具脈沖效應和反饋控制的企業集群競爭模型的持久性分析
2011-01-01 00:00:00劉萍,李永昆
經濟數學 2011年2期
摘 要 根據企業集群與生物種群有著一定的相似性，借鑒種群生態學中的種群競爭模型建立了網狀型企業集群模式下企業間競爭關系的數學模型 —— 一類具脈沖效應和反饋控制的非自治企業競爭模型系統，并通過脈沖微分方程的比較性定理，建立了該系統持久性生存的充分條件，并做經濟學解釋.
關鍵詞 企業集群；競爭模型；脈沖；反饋控制；持久性
中圖分類號 F224 文獻標識碼 A
Analysis on Permanence of Impulsive Type Competitive Modelof Enterprise Cluster with Feedback Control
LIU Ping， LI Yong-kun
(Department of Mathematics， Yunnan University， Kunming，Yunnan 650091， China)
Abstract According to some similaritiesbetween species population and enterprise cluster，and basedon the competitive model of species population from ecology，animpulsive type competitive model of enterprise cluster with feedback control was established to describe dynamically the competitive relation of enterprise cluster under net model.By applying the method of comparison theorem， we obtained some sufficient conditions to ensure the permanence of the system and make an economic explanation to the theoretical result.
Keywords enterprise cluster; competitive model; impulse; feedback control; permanence
1 引 言
企業集群是指相同或相關行業的企業和機構在特定地理位置聚集而形成的緊密聯系的集合體，形成一定的經濟產出，具有一定的經濟影響.企業集群有著類似于生命有機體的諸多生命現象，如萌芽、成長、成熟和衰退的生命演化規律，以及類似于物種間生態關系的企業間的競爭、合作、捕食、競爭與合作等共生關系.鑒于企業集群的種種生態學特征，促使一些學者從生態學角度研究企業集群，如文獻\\[1-3\\]. 基于生態學理論基礎，建立恰當的數學模型模擬經濟生活中的企業集群現象，運用動力系統理論研究模型的周期解、持久性、平衡點穩定性及吸引性等，具有重要的理論意義和實際價值，已越來越多引起人們的關注，但目前此類研究還尚少.
與自然界的生態系統一樣，位于一個區域內的企業集群也是一個相互聯系、相互制約的統一綜合體，每一個企業都有其特定的位置（生態位），并與周圍企業建立密切的聯系，當集群中內部成員之間的競爭與互利關系達到了平衡，就能在一定的時間內保持相當數量的相關企業的空間聚集，并形成一定的產出規模.如果集群能夠長期維持這種均衡狀態，就稱之為企業集群的生態平衡（持久性生存）.然而在一定的經濟環境下，企業集群發展不可避免地受一些外界因素的干擾，從而失去生態平衡，為了使得被破壞的生態平衡加速恢復到平衡態，或者調整平衡態到新的位置等原因，企業集群的反饋控制方法得以應用，對于具有反饋控制的企業集群系統的研究越來越受到人們的關注.另外，如企業重組、股市漲跌、資金調配，甚至像火災等自然災害原因可能在短時間內發生，從而使企業產出水平出現瞬時變化，即表現出脈沖效應.因此，同時考慮具有脈沖效應和反饋控制的企業集群系統更符合客觀實際，研究其持久性生存的條件具有重要的理論和現實價值.本文借鑒生態學中的Lotka-Volterra競爭模型，考慮進脈沖和控制變量的影響，研究具脈沖效應和反饋控制的非自治企業集群競爭系統：
