一類非線性時滯系統(tǒng)的自適應(yīng)動態(tài)面控制

王圣宇，吉 梗，朱瓊瑤，李玲玲，王 賽

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

一類非線性時滯系統(tǒng)的自適應(yīng)動態(tài)面控制

王圣宇，吉 梗＊，朱瓊瑤，李玲玲，王 賽

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

針對一類嚴(yán)格反饋非線性時滯系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制方案。通過引入一階濾波器，避免了傳統(tǒng)反演設(shè)計中的“計算膨脹”問題。通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii函數(shù)，對未知時滯項進行了補償。此外，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致最終有界。最后，仿真實例表明了所提控制方案的有效性。

自適應(yīng)控制；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；動態(tài)面控制；非線性時滯系統(tǒng)

1 引言

在非線性系統(tǒng)設(shè)計中，模糊和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是處理未知非線性函數(shù)常用的智能控制方法。在這些方法中，將模糊邏輯系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和自適應(yīng)反演法相結(jié)合，解決了許多不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器設(shè)計問題［1-3］。但是，基于反演技術(shù)的自適應(yīng)控制方法都有一個缺陷，即“計算膨脹”問題。由于每一步遞推設(shè)計中都要對虛擬控制律進行重復(fù)求導(dǎo)，導(dǎo)致虛擬控制量所含項隨系統(tǒng)階數(shù)的增加而爆炸性膨脹，使得控制器的計算量非常大。針對反演法中的計算膨脹問題，Swaroop等在文獻［4］中首次提出了動態(tài)面控制方法，通過引入一階低通濾波器，消除了對虛擬控制律的求導(dǎo)，使得計算量大大降低。隨后，Wang等［5］將動態(tài)面技術(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合，針對一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，提出了自適應(yīng)動態(tài)面控制方法。此后許多學(xué)者對動態(tài)面技術(shù)的自適應(yīng)控制作了更進一步的研究［6-9，12］。然而基于動態(tài)面控制方法的非線性系統(tǒng)控制中，還存在在線調(diào)整參數(shù)過多的現(xiàn)象，這樣將加大計算負(fù)擔(dān)，不便于實際應(yīng)用［9］。另一方面，實際工程領(lǐng)域廣泛存在著時滯現(xiàn)象。時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制問題研究的重要性是不言而喻的［10-13］。

本文針對一類非線性時滯系統(tǒng)，設(shè)計了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制器。在每一步設(shè)計中，將未知非線性函數(shù)打包，利用徑向基（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近，并且將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重的范數(shù)定義為估計參數(shù)，這樣大大降低了在線調(diào)整參數(shù)的個數(shù)。通過引入一階濾波器，消除了傳統(tǒng)反演設(shè)計中的計算膨脹問題。另外，本文研究的系統(tǒng)包括時滯項，所以該系統(tǒng)是具有一般性的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)。最后，理論分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號是半全局一致最終有界。

2 問題的描述

考慮如下一類單輸入單輸出嚴(yán)格反饋非線性時滯系統(tǒng)

假設(shè) 1：未知增益函數(shù) gi（）的符號是已知的，且存在未知正常數(shù) gmax≥gmin＞0 使得 gmin≤/gi（）/≤gmax.不失一般性我們假設(shè) 0＜gmin≤gi（），i=1，2，…，n.

注1：假設(shè)1類似于文獻［1，2，8-10，13］，應(yīng)該強調(diào)的是常數(shù)gmin和gmax僅僅是為了后文的分析目的，它的實際值在控制器設(shè)計中不必已知.

為了給出假設(shè)2，我們先介紹下面的坐標(biāo)變換：

這里Si是第i個誤差面，vif是通過一階濾波器得到的虛擬控制律.

假設(shè) 2：存在未知連續(xù)函數(shù) qij（（t）+（t））使得

注2：假設(shè)2類似于文獻［12］中的假設(shè)3，不過那里要求qij（·）是已知的.而本文的假設(shè)2是不需要qij（·）已知的.這放松了文獻［12］對時滯項的限制.

3 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制設(shè)計

本節(jié)給出控制器的設(shè)計方法，控制器的設(shè)計包含n步，在每一步中將設(shè)計虛擬控制律vi，i=1，…，n-1.最后，實際的系統(tǒng)控制律u在第n步中給出.

