒng)中模型的基本特征，尤其在一個新興的市場上，更是一個普遍存在的現(xiàn)象。在動態(tài)資產(chǎn)組合選擇過程中，模型不確定性主要表現(xiàn)為模型參數(shù)不確定和模型變結(jié)構(gòu)兩個方面。Kandel等是最早強調(diào)模型中參數(shù)不確定性在資產(chǎn)組合選擇過程中的重要性［1］。Brennan和Barberis研究期望收益的不確定性對動態(tài)資產(chǎn)組合選擇的影響，指出投資者的學(xué)習(xí)行為導(dǎo)致其不斷調(diào)整對期望收益的估計［2，3］。Chow等在資產(chǎn)收益模型中引入隨機成分刻畫收益過程的不確定性，采用最大—最小化方法研究最優(yōu)消費和動態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題，解釋了風(fēng)險溢價和消費敏感性之謎［4］。Uppal等假設(shè)投資者具有同質(zhì)穩(wěn)健性，研究規(guī)避模型不確定性下的多資產(chǎn)動態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題［5］。Maenhout引入穩(wěn)健性偏好，通過最小化相對熵研究模型不確定下的穩(wěn)健動態(tài)資產(chǎn)組合選擇［6］。Brandt等用向量自回歸模型描述資產(chǎn)收益過程，通過展開價值函數(shù)，采用路徑模擬和交叉回歸的方法估計模型參數(shù)，研究其不確定性與動態(tài)資產(chǎn)組合選擇的關(guān)系［7］。朱微亮等假設(shè)資產(chǎn)收益服從隨機擴散跳躍過程，從不確定性規(guī)避角度研究模型不確定性下動態(tài)資產(chǎn)組合選擇的穩(wěn)健性［8］。孟衛(wèi)東等假設(shè)資產(chǎn)收益服從獨立的正態(tài)過程，運用貝葉斯分析法研究模型中期望收益和方差不確定下的動態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題［9］。楊朝軍等研究資產(chǎn)收益預(yù)測性分布具有不確定性下的最優(yōu)資產(chǎn)組合問題，指出忽略參數(shù)不確定性導(dǎo)致投資者在資產(chǎn)組合中配置過多風(fēng)險資產(chǎn)［10］。李仲飛等運用相對熵控制模型不確定性程度，借助穩(wěn)健控制方法研究資產(chǎn)收益預(yù)測分布的不確定性對靜態(tài)資產(chǎn)組合的影響，并拓展到動態(tài)情境下，指出模型不確定的跨期作用和對當期資產(chǎn)配置的影響［11］。何朝林等運用最大—最小化方法研究模型不確定性對動態(tài)資產(chǎn)組合選擇的影響，指出投資者的動態(tài)投資決策不僅與其風(fēng)險規(guī)避程度有關(guān)，還與模型不確定性有關(guān)［12］。

諸如上述的研究基本采用比較靜態(tài)分析法，同時缺乏對比性。本文側(cè)重于從實證的角度，采用比較靜態(tài)和比較動態(tài)分析法，在不同信息量、不同資產(chǎn)收益過程下，對比研究模型中參數(shù)不確定性對動態(tài)資產(chǎn)組合選擇的影響。與已有研究的不同是：（1）假設(shè)資產(chǎn)收益生成遵循一階自回歸過程，將收益過程的可預(yù)測性引入動態(tài)投資決策過程，并與獨立同分布的正態(tài)過程對比。（2）在傳統(tǒng)比較靜態(tài)分析法的基礎(chǔ)上，嘗試采用比較動態(tài)分析法研究問題。

2 資產(chǎn)組合模型及求解

設(shè)投資的終期時刻為T，T>0，終期前任一時刻記為t，t∈［0，T］，資產(chǎn)組合為兩種資產(chǎn)，一種為無風(fēng)險資產(chǎn)，其收益固定，設(shè)為r；另一種為風(fēng)險資產(chǎn)，其收益服從隨機擴散過程（投資期內(nèi)無紅利支付或紅利再投資）。其價格P0(t)和Ps(t)用微分方程分別表示為

dP0(t)/P0(t)=rdt

dPs(t)/Ps(t)=u(t)dt+σtdZ(t)（1）

其中u(t)為瞬時期望收益，σt>0，σ2t為收益的瞬時方差，dZ(t)為標準布朗運動。u(t)，σ2t為隨機擴散模型中的兩個參數(shù)。參照Liptser等［13］，瞬時期望收益的變化可表示為

