基于一類復合型性能指標的線性最優(yōu)控制問題

張 馳，趙 春

（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

基于一類復合型性能指標的線性最優(yōu)控制問題

張 馳，趙 春

（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

討論基于一類復合型性能指標的線性最優(yōu)控制問題.應用最優(yōu)控制理論推導出問題的最優(yōu)控制解的形式，得出最優(yōu)控制是不依賴于系統(tǒng)狀態(tài)的開環(huán)控制.另外得到了最優(yōu)價值函數的具體形式，并證明了價值函數關于系統(tǒng)狀態(tài)x是線性的.

線性系統(tǒng)；開環(huán)控制；復合指標

考慮下列線性最優(yōu)控制問題（P），其狀態(tài)方程、目標泛函分別為

其中控制變量u不受約束，目的是尋求使目標泛函J（u）取極小值的最優(yōu)控制.A，C是n×n階連續(xù)常數矩陣；B和R分別是n×m階和m×m階連續(xù)常數矩陣；f（t）∈Rn是關于t的已知連續(xù)向量函數；在［t，T］上，R（t）≥μI，這里μ為正實數，I是單位矩陣；h和q是Rn中的單位向量，權系數α≥0，β≥0.

1960年，經典的有限維線性最優(yōu)控制問題已被Kalman解決［1］.1971年，Athans研究了線性二次型高斯估計與控制問題［2］.有關線性最優(yōu)控制問題的主要結果見文獻［3－6］.近幾年各國學者對最優(yōu)控制問題的實際應用又做了許多研究，2009年Pachter研究了齊次系統(tǒng)的最小能量控制問題［7］，在此基礎上，有關最優(yōu)控制問題的研究更加深入，除了狀態(tài)方程的變化外，還應用了各種不同形式的性能指標，例如一般的復合型性能指標

本研究對末端狀態(tài)x（T）和系統(tǒng)狀態(tài)x（t）附加新的要求，定義一類新的復合型性能指標，表示為

其中d（t）由式（13）給出.

關于最優(yōu)控制問題（P）的結果是有重要意義的，由式（17）表示的最優(yōu)控制并不由系統(tǒng)狀態(tài)x決定.系統(tǒng)中不存在反饋作用，控制器的作用是開環(huán)操作.此外，最優(yōu)控制也不依賴于初始狀態(tài)x0，所有的控制行為完全依賴時間t.另外，本研究得到了價值函數V（t，x）的具體表達式，容易看出價值函數（18）關于系統(tǒng)狀態(tài)x是線性的.

［1］ Kalman R E.Contributions to the theory of optimal control［J］.Mex Math Soc Bull，1960，2（5）：102－119.

［2］ Athans M.The role and use of the stochastic linear－quadratic－Gaussian problem in control system design［J］.IEEE Trans Autom Control，1971，16（6）：529－552.

［3］ Anderson B D O，Moore J B.Optimal Control：Linear－Quadratic Methods［M］.New York：Prentice Hall，1998.

［4］ Jacobson D H.Extensions of Linear－Quadratic Control，Optimization and Matrix Theory［M］.San Diego：Academic Press，1977.

［5］ Jacobson D H，Martin D，Pachter M.Extensions of Linear－Quadratic Control［M］.Berlin：Springer，1980.

［6］ Bellman R E.Linear Equations and Quadratic Criteria［M］.San Diego：Academic Press，1967.

［7］ Pachter M.Revisit of linear－quadratic optimal control［J］.Optim Theory Appl，2009，140：301－314.

A class of linear optimal control problems based on compound performance

ZHANGChi，ZHAOChun

（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A class of linear optimal control problems based on compound performance is studied.The form of the optimal control solution is derived using optimal control theory，and it is proved that the optimal control is open－loop control which does not depend on the state of the system.Moreover，the formula of the optimal value function is obtained，and the value function is proved to be linear in the statexof the system.

linear system；open－loop control；compound performance

O175.1

A

1671－1114（2011）04－0023－04

2011－03－05

國家自然科學基金資助項目（60972089）；天津市高等學校科技發(fā)展基金計劃資助項目（20060401）；天津師范大學博士科研啟動基金資助項目（5RL047）

張 馳（1986—），男，碩士研究生.

趙 春（1963—），男，教授，主要從事控制論及其應用方面的研究.

（責任編校 馬新光）