步驟 i（1≤i≤n-1）：由第 i個誤差面 Si=xi-vif，有

選擇虛擬控制律

和自適應(yīng)律

這里 ki，ηi，li，γi和 σi是正的設(shè)計常數(shù).是 θi=gmin-1‖‖2的估計值， 這里表示理想的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重矩陣.Pi（Zi）是 RBF 基函數(shù)向量且以 Z1=［S1］∈Ωz1∩R1，Zi=［S1，…，Si，］T∈Ωzi∩Ri+1為輸入向量.

注3：這里將gmin-1///2定義為被估計參數(shù)θi，可看出在每一步設(shè)計中僅有一個調(diào)整參數(shù)然而在以往的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計過程中［2，3，5-7，10］，未知神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重矩陣視為被估計參數(shù)，所以以往的方法中需要在線調(diào)整大量的參數(shù)，從而增加了計算負(fù)擔(dān).

為避免對虛擬控制器重復(fù)微分，導(dǎo)致所謂的“計算膨脹”問題，這里利用動態(tài)面控制技術(shù)消除這一問題.為此，將vi通過時間常數(shù)為i+1的一階低通濾波器，得到濾波虛擬控制器

這里 Bi+1（·）是一個連續(xù)函數(shù)且具有最大值 Mi+1（詳細(xì)分析可參見文獻［5，6，12］）.

步驟 n：由第 n 個誤差面 Sn＝xn-vnf，有

這里 kn，ηn和 ln是正的設(shè)計參數(shù)為 θn=gmin-1‖‖2的估計值，這里表示理想的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重矩陣.Pn（Zn）是 RBF 基函數(shù)向量且以 Zn=［S1，…，Sn］T∈Ωzn∩Rn+1為輸入向量.

4 穩(wěn)定性分析

我們考慮如下的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)VQi和V

假設(shè) 3：對于給定的 μ＞0，存在 V（0）≤μ.現(xiàn)在提出如下定理：

定理1：在假設(shè)條件1-3下，考慮非線性時滯系統(tǒng)（1），控制器（9）和自適應(yīng)律（6）所組成的閉環(huán)系統(tǒng).那么對于有界初始條件（0）≥0，存在 ki，ηi，li，γi，σi和j，i=1，…，n，j=2，…，n 使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號是一致最終有界的.

其中vn=u.通過利用（13），并注意到xi+1=Si+1+yi+1+vi，Lyapunov函數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

The specific parameters of high energy nanosecond pulsed Nd:YAG laser are shown in Table 2. The laser beam travels through optical microscope, homogenized microscope and focusing lens and then irradiates onto a material surface as a circle laser beam spot.

利用假設(shè)2和揚不等式，我們有

所以

將（16）代入（14）有

因為 Fi（Zi）是未知的函數(shù)，因此，采用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近 Fi（Zi）

其中，逼近誤差 δi（Zi）滿足 δi（Zi） ≤εi.此外，我們有

將（18）代入（17），并且利用（6）（19）和（20）可得

注5：本文采用動態(tài)面控制方法類似于文獻［12］，但本文具有以下優(yōu)勢：（1）本文采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近未知打包的非線性函數(shù)，使得控制器結(jié)構(gòu)簡單；（2）本文放松了對時滯項的要求；（3）對于一個n階系統(tǒng)，所需在線調(diào)整參數(shù)僅需n個，大大降低了在線計算負(fù)擔(dān).

5 仿真算例

考慮如下二階非線性時滯系統(tǒng)

選取τ1=1和τ2=2.則顯然τmax=2.應(yīng)用定理1，選擇虛擬控制器、實際控制器和自適應(yīng)參數(shù)如下

其中 S1＝x1，S2＝x2-v2f，Z1＝S1，Z2＝［S1，S2，］T.我們選擇初始條件為［x1（t），x2（t）］T＝［0.1，-1］T，-τmax≤t≤0，v2f（0）＝0 和［（0），（0）］T＝［0，0］T.在仿真中，設(shè)計參數(shù)選取如下：k1＝3，k2＝2，l1＝l2=5，γ1＝γ2=1，η1=0.1，η2=2，σ1＝σ2＝0.2，2＝0.005.RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)P1（Z1）包含 5 個節(jié)點，中心平均分布在［-2，2］，寬度為 1.RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)P2（Z2）包含 125 個節(jié)點，中心平均分布在［-2，2］×［-2，2］×［-4，4］，寬度為 2.