du(t)=vt/σ2t(dPs(t)/Ps(t)-u(t)dt)（2）

其中vt>0，為瞬時期望收益的方差。

設(shè)t時刻投資者將財富W(t)投資于風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的比例為w(t)和1-w(t)。假設(shè)市場無交易摩擦，由(1)式整理得自融資下資產(chǎn)組合財富的運動過程為

dW(t)=［r+w(t)(u(t)-r)］W(t)dt+w(t)W(t)σtdZ(t)（3）

設(shè)投資者的偏好結(jié)構(gòu)為冪效用函數(shù)，則其資產(chǎn)組合選擇的優(yōu)化模型可表示為

max E0［W(T)1-γ/(1-γ)］（4）

約束條件為(2)、(3)式及初始財富W(0)=W0>0。γ>0且γ≠1為風(fēng)險規(guī)避系數(shù)。

引入t時刻的價值函數(shù)J(W(t)，u(t)，t)，運用隨機控制方法，其必須滿足HJB方程

maxw(t)Jt+JWW(t)［r+w(t)(u(t)-r)］+

0.5JWWw2(t)W2(t)σ2t+

0.5Juuv2tσ2t+JWuw(t)W(t)vt=0（5）J#8226;表示J（W(t)，u(t)，t）對相應(yīng)的下標求偏導(dǎo)數(shù)。設(shè)價值函數(shù)解的形式為

J(W(t)，u(t)，t)=W(t)1-γφ(u(t)，t)/(1-γ)

其中φ(u(t)，t)=eK1(t)+K2(t)u(t)+12K3(t)u2(t)。參照孟衛(wèi)東等的求解過程［9］，解得價值函數(shù)，代入(5)式，由一階條件獲得模型的最優(yōu)解

w*(t)=u(t)-rγσ2t+vtγσ2t(K2(t)+K3(t)u(t))（6）

當γ>1時，令：η=q，τ=T-t，τ為投資期。

K3(t)=2a(1-exp(-ητ))2η-(b+η)(1-exp(ητ))

K2(t)=-2ar(1-exp(-ητ))2η-(b+η)(1-exp(-ητ))

當0<γ<1時，令：η=-q，τ為投資期。

K3(t)=12cηtan12ητ+tan-1bη-b

K2(t)=r2c-ηtan12ητ+tan-1bη+b

其中a=(1-γ)γσ2t，b=2(1-γ)vtγσ2t，c=v2tγσ2t，d=-r(1-γ)vtγσ2t，q=b2-4ac。

若描述資產(chǎn)收益過程的隨機擴散模型是確定的，模型參數(shù)u(t)，σ2t確定，vt=0，風(fēng)險資產(chǎn)比例在相應(yīng)風(fēng)險規(guī)避程度下是固定的，記為w*LM，w*LM=(u(t)-r)/γσ2t，稱其為動態(tài)短視（Myopic）行為；反之，模型參數(shù)u(t)，σ2t具有不確定性，vt≠0，風(fēng)險資產(chǎn)比例在相應(yīng)風(fēng)險規(guī)避程度下是變化的，記為w*LO，w*LO=w*(t)，稱其為動態(tài)優(yōu)化行為。

3 比較靜態(tài)分析下的實證研究

3.1 研究樣本的選取

以上證綜指為風(fēng)險資產(chǎn)，為與孟衛(wèi)東等［9］的實證結(jié)果對比，本文與其選取相同的研究樣本：上證綜指1991年1月~2006年3月共183個連續(xù)復(fù)合月收益序列，簡稱樣本1；上證綜指1996年1月~2006年3月共123個連續(xù)復(fù)合月收益序列，簡稱樣本2。無風(fēng)險資產(chǎn)取2005年憑證式（一期）國債，其持滿5年以上的年利率為3.81%，故r=0.0093。

3.2 模型參數(shù)的估計

假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)合月收益序列遵循一階自回歸過程

Yt=Xtθ+Et（7）

Yt=(r1 … rt)′， Xt=1…1r0…rt-1′

θ=(a0 b0)′， Et=(ε1 … εt)′

θ，σ2未知，假設(shè)其先驗分布為

σ2~IG(α0，β0)， θ|σ2~N(θ0，σ2Π-10)

其中α0，β0為正數(shù)，θ0∈R2，Π0為對稱正定矩陣。由于是非信息先驗，假定，α0=1/β0=0.0001，θ0=(0，0)，Π0=0.0001I，I為2×2型單位矩陣。

基于t時刻的時間序列數(shù)據(jù)Dt，Dt=(r1，r2，…，rt)。參數(shù)θ，σ2的后驗分布為

σ2|Dt~IG(t，t)，θ|σ2，Dt~N(t，σ2Π

~-1t)（8）

t=α0+0.5t

-1t=β-10+0.5t2t+0.5(θ^t-θ0)′#8226;

