一類受持續(xù)擾動的非線性時滯系統(tǒng)的擾動抑制*

高洪偉,唐功友

(1.青島農(nóng)業(yè)大學機電工程學院,山東青島266109;2.中國海洋大學信息科學與工程學院,山東青島266100)

一類受持續(xù)擾動的非線性時滯系統(tǒng)的擾動抑制*

高洪偉1,唐功友2

(1.青島農(nóng)業(yè)大學機電工程學院,山東青島266109;2.中國海洋大學信息科學與工程學院,山東青島266100)

研究一類受已知動態(tài)特性的外部擾動作用的非線性時滯系統(tǒng)的擾動抑制問題。基于內(nèi)模原理構(gòu)造能夠抵消擾動影響的伺服補償器,然后利用極大值原理及靈敏度法設(shè)計帶有補償器的最優(yōu)控制律,使得系統(tǒng)在無擾動作用時以1種最優(yōu)方式運行,而有擾動作用時,控制律能夠消除擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差,實現(xiàn)無靜差擾動抑制。最后,通過仿真算例驗證提出算法的有效性。

非線性時滯系統(tǒng);內(nèi)模原理;最優(yōu)控制;擾動抑制;靈敏度法

在化工過程、交通、生物、熱交換系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)控制等系統(tǒng)中,普遍存在著非線性時滯系統(tǒng),而階躍擾動、斜坡擾動及滿足某一類齊次微分方程的信號等持續(xù)擾動,廣泛存在于海洋平臺的實時控制[1]、飛機飛行姿態(tài)控制[2]以及工業(yè)機械[3]等系統(tǒng)當中。時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制算法的綜合是重要的研究課題,許多學者在理論和實踐上進行了大量的研究工作[4-7]。近年來,擾動抑制備受關(guān)注,并取得了一定的成果。滑模控制對有界干擾和參數(shù)變化具備魯棒性,可以削弱由于負載變化或隨機干擾對系統(tǒng)控制性能的影響,但存在抖振問題[8];Bodson針對受正弦擾動的系統(tǒng)提出了自適應(yīng)擾動抑制算法[9],Pi等構(gòu)造了擾動觀測器用于估計和補償外界擾動[10];針對有界擾動,唐等利用前饋反饋控制技術(shù)實現(xiàn)了受擾控制系統(tǒng)的近似最優(yōu)擾動抑制[11],但前饋技術(shù)不能實現(xiàn)無靜差控制;內(nèi)模原理[12]是抑制干擾的1種有效手段,將干擾視為由1個外部動態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生的信號,若控制回路內(nèi)包含產(chǎn)生干擾的動態(tài)系統(tǒng)的全部信息,則可完全消除干擾的影響,實現(xiàn)無靜差控制。對于受持續(xù)擾動的非線性時滯系統(tǒng),由于系統(tǒng)本身和設(shè)計控制的復(fù)雜性,目前的研究成果相對較少,尚有許多問題亟待解決。

本文研究受持續(xù)擾動的非線性時滯系統(tǒng)的擾動抑制問題。首先利用內(nèi)模原理,構(gòu)造擾動補償器并置于閉環(huán)控制系統(tǒng)的反饋通道以抵消擾動對系統(tǒng)的影響。然后基于靈敏度法,將具有二次型性能指標的最優(yōu)控制問題所導致的非線性兩點邊值(TPBV)問題,化為線性TPBV問題,求解該線性TPBV問題得到最優(yōu)控制律,繼而求得原控制系統(tǒng)的無靜差擾動抑制控制律。

1 問題描述

考慮受擾的時滯非線性系統(tǒng)

其中x∈Rn,u∈Rp,y∈Rm和w∈Rm分別是狀態(tài),控制,輸出和擾動向量,f(x):Rn→Rn是關(guān)于x的各階導數(shù)連續(xù)的非線性函數(shù)向量,且f(0)=0,A,A1,B,C和D是具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣,<(t)為已知的連續(xù)初始向量函數(shù),τ>0為常數(shù)時滯項。擾動w由以下外系統(tǒng)產(chǎn)生

假設(shè)1 矩陣(A,B)是完全可控的。

假設(shè)2 dim(u)≥dim(y)。

假設(shè)3 對于矩陣G的每個特征值θj,都有

2 主要結(jié)果

2.1 補償器設(shè)計

為消除擾動對系統(tǒng)的影響,利用內(nèi)模原理構(gòu)造如下伺服補償器

其中z0為常數(shù)。將內(nèi)模擾動補償器與系統(tǒng)(1)串聯(lián)得

記作

其中

對于系統(tǒng)(5),要實現(xiàn)的是尋求一控制律使其閉環(huán)穩(wěn)定且穩(wěn)態(tài)輸出誤差為0。

2.2 控制器設(shè)計

考慮系統(tǒng)(5)的閉環(huán)穩(wěn)定問題時可以不考慮擾動的影響,即可假定擾動w(t)=0。因此,對于無擾動作用的系統(tǒng)(5),可以考慮其最優(yōu)控制問題,以極大值原理來設(shè)計使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的最優(yōu)控制律。選取如下二次型性能指標

