基于相空間重構技術的金融系統混沌識別

摘 要 借助工程技術領域內識別非線性系統混沌現象的相空間重構技術研究了金融混沌的識別問題.以我國金融系統歷經本輪全球金融危機這個金融史上影響最為嚴重的金融混沌為研究對象；研究發現：在全球金融危機的沖擊下，我國金融系統在運行過程中發生了確定性的失穩，出現了金融混沌現象.從而為進一步防范與控制金融混沌奠定基礎.

關鍵詞 金融系統;金融混沌;相空間重構;李雅普諾夫指數;關聯維數

中圖分類號 F830.3 文獻標識碼 A

Title Identification of Financial Chaos Based on Phase Space Reconstruction Technology

ZHANGQiang， LI Li-hua

(College of Finance and Statistics， Hunan University， Changsha，Hunan 410079， China)

AbstractWith the phase space reconstruction， which is used to identify chaos of nonlinear system in the areas of project and technology， the problem of identifying financial chaos was studied. After studying China's financial system under the current global financial crisis， which is the most serious financial chaos in financial history， we find that determinate instability and financial chaos took place in China's financial system during the global financial crisis with the effect of global financial crisis. Further， it can lay the cornerstone for prevention and control of financial chaos.

Keywordsfinancial system；financial chaos； phase space reconstruction； Lyapunov exponents； correlation dimensions

1 引 言

金融混沌，是金融系統中發生因確定性運行的失穩，而導致的從量變(類似倍周期分岔)到質變(混沌)的不確定性運行；其外在表現為金融市場中出現異常的劇烈波動、金融過熱、金融危機、金融風暴等現象.金融混沌的出現嚴重地降低了市場配置資源的效率，給經濟的增長與社會的穩定帶來了很大的負面作用.因此，如何準確識別出金融混沌，為進一步控制金融混沌、維持金融系統安全穩定運行顯得尤為重要.然而，現實金融系統內在的非線性性與復雜性，要想通過構造完整的數理模型對其進行刻畫是非常困難的；實際上，往往只能測得該系統中的某些狀態分量的時間序列.相空間重構技術是工程技術領域內處理復雜系統的有利工具，其基本思想是：由于系統的任一狀態分量的演化都是由與之相互作用的其他狀態分量所決定的，因此，這些相關狀態分量的信息就隱藏在任一狀態分量的發展過程中；于是，只考慮某一個狀態分量，并將在某些固定時間延遲點上的觀測值作為新維來處理，從而通過“嵌入”方法可以構造出一個與原系統等價的相空間，并可以在這個空間中恢復原有的動力系統，并研究其吸引子的性質[1].現有研究已證明，當嵌入維數和時間延遲的選擇適當時，重構出來的相空間具有與實際的動力系統相同的幾何性質和信息性質，具有真實相空間的所有特征[2].因此，可借助這種技術對金融系統運行過程中出現的混沌狀態進行識別[3].

當前，有關金融系統混沌方面的研究文獻不是很多，其中具有代表性的研究成果主要有：李紅權、馬超群、鄒琳（2005）使用小數據量算法計算最大李雅普諾夫指數以及其他混沌系統的科學判據，對我國證券市場的混沌動力學結構做出了仔細分析，發現了中國股市具有顯著的非線性混沌特征[4]；馬超群、鄒琳、李紅權（2008）基于BDS與CR方法從不同角度對中國股票市場的混沌動力學結構進行了分析[5]；向小東（2007）對原油期貨價格的混沌進行了識別研究[6]；李立華、張強（2010）基于混沌理論對金融系統的穩定性展開了深入的研究與探討[7].現有這些研究，要么只是針對某個證券市場，如股票或者期貨等；要么只是研究常態下金融系統的混沌動力學結構與非線性混沌特征；而并沒有就整個金融系統在非常態特別是危機背景下的運行狀況展開深入的研究.因此，本文將以我國金融系統歷經本次全球金融危機為研究對象，借助工程技術領域中的相空間重構技術對金融系統混沌的識別進行實證研究[8].

2 數據來源與預處理

根據系統相空間重構技術的基本思想，原則上可以從金融系統中任意選取一個狀態分量的時間序列就可以對其相空間進行重構.但由于證券市場在整個金融系統中具有非常重要的地位，同時上證綜合指數又能綜合反映我國證券市場的整體運行情況；因此，本文在這里選取這個指數的日收盤價數據對金融系統的相空間進行重構，相對于采用金融系統中其他的狀態分量更具有說服力.并且由于本輪金融混沌——全球金融危機是在2007年8月9日開始浮現的；因此選取數據的時間跨度范圍為2007年8月9日至2009年12月31日，共587個日收盤價數據，在此期間其趨勢見圖1.