(Π-10+(X′tXt)-1)-1(θ^t-θ0)

t=Π~

-1t(Π0θ0+(X′tXt)θ^t)

Π~t=Π0+X′tXt

θ^t=(X′tXt)-1X′tYt，2t＝t-1Y′tYt-(X′tYt)′(X′tXt)-1(X′tYt)

由（7）式和（8）式，運用Matlab軟件隨機模擬產(chǎn)生若干θ，σ2，獲得參數(shù)的估計值，并轉(zhuǎn)化為季度估計值為：基于樣本1，u(t)的均值和方差分別為0.0218，0.00017，σ2t的均值為0.0312；基于樣本2，u(t)的均值和方差分別為0.0184，0.00014，σ2t的均值為0.0156。

3.3 實證結(jié)果與分析

基于參數(shù)估計值，由最優(yōu)解(6)式獲得一階自回歸過程下的實證結(jié)果，見表1。γ為風(fēng)險規(guī)避程度，分別代表不同風(fēng)險特征的投資者；τ指投資期為多少季度；w*LO，w*LM，Δ＝

w*LM-w*LO分別表示動態(tài)優(yōu)化行為、動態(tài)短視行為、模型參數(shù)不確定性效應(yīng)。

（1）表1中的Δ值表明，模型參數(shù)不確定性導(dǎo)致資產(chǎn)組合存在正或負的對沖需求，取決于投資者對待風(fēng)險的態(tài)度。當γ>1時，投資者對風(fēng)險的敏感性強于財富增加，參數(shù)不確定性使其擔(dān)心風(fēng)險資產(chǎn)未來不利投資機會的出現(xiàn)會降低或惡化資產(chǎn)組合財富，因而通過降低風(fēng)險資產(chǎn)投資，增加無風(fēng)險資產(chǎn)投資達到對資產(chǎn)組合財富的套期保值，資產(chǎn)組合表現(xiàn)為負的對沖需求；當γ<1時，投資者對財富增加的敏感性強于風(fēng)險，參數(shù)不確定性使其認為風(fēng)險資產(chǎn)未來好的投資機會的出現(xiàn)會提高其資產(chǎn)組合財富，因而通過增加風(fēng)險資產(chǎn)投資、減少無風(fēng)險資產(chǎn)投資，實現(xiàn)資產(chǎn)組合財富進一步增加，資產(chǎn)組合表現(xiàn)為正的對沖需求。

（2）對比表1中不同投資期下的Δ值，投資期越長，模型參數(shù)不確定性效應(yīng)越明顯。γ>1的投資者，投資期越長，風(fēng)險資產(chǎn)未來不利投資機會出現(xiàn)的可能性越大，故其進一步減少風(fēng)險資產(chǎn)投資；γ<1的投資者，投資期越長，風(fēng)險資產(chǎn)未來好的投資機會出現(xiàn)的可能性越大，故其進一步增加風(fēng)險資產(chǎn)投資。對比表1中基于樣本1和樣本2的Δ值，信息量越少，模型參數(shù)不確定性效應(yīng)越明顯。因為樣本2包含資產(chǎn)價格的信息量相對較少，模型參數(shù)估計的不確定性就越明顯；這同時也說明，隨著決策時點的推移，證券市場將提供更多資產(chǎn)價格信息，投資者應(yīng)該考慮模型參數(shù)不確定性問題，這在新興的證券市場上更是如此。

（3）與獨立的正態(tài)過程相比，模型參數(shù)不確定性效應(yīng)可提升一階自回歸過程下動態(tài)資產(chǎn)組合的穩(wěn)健性。表1和孟衛(wèi)東等［9］表3中相應(yīng)的w*LM和w*LO表明，收益生成遵循一階自回歸過程時，無論動態(tài)短視還是動態(tài)優(yōu)化行為，投資者在資產(chǎn)組合中皆增加風(fēng)險資產(chǎn)，因為一階自回歸模型中的斜率為正，表明收益之間存在正相關(guān)，這種正相關(guān)性導(dǎo)致投資者提高對未來資產(chǎn)收益的估計，因而增加風(fēng)險資產(chǎn)投資。同時，表1和孟衛(wèi)東等［9］表3中相應(yīng)的Δ值也表明，當γ>1時，模型參數(shù)不確定性導(dǎo)致在資產(chǎn)組合中更多地減少風(fēng)險資產(chǎn)，當γ<1時，則更少地增加風(fēng)險資產(chǎn)，結(jié)果使得一階自回歸過程下資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)的比重下降，從而資產(chǎn)組合在未來抵抗風(fēng)險的能力增強，免疫功能提升，資產(chǎn)組合表現(xiàn)得更加穩(wěn)健。