x′(t)=x(t)［a(t)－b(t)x(t)－c(t)y(t)－h1(t)u1(t)］，
y′(t)=y(t)［d(t)－e(t)x(t)－f(t)y(t)+h2(t)u2(t)］，
u′1(t)=－p1(t)u1(t)+q1(t)x(t)，
u′2(t)=r(t)－p2(t)u2(t)－q2(t)y(t)，t≠tk，k∈N，
Δx(t)=x(t+)－x(t)=h1kx(t)，
Δy(t)=y(t+)－y(t)=h2ky(t)，
Δui(t)=0，i=1，2.t=tk，k∈N.（1）
假設在網狀型企業集群中有兩家企業（這種假設并不改變集群中多家企業競爭生存的本質），分別用x(t)，y(t)表示t時刻企業甲和企業乙各自的產品種群規模，a(t)， d(t)表示企業甲和企業乙產品種群規模的內部增長率（即在沒有顧客、技術和環境等因素制約下，產品種群自身的凈增長率），b(t)， f(t)表示兩企業各自的阻滯項系數（企業達到自然市場飽和度對其自身產品種群規模發展的阻滯作用），c(t)， e(t)表示兩企業各自對對方企業的競爭力系數（企業產品種群規模在市場上由于競爭而對其他企業產品種群規模增長的限制作用），u1(t)，u2(t)為控制變量，h1(t)，h2(t)分別表示控制變量u1，u2對企業甲和乙產品種群規模增長的貢獻率，系統中第三和第四個方程為控制方程，第五和第六個方程跳躍條件刻畫的是tk時刻兩企業產品種群規模的變化，tk表示脈沖時刻，0=t0 )上的有界連續函數，hik>0是常數，i=1，2且k∈N.同時，假設以下條件成立： (H1)b(t)，c(t)，e(t)，f(t)，r(t)，hi(t)，pi(t)，qi(t)≥0，t∈R+，i=1，2; (H2) 存在常數αi>0(i=1，2)，使得 lim inf t→ ∫t+α1ta(s)ds+∑t≤tk lim inf t→ ∫t+α2td(s)ds+∑t≤tk (H3) 存在常數βi>0(i=1，2)，使得 lim inf t→ ∫t+β1tb(s)ds>0，lim inf t→ ∫t+β2tf(s)ds>0; (H4) 存在常數γi>0(i=1，2)，使得 lim inf t→ ∫t+γ1tp1(s)ds>0，lim inf t→ ∫t+γ2tp2(s)ds>0; (H5) 存在常數δ>0，σ>0，使得 lim inf t→ ∫t+δtr(s)ds>0，lim inf t→ ∫t+σtq1(s)ds>0. 本文關心的問題是什么樣的條件下企業集群能持久性生存，從而保持市場產品產出的穩定性，控制變量和脈沖是否對系統的持久性產生影響. 本文將主要使用脈沖微分方程的比較性定理，建立系統（1）能夠持久性生存的充分條件，并做出相應的經濟學解釋. 2 持久性分析 定義1 如果存在正常數M， m， 對系統（1）的任意正解(N1(t)， N2(t)， u1(t)， u2(t))，有m≤lim inf t→ Ni(t)≤lim sup t→ Ni(t)≤M(i=1，2) 成立，稱系統（1）是持久的［4］. 注 由于u1(t)， u2(t) 是控制變量，不考慮其持久性. 記 R4+={(x，y，u1，u2}:x>0，y>0，ui>0， i=1，2}， (t)=(x(t)，y(t)，u1(t)，u2(t))， V0={V(t，)|V∶R+×R4+→R+， (t，)∈(tk，tk+1］×R4+， lim(t，w)→(t+k，)V(t，w)=V(t+k，)}. 設V∈V0，對于(t，)∈(tk，tk+1］×R4+，V(t，)關于系統（1）的上右導數定義為 D+V(t，)=lim h→0+sup 1h［V(t+h，+ hf(t，))－V(t，)］， 其中，f=(f1，f2，f3，f4)由式（1）右端所定義. 