圖1 全球金融危機期間上證綜合指數日收盤價

由于經濟增長與通貨膨脹等因素的影響，一般不能簡單地、直接地利用證券市場的價格指數，必須對價格序列進行預處理以消除經濟增長和通貨膨脹的趨勢.通常有兩種處理方式：對數收益率法與對數線性法.本文的研究目的是考察金融系統的穩定性行為——金融系統是否存在混沌，對數收益率法并不是一個合適的趨勢消除方式，因此，采用對數線性趨勢消除法：

xt=ln pt－(α+β t) (t=1，2，…，T=587)，（1）

其中，pt為原始的證券指數時間序列，xt為對數線性趨勢消除后得到的新時間序列，α為最小二乘法得到的截距，β為常數增長率.消除趨勢后的上證綜合指數見下圖2.

圖2 對數線性趨勢消除后的上證綜合指數圖

3 金融系統相空間的重構

要重構金融系統的相空間，首先得確定重構相空間所需的兩個重要參數——嵌入維數m與時間延遲τ.在這里，采用C-C算法通過建立嵌入時間序列的關聯積分，同時估計出時間延遲τ和數據依賴最大時間窗口τw；并由時間延遲、最大時間窗口與嵌入維數三者之間的數量關系τw=(m－1)τ，間接求出重構金融系統相空間所需的嵌入維數m.當選取上證綜合指數對金融系統的相空間進行重構時，計算出時間延遲τ為35，時間窗口τw為280，從而可以計算出嵌入維數m為9.

于是，可以根據這些參數的取值重構出金融系統的相空間如下[9]：

Y(ti)=(xi，xi+35，…，xi+35×(9－1))∈R9

(i=1，2，…，n)， （2）

其中，n=T－(m－1)τ=587－(9－1)×35=307.Takens定理已經證明：當確定的嵌入維數與時間延遲適當時，重構出來的相空間與現實金融系統在拓撲意義下等價，即重構的相空間能夠恢復出現實金融系統運行過程中的所有特征與性質[10].因此，就可以通過分析重構相空間的幾何性質，間接考察現實金融系統的運行狀態，并進一步判斷金融混沌的存在與否.

4 金融系統混沌狀態的識別

識別系統混沌狀態的方法很多，這些方法被廣泛運用于工程技術領域，如系統相圖結構法、李雅普諾夫（Lyapunov）指數法、分數維法、熵法、功率譜法等等.然而由于現實金融系統的特殊性，并不是所有這些識別混沌的方法都適合于金融系統混沌的識別.接下來，主要運用兩種適合金融系統的混沌方法對其進行實證研究[11].

4.1 最大李雅普諾夫指數識別法

混沌動力系統最基本的特征之一是存在對初始條件的敏感依賴性，兩個極靠近的初值所產生的軌道，隨時間推移按指數方式分離，李雅普諾夫指數就是描述這一特征的量.李雅普諾夫指數通過量化相空間中兩相鄰點在映射作用下平均指數發散速度，從而可以整體上估計系統的混沌程度.

設F是由相空間重構技術重構出來的現實金融系統的相空間上的映射，它決定了該系統的運行狀態.并將系統的初始條件取為一個無窮小的9維小球，由于在金融系統演化過程中的自然變形，球將變成橢球.將橢球的所有主軸按其長短順序排列，那么第i(i=1，2，…，9)個李雅普諾夫指數就是根據第i主軸的長度Pi(n)增加速率定義為

σi=lim n→

1nln Pi(n)P0(n). （3）

這樣李雅普諾夫指數就是與相空間的軌線收縮或擴張的性質相關聯的，在李雅普諾夫指數小于零的方向軌道收縮，初值相鄰的兩軌線越來越靠近，其運動是漸近穩定的，對于初始條件不敏感；而在李雅普諾夫指數大于零的方向上，軌道迅速分離，對初始條件敏感，運動呈現混沌狀態.不過為了判斷系統中是否出現混沌狀態，并沒有必要計算出所有的李雅普諾夫指數.1983年，Celso Grebogi 與Edward Ott已經證明只要最大的李雅普諾夫指數大于零，就可以肯定混沌的存在.所以，金融系統的最大李雅普諾夫指數的正負號可作為混沌存在與否的一個判斷依據[12].

