對2010年高考題中“地月雙星系統”的進一步探究

王文濤 張鳳蓮

(東北師大附中 吉林 長春 130021)

繼2008年高考寧夏卷考查雙星系統后，2010年全國高考理綜卷Ⅰ和重慶卷再次出現了以地球和月球為雙星系統的考題．在這里筆者認為，“地月雙星系統”中地球和月球做勻速圓周運動所圍繞的O點的位置需要進一步探究．試看2010年高考全國Ⅰ卷中的原題．

【題目】如圖1，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L．已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側．引力常量為G．

圖1

(1)求兩星球做圓周運動的周期．

(2)在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期為T1．但在近似處理問題時，可認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2．已知地球和月球的質量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg．求T2與T1兩者平方之比．(結果保留3位小數)

解析：在這里，我們關心的不是這道題該如何解答，而是“地月雙星系統”中O的位置究竟在哪里．下面做具體的分析．

地月平均距離r=3.8×108m

地球半徑R地=6.4×106m

月球半徑R月=1.7×103m

地球質量m地=6.0×1024kg

月球質量m月=7.3×1022kg

設地球和月球圍繞它們連線上的某一固定點O分別做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r地和r月，周期均為T．則

(1)

(2)

r地+r月=r

(3)

由式(1)、(2)、(3)，得

r地≈4.7×106m

r月≈3.8×108m

從以上數據可以看出來月球的軌道半徑非常接近地月平均距離，固定點O大約距地心0.73R地處．該固定點O即為地月雙星系統的質心，如圖2所示．

圖2