變截面連續梁抗扭慣矩修正系數的計算方法

王贊芝,江林雁，江培信

(1.廣西工學院土木建筑工程系,廣西柳州 545006；2.中煤邯鄲設計工程有限責任公司，河北邯鄲 545006)

在計算橋梁的荷載橫向分布系數時,常用偏心壓力法。對于具有較大抗扭剛度的截面,如箱形梁等,如果不考慮梁的抗扭剛度,則設計將過于保守[1～2],從而造成材料的浪費。如在采用偏心壓力法計算荷載橫向分布系數時,在每根主梁截面上各增加一個抵抗扭矩T,這樣計算荷載橫向分布系數的方法就是修正偏心壓力法。設計簡支梁時,可以直接計算梁跨中截面的抗扭剛度,代入修正偏心壓力法的計算公式。設計非簡支的其他梁式體系橋時,可以采用等代簡支梁法計算該類橋梁各跨的荷載橫向分布系數。

采用等代簡支梁法計算非簡支體系橋荷載橫向分布系數,需要計算抗彎慣矩修正系數Cw和抗扭慣矩修正系數Cθ。其中計算抗彎慣矩修正系數Cw的原理是,當需要計算實際橋梁某跨的荷載橫向分布系數時,以整個橋梁結構為計算對象,使該跨跨中的撓度與等代簡支梁的跨中撓度相等；主要工作是以此列出靜不定方程,最終解出實際梁該跨跨中撓度；其結構模型特點是,對于r跨橋,具有r+1個簡支支座,每個支座處可有轉角,但撓度為零；其計算特點是，對r-1次靜不定結構進行計算。而計算抗扭慣矩修正系數Cθ的原理是,當需要計算實際橋梁某跨的荷載橫向分布系數時,僅以該跨梁段為計算對象,使該跨跨中的扭轉角與等代簡支梁的跨中扭轉角相等；主要工作是計算在此變截面梁跨劃分為若干梁段后各微段的扭轉角并疊加,從而得到該跨跨中的扭轉角；其結構模型特點是,該跨兩端為剛性固定；計算特點僅是對一次靜不定結構的計算。抗彎慣矩修正系數Cw的計算方法在諸多文獻中有所論述[3～7],而對抗扭慣矩修正系數Cθ計算方法的詳細討論則未見文獻述及,故本文對抗扭慣矩修正系數Cθ的計算方法進行一些討論。

1 抗扭慣矩修正系數Cθ的推導

設有任意一座連續梁橋,可以是箱梁或其他截面形式的梁,不妨設其跨徑布置如圖1所示[1]。根據對計算精度的要求,將中跨和邊跨各分為若干段。對于中跨,截面形狀和尺寸一般是關于跨中對稱的,對于邊跨,一般來說截面特性不具備這種對稱性,因而梁跨的抗扭慣矩修正系數Cθ的計算就分為對對稱型變截面梁的計算和對非對稱型變截面梁的計算兩種情況。

圖1 連續梁立面

1.1 對稱型變截面梁

一般的3跨連續梁的中跨即屬這種情況。因為要計算的是跨中截面的扭轉角,所以應該分成偶數個節段,設為2 m一個節段。劃分的間距可以是等間距的,也可以是變間距的,這里采用等間距劃分法,見圖2(a)。

為了計算跨中截面扭轉角,設在跨中施加一個單位扭矩T=1,則按照力的等效原則,相當于將梁的跨中固定,而在梁端施加一個扭矩T=0.5,如圖2(b)所示。這樣,根據扭矩與截面扭轉角的關系,對于微段01,截面扭轉角為[8]

圖2 對稱型變截面梁的分段計算模型

(1)

同樣,對于微段12,截面扭轉角

(2)

……

對于微段(m-1)m,截面扭轉角

(3)

截面總的扭轉角應為

θ=θ0+θ1+…+θm-1=

(4)

由于整個梁是變截面的,因此每個微段實際上也是變截面的,而在式(4)中計算每個微段的扭轉角時,用的都是圖2(b)中右端的截面慣性矩,顯然這樣的慣性矩取值偏小,從而使得所計算得到的各微段的截面扭轉角偏大。如果我們統一采用圖2(b)中各微段左端的截面慣性矩來計算,則得到的截面總的扭轉角應為

θ=θ0+θ1+…+θm-1=

(5)

顯然,式(5)得到的總的扭轉角又有所偏小。我們將式(4)和式(5)得到的兩個總扭轉角平均,這樣應該更接近于真實值,平均后的總的截面扭轉角為

(6)

當為等截面梁時,式(6)成為

(7)

由式(6)和式(7)得到

(8)

1.2 非對稱型變截面梁

常見的3跨連續梁的邊跨即屬這種情況。因為要計算的仍是跨中截面的扭轉角,所以劃分的節段數還應是偶數,設為2n,見圖3(a)。

圖3 非對稱型變截面梁的分段計算模型

計算跨中截面扭轉角時在跨中施加一個單位扭矩T=1。實際計算時,可以將跨中截面固定,而在兩端各施加扭矩T1和T2,如圖3(b)和圖3(c)所示,這樣產生扭角θ左和θ右,它們滿足關系

T1+T2=T

(9)