其中Q=block-diag{Q0,Q1},Q0是半正定矩陣且滿足最優(yōu)調(diào)節(jié)器的一般條件,Q1和R是正定矩陣。

由假設(shè)1知,rank[s I-A和B]=n。當s≠θj(j=1,2,…m),即s不是G的特征根時,rank[s I-G]=m顯然成立。因此有下式成立

當s=θj(j=1,2,…m),即s是G的特征根時,

由假設(shè)3可得rankΩ=n+2m。而由(G,Im)完全可控知,rankΓ=n+m。因此,利用Sylvester不等式,可以證得(7)成立。綜上分析,(?A,?B)是完全可控的。又Q0是半正定矩陣且滿足最優(yōu)調(diào)節(jié)器的一般條件,Q1和R是正定矩陣。因此系統(tǒng)(5)關(guān)于性能指標(6)的最優(yōu)控制律存在且唯一。根據(jù)最優(yōu)控制問題的必要條件可以導出

和最優(yōu)控制律

考慮到TPBV問題(9)的解析解一般是不存在的,引入1個與時間t無關(guān)的實標量靈敏度參數(shù)ε(0≤ε≤1),構(gòu)造變量函數(shù)和,則問題(9)被轉(zhuǎn)化為如下新的TPBV問題

最優(yōu)控制律具有如下形式

其中

將(13)代入(12),并令ε=1可得最優(yōu)控制律的表達式為

定理1 如果假設(shè)1～3的條件成立,且矩陣對(?A,Q1/2)完全可觀測,那么系統(tǒng)(5)關(guān)于性能指標(6)的最優(yōu)控制律為

其中P是下列Riccati矩陣方程的唯一正定解

gi(t)由下列第i階伴隨向量微分方程求得

x(i)(t)由微分方程(18)和(19)求得

證明 將各函數(shù)的Maclaurin級數(shù)展開式(13)代入含靈敏參數(shù)ε的TPBV問題(11),并比較等式2邊ε的同次項,可得

將(13)代入含靈敏度參數(shù)的最優(yōu)控制律(12),比較等式2邊ε的同次項,得

由(14)可知,只要得到u(i)(t),即可求得系統(tǒng)的最優(yōu)控制律。令

其中g(shù)0(t)=0。將(23)(i=0時)代入(20)第1,2式可得矩陣Riccati方程(16)。由矩陣對完全可控,且完全可觀測,因此Riccati矩陣方程(16)有唯一的正定解矩陣P。由(23),(20)和(21)可得(18)和(19)。將(23)(i=1,2,…時)2邊求導并將(19)代入,得到

將(24)與(21)的第2式等式2邊相加,并利用(23)和(16),即可得到求解伴隨向量的微分方程(17)。由線性系統(tǒng)最優(yōu)控制理論知,矩陣的所有特征值都具有負實部,且伴隨向量方程(17)中,和的算法見文獻[13])都是已知項,因此求解gi的過程是一個線性迭代過程,而且對任意的t,gi(t)的終值有界,并有g(shù)i(∞)=0。

將(23)代入(22),得到

通過以上討論可知,x(i)(t)和gi(t)可通過迭代求解一族線性狀態(tài)向量方程(18),(19)和線性伴隨向量方程(17)求得,矩陣P可通過求解Riccati矩陣方程(16)得到。因此,將(25)代入(14)即可得到系統(tǒng)(5)關(guān)于性能指標(6)的最優(yōu)控制律(15)。證畢。

注1 最優(yōu)控制律(15)由狀態(tài)反饋項和1個級數(shù)項組成。如果系統(tǒng)(5)不存在時滯項和非線性項,即?f(?x)=0,則由(17)得,gi(t)≡0(i=1,2,…),這說明最優(yōu)控制律中的級數(shù)項的作用是補償時滯及非線性特性對系統(tǒng)的影響。