引理1設V∈V0， D+V(t，)≤g(t，V(t，))，t≠tk， V(t，(t+k))≤φn(V(t，))，t=tk，(2) 其中，g:R+×R+→R在(tk，tk+1］×R+上連續，且 lim(t，v)→(t+k，v0)g(t，v)=g(t+k，v0)，φn:R+→R+非減. 設h(t)是方程 u′(t)=g(t，u)，t≠tk， u(t+)=φn(u(t))，t=tk， u(0+)=u0 (3) 在［0，+ )上的最大解，則當V(0+，0)≤u0時，有V(t，)≤h(t)，(t≥0)，其中(t)是式（2）的滿足(0+)=0的任意解［5］. 注 若上述所有不等號改變方向，h(t)為最小解，φn非增，則相應的結論成立. 對任意的初始點(t0，X0)∈R+×R4+，t0≥0，由微分方程組基本理論［6］，有系統（1）有過點(t0，X0)的唯一連續解X(t)=(x(t)，y(t)，u1(t)，u2(t))，進一步若x(t)>0，y(t)>0，稱X(t)為正解. 對于系統（1），易證下列結論： 引理2 設X(t)=(x(t)，y(t)，u1(t)，u2(t))是系統式（1）的滿足初始條件x(0+)=x0>0，y(0+)= y0>0，u1(0+)=u10>0，u2(0+)=u20>0的解，則 x(t)>0，y(t)>0，u1(t)>0，u2(t)>0，t≥0. 引理3 考慮脈沖微分方程 x′(t)=x(t)［a(t)－b(t)x(t)］，t≠tk， Δx(t)=x(t+)－x(t)=hkx(t)，t=tk.(4) 其中，a(t)， b(t)是定義在R+上的有界連續函數，且b(t)≥0，hk>－1是常數。假設存在正常數 SymbolwA@ ， SymbollA@ 滿足以下條件： (i) lim inf t→ ∫t+λtb(s)ds>0; (ii) lim inf t→ (∫t+ωta(s)ds+∑t≤tk (iii) h(t，μ)=∑t≤tk 0≤μ≤max {ω，λ}， 則存在正常數M， m，使得對系統（4）的任意解x(t)， 有m≤limt→ inf x(t)≤limt→ sup x(t)≤M［7］. 引理 4 考慮非自治線性微分方程： u′(t)=p(t)－q(t)u(t)， (5) 其中，p(t)， q(t)是定義在R +上的有界連續函數，且p(t)≥0，q(t)≥0，t≥0.假設存在常數 SymbolwA@>0， SymbollA@> 0滿足limt→ inf∫t+ωtp(s)ds>0， limt→ inf ∫t+λtq(s)ds>0，那么存在常數M > 0， m > 0，使得對系統（5）的任意解u(t)， 有 m≤limt→ infu(t)≤limt→ supu(t)≤M［8］. 定理1 假設 (H1)－(H5)成立，則存在正常數x*，y*，u*1，u*2，使得對系統（1）的任意解(x(t)，y(t)，u1(t)，u2(t))，有 limt→ supx(t)≤x*，limt→ sup y(t)≤y*， limt→ supu1(t)≤u*1，limt→ supu2(t)≤u*2. 證明 由(H1)，從系統（1）的第一個方程和第四個方程得 x′(t)≤x(t)［a(t)－b(t)x(t)］， u′2(t)≤r(t)-p2(t)u2(t)， t≥0且t≠tk.考慮的脈沖微分方程： y′(t)=y1(t)［a(t)-b(t)y1(t)］，t≠tk， Δy1(t)=(1+h1k)y1(t)，t=tk，(6) v′(t)=r(t)-p2(t)v2(t)，t≠tk， Δv2(t)=0，t=tk.(7) 由(H2)，(H3)和引理3，對滿足初始條件y1(0+)>0的（6）的任意解y1(t)，存在正的常數x* 使得 limt→ supy1(t)≤x*. 同樣，由(H4)，(H5)和引理4，對滿足初始條件v2(0+)>0的式（7）的任意解v2(t)，存在正的常數u*2使得 limt→∞ supv2(t)≤u*2. 設y*1(t)，v*2(t)分別是方程（6）和式（7）滿足初始條件y*1(0+)=x(0+)>0和v*2(0+)=u2(0+)>0的解，那么由比較定理知x(t)≤y*1(t)，u2(t)≤v*2(t)，t≥0，從而 limt→∞ sup x(t)≤x*，limt→∞ supu2(t)≤u*2. 