軸向流動中可移動彈性支承黏彈性圓柱體的動力特性

張波

(陜西理工學院土木工程與建筑系，陜西漢中 723001)

軸向流動中可移動彈性支承黏彈性圓柱體的動力特性

張波

(陜西理工學院土木工程與建筑系，陜西漢中 723001)

分析了軸向流動中可移動彈性支承對黏彈性圓柱體動力特性的影響。以彈性支承點為分界點，分段建立了運動微分方程，同時還建立滿足支承點處的連續條件。應用微分求積法導出其特征方程，運用Matlab語言編程求解黏彈性圓柱體在軸向流動中的前三階復頻率，對可移動彈性支承的彈簧剛度和支承點位置對圓柱體動力特性的影響進行了分析。

動力特性 軸向流動 黏彈性圓柱體 可移動彈性支承

1 圓柱繞流問題

物體繞流是日常生活和工程實際中普遍存在的現象，圓柱繞流問題也是流體力學的經典研究課題，在許多實際工程問題中有非常重要的意義。例如，航天工業、發電和送變電工程(橋梁、建筑物、煙囪)、架空電纜以及海底技術等，經常會遇到旋渦脫落誘發的流體動力載荷和結構振動問題。然而國內外學者大部分都是從彈性或剛性圓柱體的角度來研究流體誘發振動問題的［1-2］，但是，實際上像塑料、橡膠、混凝土以及金屬等工業材料，巖石、土壤、石油、礦物等地質材料，常同時具有彈性和黏性兩種不同機理的形變，綜合體現黏性流體和彈性固體兩者的特性，很少有人從黏彈性材料的角度出發來研究這個問題。本文是在前人研究成果的基礎之上，研究了軸向流動中可移動彈性支承的彈簧剛度和支承點位置對黏彈性圓柱體動力特性的影響。

2 黏彈性圓柱體的特征方程

如圖1所示，在x=x1處有一個可移動彈性支承的黏彈性圓柱體。假定圓柱體的運動全部限制在x—y平面內，其材料服從Kelvin模型［3-4］，即

式中，σ為正應力，e為線應變，E為彈性模量，η為黏性系數。

圖1 軸向流動中具有可移動彈性支承黏彈性圓柱體

設兩端的線彈簧剛度分別為k1和k2，轉動彈簧剛度分別為c1和c2;y為圓柱體撓度;m為圓柱體單位長度質量;ma為圓柱體單位長度附加質量(ma=ρVCm，其中ρ為流體密度，V是圓柱體的體積，Cm為附加質量系數);u為流動速度;EI為抗彎剛度;D為圓柱體直徑;l為圓柱體長度，將該圓柱體分成兩段，即［x0，x1］，［x1，x2］，其中x0=0，x2=l，設每段對應的撓度函數為yi(x，t)(i=1，2)，則各段的運動微分方程為

式中，CT為圓柱體縱向阻力系數;CN為圓柱體橫向阻力系數;Cv為有效黏性阻力系數;γ為常數(圓柱體下游受支承時γ=1，下游端自由或彈性支承時γ=0)，是自由端的形狀阻力系數，T0為初始軸向拉力。

支承處連續條件為

式中，k為可移動彈性支承的彈簧剛度。

引入無量綱量，求得具有可移動彈性支承的Kelvin模型黏彈性圓柱體在軸向流動中的無量綱振型微分方程為

式中，β為質量比;v為無量綱流動速度;α為無量綱延滯時間;ω為圓柱體無量綱復頻率。

相應的邊界條件為

支承處連續條件為

本文采用δ法(取δ=10－5)處理邊界條件，網點的布置為

采用微分求積法［5］，可以得到方程(4)的模擬方程

邊界條件的模擬方程為

支承處連續條件的模擬方程為

從式(8)、(9)和(10)可以得到

矩陣［K］，［G］，［I］(［I］為(N－4)×(N－4)階單位矩陣)中含有無量綱延滯時間、無量綱流速等參數，式(11)構成了廣義特征值問題。

軸向流動中具有可移動彈性支承的Kelvin模型黏彈性圓柱體的特征方程為

3 結果與分析

從方程(4)可以發現，當無量綱延滯時間α=0時，方程就退化為具有可移動支承的彈性圓柱體在軸向流動中的流體誘發振動方程。當支承處無量綱線彈簧剛度a→∞時，方程就退化為Kelvin模型黏彈性圓柱體在軸向流動中的流體誘發振動方程。