根據求最大李雅普諾夫指數的小數據量方法的基本思路可知，在圖3中回歸直線的斜率就是所要求的最大李雅普諾夫指數.由圖3可知：由上證綜合指數序列重構的金融系統相空間的最大李雅普諾夫指數為0.0127大于零，表明在此期間我國金融系統運行的軌跡對初始條件的敏感依賴；從而，也進一步說明了在受到全球金融危機的影響下，我國金融系統發生了確定性的失穩，出現了明顯的金融混沌現象.

圖3 金融系統相空間的李雅普諾夫指數分析圖

4.2 關聯維數識別法

混沌動力系統另一個重要的特征是存在奇異吸引子，即軌跡在狀態空間中的發散是在有限范圍內的無規則運動.通常使用分數維來定量描述吸引子的“奇異”程度.分數維有多種定義方式，包括Hausdorf維、盒維、信息維、關聯維、Lyapunov維等等.其中，在實踐中運用最廣泛的是由Grassberger和Procaccia提出計算關聯維的G-P算法.因此，可以借助它來識別金融系統的混沌狀態，度量金融系統整體的混沌程度.

對于金融系統的重構相空間，奇異吸引子由點yj=(xj，xj+35，…，xj+35×(9－1))所構成.定義這些點之間的距離為兩點的最大分量差，即：

yi－yj=max 1≤k≤9yik－yjk.（4）

規定凡是距離小于正數r（事先給定的）的點，稱為有關聯的點.并假設重構相空間中有N個這樣的點，計算其中有關聯的點的對數，它在一切可能的N2種配對中所占的比例稱為關聯積分：

C(r)=1N2∑Ni，j=1θ(r－yi－yj)，（5）

其中，θ為

Heaviside單位函數：θ=0，r|yi－yj|，1，r<|yi－yj|.適當地選取r使得在其的某個區間內有C(r)=rD，其中D稱為關聯維數.若計算出來的關聯維數為分數（即非整數），則表明金融系統的運行過程中出現了混沌狀態；否則，則表明金融系統不存在混沌.

在由上證綜合指數序列重構出來的金融系統相空間中，計算關聯積分C(r)，并畫出金融系統相空間的關聯維分析圖，見圖4.

圖4金融系統相空間的關聯維分析圖

根據關聯維數判斷系統是否存在混沌的基本思想，在圖4中除了斜率為0或

的直線外，考察期間的最佳擬合直線，該直線的斜率就是所要求的關聯維數.并根據計算機仿真結果可知：由上證綜合指數序列重構的金融系統相空間的關聯維數為3.12為分數（或者是非整數），從而也可以斷定在本輪全球金融危機的影響下，我國金融系統在運行過程中發生了確定性的失穩，出現了金融混沌.

5 結束語

在現代市場經濟體系中，金融的作用與地位越來越突出；金融系統的安全、穩定對一國乃至全球經濟社會穩定與發展越來越重要.然而，隨著金融自由化與全球化，特別是始于20世紀60年代的各種金融制度、金融產品、交易方式、金融組織、金融市場等金融創新的出現與蓬勃發展，使的金融系統越來越成為一個開放的、非線性的、復雜系統.與此同時，由于金融系統中發生因確定性運行的失穩，而導致的從量變(類似倍周期分岔)到質變(混沌)的不確定性運行，出現諸如金融市場的劇烈動蕩、金融危機、金融海嘯等金融混沌現象時有發生.這些金融混沌現象的出現嚴重地降低了金融市場配置資源的效率，給經濟的增長與社會的穩定帶來了很大的負面影響.因此，及時準確識別出金融混沌狀態，為進一步控制金融混沌、維持金融系統安全穩定運行具有重要的意義.

在考察金融系統運行狀況時，由于金融系統內在的非線性性與復雜性，要想通過構造完整的數學模型對其進行刻畫是非常困難的、也是不現實的.于是，考慮采取工程技術領域內處理復雜系統的有利工具——相空間重構技術，在相空間中恢復出整個金融系統運行的所有特征與性質，并借助最大李雅普諾夫指數法與關聯維數法分別從不同角度對金融系統中的混沌進行了識別.實證結果表明：在全球金融危機的影響下，我國金融系統在運行過程中發生了確定性的失穩，表現出了較強的混沌現象；這也進一步解釋了在此期間我們金融系統動蕩的根本原因.

參考文獻

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文