對于任意的 > 0，存在T1>0，當t≥T1時，有x(t) y′(t)≤y(t)［d(t)+h2(t)(u*2+ε)- f(t)y(t)］， u′1(t)≤q1(t)(x*+ε)-p1(t)u1(t)， t≥T1且t≠tk.考慮脈沖微分方程： y′2(t)=y2(t)［d(t)+h2(t)(u*2+ε)- f(t)y2(t)］， t≠tk， Δy2(t)=(1+h2k)y2(t)，t=tk，(8) v′1(t)=q1(t)(x*+ε)-p1(t)v1(t)，t≠tk， Δv1(t)=0，t=tk.(9) 由(H2)，(H3)和引理3，對滿足初始條件y2(T+1)>0的式（8）的任意解y2(t)，存在正的常數y* 使得 limt→ supy2(t)≤y*. 同樣，由(H4)，(H5)和引理4，對滿足初始條件v1(T+1)>0的式（9）的任意解v1(t)，存在正的常數u*1使得 lim supt→∞ v1(t)≤u*1. 設y*2(t)，v*1(t)分別是方程（8）和（9）滿足初始條件y*2(T+1)=y(T+1)>0和v*1(T+1)=u1(T+1)>0的解，那么由比較定理有y(t)≤y*2(t)，u1(t)≤v*1(t)， t≥T1，從而 limt→∞ sup y(t)≤y*，limt→∞ sup u1(t)≤u*1. 證畢. 引理5 假設(H1)~(H 4) 和limt→ inf (r(t)－q2(t)y*)>0成立，則存在正的常數u2*，使得 limt→ infu2(t)≥u2*. 證明 注意到u′2(t)≥r(t)-q2(t)y*-p2(t)u2(t)，結合引理4，該結論顯然成立. 定理2 假設lim t→ inf (r(t)－q2(t)y*)>0和 (H1)~(H5)， (H6)存在常數ξ，η>0，使得 limt→ inf ∫t+ξt(a(s)－c(s)y*-h1(s)u*1)ds+ ∑t≤tk limt→ inf ∫t+ηt(d(s)－e(s)x*+h2(s)u*2)ds+ ∑t≤tk 成立，且hi(t，μ)=∑t≤tk 證明 只需證明存在正常數x*，y*，使得對系統（1）的任意解(x(t)，y(t)，u1(t)，u2(t))，有 limt→ infx(t)≥x*，limt→ infy(t)≤y*. 由條件(H3)、(H6)，存在正常數ε0和T，使得當t≥T，時，有 ∫t+ξt(a(s)－b(s)ε0－c(s)(y*+ε0)- h1(s)(u*1+ε0))ds+∑t≤tk ∫t+ηt(d(s)－f(s)ε0－e(s)(x*+ε0)+ h2(s)(u*2－ε0))ds+∑t≤tk 那么，存在常數Hi>0(i=1，2)使得 hi(t，μ)=∑t≤tk 假設x(t) SymbolcB@ ε0，t≥T′≥，那么對t=T′+mξ，其中m≥0為整數，有 x(t)=x(T′)exp (∫t(a(s)－b(s)x(s)－ c(s)y(s)－h1(s)u1(s))ds+ ∑T′≤tk b(s)ε0-c(s)(y*+ε0)-h1(s)(u*1+ ε0))ds+∑T′≤tk ∫T′+mξT′+（m-1)ξξ(a(s)-b(s)ε0- c(s)(y*+ε0)-h1(s)(u*1+ε0))ds+ ∑T′+(m-1)ξ≤tk >x(T′)exp(mε0)， 容易看出x(t)→+ (t→+ )，矛盾. 假設x(t)關于ε0振蕩，選擇兩序列{un}，{n}滿足 0 un=lim n→ n=+ ，且x(un)≥ε0，x(u+n)≤ε0，x(n)≤ε0，x(+n)≥ε0，n=1，2，…，那么， x(t)≤ε0，t∈(un，n］，n=1，2，…， x(t)≥ε0，t∈(n，un+1］，n=1，2，…， 當n足夠大使得un≥，則當t∈(un，n］時，有 x′(t)≥x(t)［a(t)-b(t)ε0- c(t)(y*+ε0)-h1(t)(u*1+ε0)］，t≠tk， 從而存在整數≥0使得t=+ξ+τ， 0≤τ<ξ，則 x(t)=x(un)exp (∫tun(a(s)－b(s)x(s)－ c(s)y(s)－h1(s)u1(s))ds+ ∑un≤tk b(s)ε0-c(s)(y*+ε0)-h1(s)(u*1+ ε0))ds+∑un≤tk ∫un+ ξ+τun+ ξ(a(s)-b(s)ε0-c(s)(y*+ε0)- h1(s)(u*1+ε0))ds+∑un+ξ≤tk 進一步，有 x(t)≥ε0exp(m ε0+∫un+ ξ+τun+ ξ(a(s)-b(s)ε0- c(s)(y*+ε0)-h1(s)(u*1+ε0))ds+ ∑un+ξ≤tk ≥ε0exp(∫un+ξ+τun+ξ(a(s)-b(s)ε0- c(s)(y*+ε0)-h1(s)(u*1+ε0))ds+ ∑un+ξ≤tk ε0exp(-ρξ-H1)， 其中，ρ∶=supt≥0{|a(t)|+b(t)ε0+c(t)(y*+ε0)+h1(t)(u*1+ε0)}，那么， x(t)>ε0exp (－ρξ－H1)， t∈(un，n］. 注意到t∈(n，un+1］，x(t)≥ε0>ε0exp (－ρξ－H1). 所以， x(t)>ε0exp (－ρξ－H1):=x*，t≥0. 同理，假設y(t)≤ε0，t≥T′′≥，那么對t=T′′+lη，其中l≥0為整數，有 y(t)≥y(T′′)exp (∫tT″(d(s)－f(s)ε0－ e(s)(x*+ε0)+h2(s)(u2*－ε0))ds+ ∑T′′≤tk 易見y(t)→+ (t→+ )，矛盾.同樣假設y(t)關于ε0振蕩，選擇序列{vn}，{n}滿足 0 vn=lim n→ n=+ ，且y(vn)≥ε0，y(v+n)≤ε0，y(n)≤ε0，y(+n)≥ε0，n=1，2，…，那么， y(t)≤ε0，t∈(vn，n］， y(t)≥ε0， t∈(n，vn+1］，n=1，2，…. 當n足夠大使得vn≥T，則當t∈(vn，n］時，有 y′(t)≥y(t)［d(t)－f(t)ε0－c(t)(x*+ε0)+ h2(t)(u2*－ε0)］， t≠tk， 可以得到 y(t)>ε0exp (－η－H2)，t∈(vn，n］， 其中，:=sup t≥0{d(t)+f(t)ε0+e(t)(x*+ε0)+h2(s)(u2*－ε0)}.此外注意到，當t∈(vn，n］時，有y(t)≥ε0>ε0exp (－η－H2). 所以，y(t)>ε0exp (－η－H2):=y*，t≥0. 結合定理1的結論，取m:=min {x*，y*}， M:=max {x*，y*}，有 m≤limt→ infx(t)≤limt→ supx(t)≤M， m≤limt→ infy(t)≤limt→ supy(t)≤M. 所以，系統（1）是持久性的.證畢. 3 舉例 對系統（1），取 a(t)=3+sin t，b(t)=2，c(t)=0.4sin t，p2(t)=1，q2(t)=sin t2， h1(t)=0.2，h1k(t)=0.4，h2(t)=0.7，h2k(t)=0.5，p1(t)=2+sin t2，q1(t)=1－sin 2t2， d(t)=1+2cos t，e(t)=0.8cos t，f(t)=2，r(t)=2， 易驗證滿足定理2的所有條件，從而甲企業和乙企業共存，該企業集群持久性生存. 4 結 論 通過對系統（1）相關結論分析，得出當企業產品種群的內部增長較慢，而企業間競爭力較強，且外界干預對企業產品種群的增長起到阻滯作用，此時脈沖效應影響較大，且hik越大對企業集群持久性發展越有利；而在適當的競爭和外界干預(諸如穩定的市場需求、良好的宏觀經濟態勢、政府的調控政策等)下，保持企業自身的良好發展（取決于企業內部技術性及專業化程度的高低）是企業集群持久性發展的關鍵，此時脈沖對企業集群持久性發展影響甚微。在沒有反饋控制和脈沖影響的前提下，企業間殘酷而激烈的競爭是保持集群活力的關鍵因素，本文由于考慮進反饋控制和脈沖效應的影響，系統更顯真實性，較之前人的研究成果，如文獻[3]，企業集群持久性生存的條件發生改變，影響因素也更加多元化. 參考文獻 ［1］ 周浩.企業集群的共生模型及穩定性分析[J].系統工程，2003，21（4）：32-37. 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