圓錐曲線離心率范圍的求解途徑

求解圓錐曲線離心率的取值范圍的基本思路就是設法建立關于a，b，c的齊次不等式，然后轉化為關于離心率的不等式，進而求出離心率e的取值范圍．然而，大多數學生面對題目中的已知量時，往往束手無策，不知如何挖掘出它們之間的關系．筆者在本文中結合一些具體問題，探求建立關于離心率e的不等關系的幾種途徑．

途徑1：從題設條件中獲取不等關系

直接根據題設得到不等式是最容易想到的途徑，關鍵是要認真審題．

例1 雙曲線-=1（a>1，b>0）的焦距為2c，直線l過點（a，0）和（0，b）且點A（１，0）到直線l的距離與點B（-１，0）到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍．

解：直線l的方程為+=1，即bx+ay-ab=0.

由點到直線的距離公式及a>1，得點A（１，0）和B（-１，0）到直線l的距離之和s=+=+=.

又s≥c，有≥c，

所以5a≥2c2，

即5≥2e2.

化為4e4-25e2+25≤0，

解得≤e2≤5.

注意到e>1，從而≤e≤.

故雙曲線的離心率e的取值范圍是，.

途徑2：根據圓錐曲線的范圍建立不等關系

圓錐曲線自身的范圍都隱含著不等關系．比如對于橢圓+=1（a>b>0），有x≤a，y≤b；對于雙曲線-=1（a>0，b>0），有x≥a，等等．通過對曲線范圍的把握，根據點的坐標適合的不等式，可以建立關于a，b，c或e的不等關系．

例2 已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2=60°，求橢圓離心率的取值范圍．

分析：設法用a，b，c表示橢圓中的x(或y)，再用x(或y)的范圍構造不等式．

解：設橢圓方程為+=1（a>b>0），P的坐標為（x0，y0）.

則PF1=a+ex0，PF2=a-ex0 .

△F1PF2中，cos∠F1PF2==，

由此解得：x20＝.

因為-a≤x0≤a，即0≤x20≤a2，

解得≤e≤1，注意到0

故橢圓離心率的取值范圍是[，1）.

途徑3：利用數形結合尋找不等關系

根據題設條件畫出圖形，由圖形發現或尋找出不等關系，往往能收到事半功倍的效果．

例3 過雙曲線-=1（a>0，b>0）的一個焦點F2，作垂直于漸近線的直線與雙曲線的兩支都相交，求雙曲線的離心率的取值范圍．

解：如圖所示，漸近線l2的方程為y=x，過F2與l2垂直的直線斜率為-，要使得此直線與雙曲線的兩支都相交，只需->-，解得e>.

故雙曲線的離心率的取值范圍是e>.

評注：求解這類問題的關鍵是比較漸近線斜率與已知直線斜率的大小關系．

途徑4：利用平面幾何性質挖掘不等關系

很多離心率范圍的問題都是以平面圖形為載體出現的，我們知道，平面圖形的背后包含著豐富的數量關系，比如三角形中兩邊之和大于第三邊，三角形或梯形中位線的相關性質等．仔細分析平面圖形的特征，挖掘出所需的不等關系，有時會使問題柳暗花明，峰回路轉．

例4已知雙曲線-=1（a>0，b>0）左、右焦點分別為F1、F2，左準線為l，Ｐ為雙曲線左支上一點，且ＰF1是Ｐ到l的距離d與ＰF2的比例中項，求雙曲線離心率e的取值范圍．

解：由題意，可知ＰF1=

d#8226;ＰF2，由雙曲線的第二定義，可知ＰF1=ed.

∴ＰF2= eＰF1 .又ＰF2-ＰF1=2a，得ＰF1=，ＰF2=.

因為在三角形中，兩邊之和大于第三邊，

所以有ＰF1+ＰF2>F1F2，即+>2c，

整理得e2-2e-1<0，注意到e>1，

解得1

故所求雙曲線離心率的取值范圍是（１，1+）．

途徑5：利用圓錐曲線中的最值產生不等關系

在解題中，細心的學生會注意到，圍繞著橢圓與雙曲線有大量的最值結論，比如對于橢圓+=1（a>b>0）的任一點P，左右兩焦點為F1、F2，長軸兩頂點為Ａ1、Ａ2，短軸兩頂點為Ｂ1、Ｂ2則有如下一些結論：

1. ＰF1max=a+c，ＰF1min=a-c；

2.（∠F1ＰF2）max=∠F1B2F2，

（∠A1ＰA2）max=∠A1B2A2；

3. （Ｓ△F1PF2）max=bc.

利用這些結論，我們可以快速得到關于離心率e的不等式，使問題獲得解決．

例5 設橢圓+=1（a>b>0）的長軸兩端點分別為Ａ1、Ａ2，若橢圓上存在一點M，使∠A1MA2＝120°，試求橢圓離心率e的取值范圍．

解：如圖所示，因為∠A1MA2≤∠A1B2A2，又∠A1MA2＝120°，所以∠A1B2A2≥120°，∠A1B2Ｏ≥60°.

所以=tan∠A1B2Ｏ≥tan60°=，

即≤=，

解得e2≥，又0

故橢圓離心率e的取值范圍是[，1）.

途徑6：利用參數方程構造不等關系

利用橢圓與雙曲線的參數方程來設點的坐標，可以有效減少變量的個數，同時又可以利用三角函數的有界性來構造不等關系，充分發揮三角知識在解題中的作用．

例6 設橢圓b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0）上存在一點M，使∠AMＢ＝120°（Ａ，Ｂ為長軸的左、右端點）．試求離心率e的取值范圍．

解：如圖所示，設點M（acos，bsin）（0<<）為橢圓上半部分上一點，根據斜率公式有

kMA=，kMB=，

則tan∠AMＢ＝==-，

所以sin＝，又sin≤1，

所以2ab≤c2，即4a2（a2-c2）≤3c4，

解得e2≥，又0

責任編輯羅峰

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文