圖1-2顯示了仿真結(jié)果.從圖1，可看出經(jīng)過幾秒鐘之后，狀態(tài)變量x1和x2就已收斂.從圖2，我們可看出自適應(yīng)參數(shù)和是有界的.仿真結(jié)果說明了所提出的控制器很好的實現(xiàn)了控制性能.

圖 1.狀態(tài)變量 x1（--）和 x2（-）.

圖 2.自適應(yīng)參數(shù) （--）和（-）.

6 結(jié)論

本文針對一類嚴(yán)格反饋非線性時滯系統(tǒng)，提出了一個自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制方案.應(yīng)用動態(tài)面設(shè)計技術(shù)克服了傳統(tǒng)自適應(yīng)反演法中的“計算膨脹”問題.通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii函數(shù)，未知時滯項得到了完美處理.另外本文所設(shè)計的控制器結(jié)構(gòu)簡單，包含了較少的在線調(diào)整個數(shù)，使得計算負(fù)擔(dān)大大減少，從而使得該方案便于實際應(yīng)用.最后通過仿真實例說明了所提算法的有效性.

［1］YANG Y S，ZHOU C J. Robust adaptive fuzzy tracking control for a class of perturbed strict-feedback nonlinear systems via small-gain approach［J］.Information Sciences，2005，170（2-4）：211-234.

［2］GE S S，WANG C.Direct adaptive NN control of a class of nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2002，13 （1）：214-21.

［3］ZHANG T P，GE S S. Adaptive neural network tracking control of MIMO nonlinear systems with unknown dead zones and control directions［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2009，20 （3）：483-497.

［4］SWAROOP D，HEDRICK J，YIP P，etal. Dynamic surface control for a class of nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45 （10）：1893-1899.

［5］WANG D，HUANG J.Neural network-based adaptive dynamic surface control for a class of uncertain nonlinear systems in strict-feedback form［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2005，16 （1）：195-202.

［6］李鐵山，鄒早建，羅偉林.基于 DSC 后推法的非線性系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng) NN 控制［J］.自動化學(xué)報，2008，34（11）：1424-1430.

［7］ZHANG T P，GE S S. Adaptive dynamic surface control of nonlinear systems with unknown dead zone in pure feedback form［J］.Automatica，2008，44 （7）：1895-1903.

［8］CHEN W S，LI W，MIAO Q G. Backstepping control for periodically time-varying systems using high-order neural network and Fourier series expansion［J］.ISA Transactions，2010，49（3）：283-292.

［9］LI T S，WANG D，F(xiàn)ENG G，etal.A DSC approach to robust adaptive NN tracking control for strict-feedback nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part B：Cybernetics，2010，40（3）：915-927.

［10］GE S S，HONG F，LEE T H.Adaptive neural control of nonlinear time-delay systems with unknown virtual control coefficients［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part B：Cybernetics，2004，34（1）：499-516.

［11］GE S S，HONG F，LEE T H. Robust adaptive control of nonlinear systems with unknown time delays ［J］.Automatica，2005，41（7）：1181-1190.

［12］YOO S J，PARK J B，CHOI Y H. Adaptive dynamic surface control for stabilization of parametric strictfeedback nonlinear systems with unknown time delays［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52（12）：2360-2365.

［13］WANG M，CHEN B，SHI P.Adaptive neural control for a class of perturbed strict-feedback nonlinear timedelay systems［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part B：Cybernetics，2008，38（3）：721-730.

Adaptive Dynamic Surface Control for a Class of Nonlinear Time-delay Systems

WANG Sheng-yu,JI Geng,ZHU Qiong-yao,LI Ling-ling,WANG Sai
(School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China)

This paper investigates the adaptive neural network dynamic surface control problem for a class of strict-feedback nonlinear systems with unknown time delays.The problem of “explosion of complexity” in traditional backstepping design is avoided by introducing the first order filter. By constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functions,the unknown time delay terms have been compensated.Furthermore,based on Lyapunov theory, all signals in the closed loop system are guaranteed to be semi-globally uniformly ultimately bounded.Finally,simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the approach.

adaptive control;neural network;dynamic surface control;nonlinear time delay system

耿繼祥）

TP273

A

1672-3708（2011）03-0007-07

2011-05-16

吉 梗（1980- ），男，湖北通山人，碩士，講師，主要從事智能控制的研究。