實際中次優(yōu)控制迭代的次數(shù)可以按要求滿足的控制精度來確定。給定控制精度δ>0,每迭代一次,計算性能指標Ji。當

令M=i(其中L是某個給定的正整數(shù)),因此可得到系統(tǒng)的次優(yōu)控制律uM(t)。

令P=[P1P2],則控制律(26)可以寫成

從圖1可以看出,控制律(28)由精確的狀態(tài)反饋項、內(nèi)模補償項以及伴隨向量的級數(shù)和形式的補償項組成,其中狀態(tài)反饋項用以鎮(zhèn)定控制系統(tǒng),內(nèi)模補償項用以抵消擾動對系統(tǒng)的影響,伴隨向量的級數(shù)和形式的補償項則用以補償非線性項對系統(tǒng)的影響,因此當系統(tǒng)存在擾動時,內(nèi)模可以補償擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差,控制律(28)即為系統(tǒng)(1)的無靜差擾動控制律。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the control system s

3 仿真

考慮由系統(tǒng)(1)描述的非線性系統(tǒng),其中

由外系統(tǒng)(2)描述的擾動,其中

設(shè)計擾動補償器為

選取由(6)描述的性能指標,其中

(1)當w(t)=0時,受控系統(tǒng)在不同迭代次數(shù)下性能指標的值見表1。

表1 不同迭代次數(shù)的性能指標Table 1 Perfo rmance index values at different iteration times

從表1可以看出,J0>J1>…>J4,即隨著迭代次數(shù)的增加性能指標的值不斷減小且最終收斂于1個穩(wěn)定的最優(yōu)值J*。令δ=0.005,L=2,則|(J2-J4)/J4|=0.003 8<δ,這說明經(jīng)5次迭代可以滿足控制精度要求,因此第4階控制律u4可以看作是系統(tǒng)(5)的近似最優(yōu)控制律。當w(t)=0時,輸出及控制律的曲線見圖2～5。由圖可以看出,當系統(tǒng)不受擾動作用時,本文設(shè)計的控制律能使系統(tǒng)以較快的速度收斂于最優(yōu)軌線,所需的控制力也隨迭代次數(shù)的增加而減小。

圖2 輸出y1的仿真曲線Fig.2 Simulation curves of the output y1

圖3 輸出y2的仿真曲線Fig.3 Simulation curves of the output y2

圖4 控制u1的仿真曲線Fig.4 Simulation curves of the control law u1

(2)當系統(tǒng)受發(fā)散擾動作用時,系統(tǒng)的仿真曲線見圖6,從圖中可以看出,當t→∞時,系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)誤差為與零,所以本文設(shè)計的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)無靜差擾動抑制。

圖5 控制u2的仿真曲線Fig.5 Simulation curves of the control law u2

圖6 有擾動作用時系統(tǒng)輸出曲線Fig.6 Simulation curvesof the output

4 結(jié)語

針對一類受持續(xù)擾動的非線性時滯系統(tǒng),基于內(nèi)模原理構(gòu)造了擾動伺服補償器,并將其植入受控系統(tǒng)的反饋通道,與受控系統(tǒng)串聯(lián)組成1個增廣系統(tǒng)。然后,利用極大值原理和靈敏度法,設(shè)計了能夠補償狀態(tài)時滯和非線性對系統(tǒng)影響的增廣系統(tǒng)的最優(yōu)控制器。當系統(tǒng)受非漸近穩(wěn)定的擾動的影響時,由于得到的控制律中包含能夠抵消擾動影響的內(nèi)模狀態(tài),因此能夠消除擾動引起的輸出穩(wěn)態(tài)誤差,實現(xiàn)無靜差擾動抑制。最后通過仿真研究驗證了本文提出的方法的有效性。

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Disturbance Rejection fo r a Class of Nonlinear Time-Delay System swith Persistent Disturbances

GAO Hong-Wei1,TANG Gong-You2
(1.College of Mechanical and Electronic Engineering,Qingdao Agricultural University,Qingdao 266109,China;2.College of Info rmation Science and Engineering,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

This paper is concerned with the disturbance rejection p roblem for nonlinear system s with time-delay affected by additive persistent disturbanceswith know n dynamic characteristics.In order to achieve a zero steady-state erro r disturbance rejection,a disturbance compensato r is constructed based on the internalmodel p rinciple.Then,an op timal control law with a compensation term is designed by the maximum p rincip le and the sensitivity app roach,w hich can realize the op timal control w hen the system has none disturbances.W hile the disturbance exists,this obtained contro l law can reject the disturbance with zero steady-state erro r because of the existence of the internalmodel.Simulation examp les show the effectiveness of the presented algorithm.

nonlinear time-delay system s;internal model p rincip le;optimal control;disturbance rejection;sensitivity app roach AMS Subject Classifications: TP13

TP13

A

1672-5174(2011)09-103-06

國家自然科學基金項目(60574023,40776051);山東省自然科學基金重點項目(Z2005G01);青島農(nóng)業(yè)大學高層次人才啟動基金項目(630805)資助

2011-01-23;

2011-06-20

高洪偉(1979-),女,博士。E-mail:gaohw97@126.com

責任編輯 陳呈超