4 比較動態(tài)分析下的實證研究

4.1 研究樣本的選取

假定終止時刻為2007年1月初，選取上證綜指1991年1月~2006年12月共192個月收益序列為總研究樣本，投資者在2001年1月初進入市場，基于其中1991年1月~2000年12月共120個月收益序列樣本制定投資期為24個季度的投資決策；接著投資者在2001年4月初基于其中1991年1月~2001年3月共123個月收益序列樣本制定投資期為23個季度的投資決策；以此類推，直至決策終止時刻2007年1月初，投資期為0。無風(fēng)險資產(chǎn)同上。

4.2 實證結(jié)果與分析

按上述參數(shù)估計過程，運用Matlab軟件分別重復(fù)模擬，獲得u(t)，σ2t的估計值，并轉(zhuǎn)化為季度值。取γ=5，由最優(yōu)解(6)式獲得風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)配置的演變過程，結(jié)果見圖1。

圖1顯示除了在投資期的終止時刻，模型參數(shù)不確定性導(dǎo)致動態(tài)優(yōu)化行為下的資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)配置（圖中實線所示）皆低于動態(tài)短視行為下的風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)配置（圖中虛線所示），因為此時投資者的風(fēng)險規(guī)避程度大于1。兩種投資行為的差異（如圖中點劃線所示）隨著投資期的縮短逐漸變小，在終止時刻，兩種行為的決策相同，因此可以說，只有在投資期末，動態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題才等價于靜態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題。

5 結(jié)束語

本文從實證角度，采用比較靜態(tài)和比較動態(tài)分析法，基于效用模型，運用隨機控制方法，借助貝葉斯分析法研究了隨機擴散模型中參數(shù)不確定性對動態(tài)資產(chǎn)組合選擇的影響。研究表明，模型中參數(shù)的不確定性問題客觀存在，動態(tài)投資決策過程中必須予以考慮；對于冪效用特征的投資者，模型參數(shù)不確定性導(dǎo)致其減少或增加風(fēng)險資產(chǎn)投資，這取決于其風(fēng)險規(guī)避的特征；投資期越長、信息量越少，模型參數(shù)不確定性效應(yīng)越明顯；與獨立的正態(tài)過程相比，模型參數(shù)不確定性效應(yīng)可使一階自回歸過程下的動態(tài)資產(chǎn)組合表現(xiàn)得更加穩(wěn)健；動態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題只有在決策終止時刻才等價于靜態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題。

參 考 文 獻：

［1］Kandel S， Stambaugh R. On the predictability of stock returns: an asset-allocation perspective［J］. Journal of Finance， 1996， 51(2): 385-424.

［2］Brennan M J. The role of learning in dynamic portfolio decisions［J］. European Finance Review， 1998， 1: 295-306.

［3］Barberis N. Investing for the long run when returns are predictable［J］. Journal of Finance， 2000， 55(1): 225-264.

［4］Chow G C， Zheng L H. Equity premium and consumption sensitivity when the consumer-investor allows for unfavorable circumstances［J］. Journal of Economic Dynamic and Control， 2002， 26: 1417-1429.

［5］Uppal R， Wang T. Model misspecification and under-diversification［J］. Journal of Finance， 2003， 58(6): 2465-2486.

［6］Maenhout P J. Robust portfolio and asset pricing［J］. Review of Financial Studies， 2004， 17(4): 951-983.

［7］Brandt M W， Amit G， Pedro S C， et al.. A simulation approach to dynamic portfolio choice with an application to learning about return predictability［J］. Review of Financial Studies， 2005， 18(3): 831-873.

［8］朱微亮，劉海龍.穩(wěn)健的動態(tài)資產(chǎn)組合模型研究［J］.中國管理科學(xué)，2007，15(3):19-24.

［9］孟衛(wèi)東，何朝林.基于學(xué)習(xí)行為的動態(tài)資產(chǎn)組合選擇［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2007，27(9):38-46.

［10］楊朝軍，陳浩武.參數(shù)不確定性對投資者最優(yōu)資產(chǎn)組合的影響：基于中國的實證［J］.中國管理科學(xué)，2008，16(3):37-43.

［11］李仲飛，高金窯.模型不確定下的最優(yōu)資產(chǎn)配置［J］.中山大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2008，48(4):184-193.

［12］何朝林，孟衛(wèi)東.不確定性規(guī)避下的動態(tài)資產(chǎn)組合選擇［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2009，24(2):150-155.

［13］Liptser R， Shirayayev A. Statistics of random process［M］. New York: Spinger-Verlag， 1978. 101-103.