圖2(a)～圖2(c)分別給出了無量綱延滯時間α =0.01，質量比β=0.1，兩端同時有線彈簧(無量綱線彈簧剛度ɑ=0.1)支承和轉動彈簧支承(無量綱轉動彈簧剛度b=0.1)的條件下，中間有不同剛度(無量綱剛度分別取從0.01到100之間的數值)的線彈簧支承(支承位置相同，ζ1=0.5)時，Kelvin模型圓柱體的前三階模態無量綱復頻率ω的實部及虛部與無量綱流速v之間的關系圖。圖2(d)給出了兩端同時有線彈簧(無量綱線彈簧剛度a=0.1)支承和轉動彈簧支承(無量綱轉動彈簧剛度b=0.1)，中間有彈簧剛度(無量綱線彈簧剛度a=1)線彈簧支承的條件下，線彈簧支承位置ζ1=0.1時，Kelvin模型圓柱體的前三階模態無量綱復頻率ω的實部及虛部與無量綱流速v之間的關系圖。

從圖2(a)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=0.01時:在v=3.91時，第一階模態發生發散，在v=5.34時又恢復穩定;第二階模態在v=8.68處發散，在v=8.78處又恢復穩定;第三階模態在v<9的范圍內一直處于穩定狀態。

從圖2(b)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=1時:第一階模態在v=3.89處發散，在v=5.3時又恢復穩定狀態;第二階模態在v=8.58處發散，在v=8.8時又恢復穩定狀態;第三階模態在v<9的范圍內一直處于穩定狀態。

圖2 無量綱流速與前三階模態的無量綱復頻率的實部及虛部的關系曲線

從圖2(c)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=100時:第一階模態在v<9的范圍內一直處于穩定狀態;第二階模態在v=1.231處發散，在v=8.47處又恢復穩定。同第一階模態相同，第三階模態在v <9的范圍內一直處于穩定狀態。

從圖2(d)可以看出當線彈簧支承位置ζ1=0.1時:第一階模態在v=3.986處發散，在v=6.48時恢復穩定狀態;在v<9的范圍內，第二階模態和第三階模態一直處于穩定狀態。

4 結語

從以上的分析可以得到，當中間支承線彈簧的剛度和支承位置不同時，圓柱體的動力特性也存在很大的不同。剛度的影響主要隨著中間支承無量綱線彈簧剛度的增加，第一階模態首次發散的臨界無量綱流速增加，而第二階模態首次發散的臨界流速卻是減小。在無量綱流速v=0時，隨著中間支承無量綱線彈簧剛度的增加，第一階模態復頻率的實部和虛部都是逐漸減小，但是第二階模態和第三階模態復頻率的實部和虛部都是逐漸增加的。而支承位置的影響在于，第一階模態復頻率的實部和虛部越接近中間位置，數值越來越小，但是第二階模態和第三階模態卻相反。

［1］KANG H S，SONG K N，KIM H K，et al.Axial-Flow-Induced Vibration for a Rod Supported by Translation Springs at Both Ends［J］.Nuclear Engineering and Design，2003(220):83-90.

［2］ZHOU C Y，SO R M C and LAM K.Vortex-Induced Vibration of an Elastic Circular Cylinder［J］.Journal of Fluids and Structure，1999(13):165-189.

［3］楊挺青.黏彈性力學［M］.武漢:華中理工大學出版社，1990.

［4］倪振華.振動力學［M］.西安:西安交通大學出版社，1989.［5］王鑫偉.微分求積法在結構力學中的應用［J］.力學進展，1995，25(2):232-240

TU502+6

A

1003-1995(2011)02-0127-04

2010-08-27;

2010-12-18

張波(1976—)，男，陜西■陽人，講師，碩士。

(責任審編 王天威)