θ左=θ右

(10)

根據式(6),

θ左=θ1+θ2+…+θn-1=

(11)

θ右=θn+1+θn+2+…+θ2n=

(12)

(13)

所以,由式(10)和式(11)

θ左=θ右=

(14)

式(14)也就是圖3跨中截面的扭轉角θ變。當梁為等截面時

(15)

這樣得到

(16)

2 計算舉例

3跨變高度連續箱梁橋如圖4所示,其跨徑組合40 m+60 m+40 m。它的中孔梁底縱向變化曲線是拋物線

(17)

圖4 某變高度連續箱梁橋立面及節段劃分(單位：m)

式(17)的坐標原點在跨中處的箱梁頂板上表面,這樣式中的h也就是箱梁截面的高度；對于邊孔,以兩個中間支座為軸分別與中孔梁底緣曲線對稱,其余的部分直到邊支座共10 m長為直線,即以等高梁h=1.6 m過渡到邊支座。

斷面為單箱單室箱梁,箱梁底板寬7.6 m,頂板翼緣外懸2.7 m,頂板總寬13 m；頂板厚度t1=0.3 m,腹板厚t3=0.35 m,頂板翼緣厚t4=0.3 m；中跨底板厚度t2由支座截面的0.45 m按線性規律減薄至跨中截面的0.25 m,邊跨底板厚度t2由中間支座截面的0.45 m按線性規律向端支座方向30 m范圍內減薄至0.25 m,其余10 m范圍內保持0.25 m高度不變,如圖5所示[1]。

圖5 箱梁橫斷面(單位：m)

對于橫隔梁的設置,參考了重慶長江大橋,重慶長江大橋的138 m邊跨T構每側凈長48.7 m[9]而不設橫隔梁；本橋為連續梁橋,為了減少對施工的干擾,加快工程進度,因此只在4個支座處各設置1道橫隔梁,橫隔梁厚度均為60 cm,不設置中間橫隔梁。但在受力計算時按慣例不考慮橫隔梁的存在,即如果所選截面恰好位于橫隔梁所在位置,就用稍偏離一些的、橫隔梁旁邊的截面代替此截面。這樣做簡化了計算,又偏于安全,而且由此處理引起的誤差并不大[10～11]。

控制截面也稱設計驗算截面或計算截面[12]。本橋全長140 m,將其等分14份得到15個控制截面,半橋共8個控制截面,其截面要素見表1。這里截面要素主要指發生變化的截面參數,如梁高h、底板厚度t2等,而ITi值依據下式計算[13～14]

(18)

盡管式(18)中第2項的影響很小,本文在計算中仍考慮了其影響。

表1 各截面尺寸及抗扭慣矩

由以上數據,對于中跨,2m=6,m=3

3/{[1/(2×26.253 74)+1/13.859 09+

1/8.003 713+1/(2×6.122 368)]×6.122 368}=

1.645 369 028

文獻[1]采用了較精確的計算方法,得到的結果是Cθ=1.645 205,而本文僅取m=3就得到了與其非常接近的數值,由此可以看出本文介紹的方法既簡便又具有非常高的精度。

對于邊跨,2n=4,n=2

2.438 799 471

在中跨和邊跨的Cθ計算式中都不含有節段長度ΔS,說明Cθ的數值與節段的長度無關,也就是與橋梁的跨徑無關,而只與每個截面的抗扭剛度IT有關。Cθ數值的大小反映了變截面梁抗扭轉能力的大小,Cθ計數值越大,說明變截面梁的扭轉角θ越小,抗扭轉的能力越大。在本算例計算θ等時,盡管中跨采用的是該跨的最小截面(第7截面),而邊跨采用的不是該跨的最小截面(第2截面),但最終得到的邊跨的Cθ=2.438 799 471是中跨的Cθ=1.645 369 028的1.5倍,這說明雖然采用變截面能帶來諸多好處[2],但跨中截面的削弱會嚴重影響梁的抗扭能力。

3 結語

(1)本文對采用等代簡支梁法計算非簡支體系梁式橋荷載橫向分布系數時必須用到的抗彎慣矩修正系數Cw和抗扭慣矩修正系數Cθ的計算原理、主要工作、計算特點進行了詳細分析、對比；

(2)計算抗扭慣矩修正系數Cθ,考慮的是截面沿梁長度方向的變化情況,它與梁的跨數多少、甚至是否為連續梁并無實質關系,只是在計算抗彎慣矩修正系數Cw時才體現連續梁與簡支梁的區別；

(3)Cθ數值的大小反映了變截面梁抗扭轉能力的大小,Cθ數值越大,說明變截面梁的扭轉角θ越小,抗扭轉的能力越大；

(4)采用變截面梁能有效降低跨中的設計正彎矩,更符合梁的內力分布規律,又與施工的內力狀態相吻合,但跨中截面的削弱會嚴重影響梁的抗扭能力；

(5)采用節段劃分法計算抗扭慣矩修正系數Cθ,雖然在理論上是劃分的節段越多其結果越接近精確值,但運算結果表明,實際上只要取很少幾個節段,例如每一跨度只要劃分4～6個節段即可達到相當高的計算精度,滿足工程設計的需要。

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