電磁感應綜合問題的典例剖析

張轉利 李艷軍

(蘇州大學物理科學與技術學院 江蘇 蘇州 215006) (江陰華士高級中學 江蘇 江陰 214421 )

“電磁感應”在高中物理中有著舉足輕重的地位，在歷年的高考試題中屢屢出現；除了對楞次定律、法拉第電磁感應定律、感應電流的產生條件等一些基礎知識點采用選擇題或填空題的方式進行考查外，在計算題中將電磁感應與動力學、能量、恒定電流等知識綜合的考查，也是歷年來考查學生對電磁感應有關知識掌握情況的主要方式．由于與其他知識進行了綜合，故試題難度也會有所增大，往往成了學生高考物理取得優異成績的障礙．本文主要對高考中關于電磁感應與其他知識綜合后的主要題型加以剖析，以提高在高考復習時的針對性，增強對有關問題分析和求解的效率．

1 電磁感應中的動力學問題剖析

當發生電磁感應現象時，如果構成閉合回路，則導體棒中就會有感應電流產生，感應電流在磁場中將會受到安培力的作用，從而對物體的運動造成影響．所以可以將電磁感應與靜力學、運動學等知識聯系在一起進行考查；這也是高考中出現較多的題目．

對于此類問題，解題的關鍵是能對研究對象進行正確的受力分析，并明確其運動狀態和受力之間的關系，從而根據牛頓運動定律或平衡條件求解．

圖1

【例1】(2004年高考北京試題)如圖1所示，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導軌間距為L，M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直．整套裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下，導軌和金屬桿的電阻可忽略．讓ab桿沿導軌由靜止開始下滑，導軌和金屬桿接觸良好，不計它們之間的摩擦．

(1)由b向a方向看到的裝置如圖2所示，請在此圖中畫出ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖；

(2)在加速下滑過程中，當ab桿的速度大小為v時，求此時ab桿中的電流及其加速度的大??；

(3)求在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值．

圖2

解析：(1)重力mg豎直向下，支撐力N垂直斜面向上，安培力F沿斜面向上

(2)當ab桿速度為v時，感應電動勢E=BLv,此時電路電流

ab桿受到安培力

根據牛頓運動定律，有

ma=mgsinθ-F=

2 電磁感應中能量問題的剖析

電磁感應的過程總是伴隨著能量的轉化.導體棒切割磁感線或磁通量發生變化，在回路中產生感應電流；機械能或其他形式能轉化為電能.感應電流做功，又可以使電能轉化為機械能或內能等．在分析此類問題時，應牢牢抓住能量守恒定律，分析清楚哪些力做了功，從而知道是哪些形式的能量之間發生了相互轉化；然后借助動能定理、能量守恒定律、功能關系等知識求解．

【例2】(2004年全國高考試題)圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌所在的平面(紙面)向里．導軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2．x1y1與x2y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為m1和m2，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸．兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R．F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力．已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率．

圖3

解析：設桿向上運動的速度為v.因桿的運動，兩桿與導軌構成的回路的面積減少，從而磁通量也減少．由法拉第電磁感應定律可得，回路中的感應電動勢的大小為

ε=B(l2-l1)v

(1)

回路中的電流

(2)

電流沿順時針方向．兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿x1y1的安培力為

f1=Bl1I

(3)

方向向上，作用于桿x2y2的安培力為

f2=Bl2I

(4)

方向向下．當桿做勻速運動時，根據牛頓第二定律有

F-m1g-m2g+f1-f2=0

(5)

解以上各式，得

(6)

(7)

作用于兩桿的重力的功率的大小

P=(m1+m2)gv

(8)

電阻上的熱功率

Q=I2R

(9)

由式(6)、(7)、(8)、(9)，可得

3 電磁感應與恒定電流綜合問題的剖析

在電磁感應現象中，切割磁感線的部分導體或磁通量發生變化的回路中將產生感應電動勢，則該部分導體或回路就相當于電源.因此，可以將電磁感應與恒定電流的有關知識綜合起來考查．解決此類問題的基本思路如下.

首先找出相當于電源的部分導體或回路；根據法拉第電磁感應定律和楞次定律確定感應電動勢的大小和方向.然后畫出等效電路圖；此時要注意產生感應電動勢的部分導體或回路相當于電源，要能根據電源內外電流的特點明確等效電源的正負極，分清內外電路.最后根據串并聯電路的特點，運用閉合電路歐姆定律、電功率等知識分析求解．

【例3】(2005年高考江蘇試題)如圖4所示，水平面上有兩根相距0.5 m的足夠長的平行金屬導軌MN和PQ，它們的電阻可忽略不計，在M和P之間接有阻值為R的定值電阻，導體棒ab長l=0.5 m，其電阻為r，與導軌接觸良好.整個裝置處于方向豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度B=0.4 T.現使ab以v=10 m/s的速度向右做勻速運動.

圖4

(1)ab中的感應電動勢多大?

(2)ab中電流的方向如何?

(3)若定值電阻R=3.0 Ω,導體棒的電阻r=1.0 Ω，則電路電流多大?

解析：(1)ab中的感應電動勢為

E=Blv

代入數據得

E=2.0 V

(2)根據左手定則，可判定導體棒ab中電流方向為b→a.

(3)由閉合電路歐姆定律，回路中的電流

代入數據得

I=0.5 A

4 電磁感應與現代科技的綜合問題剖析

電磁感應及其規律廣泛地應用于生活、生產和科技領域，如電磁流量計、磁懸浮列車等．這類題目不會很難，多以信息題的形式出現.在考查學生對信息提煉能力的同時，主要考查學生深入分析物理過程、準確理解物理概念、靈活運用物理規律的能力.這也是新課標高考的特點之一．

從考查知識的角度講，這類問題往往將電路、動力學、能量守恒等多個知識點加以整合，求解的關鍵是把實際問題模型化，再利用所學的物理知識求解．

圖5

【例4】(2008年高考天津試題)磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具，它的驅動系統簡化為如下模型：固定在列車下端的動力繞組可視為一個矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內，長邊MN長為l，平行于y軸，寬為d的NP邊平行于x軸，如圖5所示．列車軌道沿Ox方向，軌道區域內存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應強度B沿Ox方向按正弦規律分布，其空間周期為λ，最大值為B0，如圖6所示.金屬框同一長邊上各處的磁感應強度相同，整個磁場以速度v0沿Ox方向勻速平移．設在短暫時間內，MN、PQ邊所在位置的磁感應強度隨時間的變化可以忽略，并忽略一切阻力，列車在驅動系統作用下沿Ox方向加速行駛，某時刻速度為v(v

圖6

(1)簡要敘述列車運行中獲得驅動力的原理；

(2)為使列車獲得最大驅動力，寫出MN、PQ邊應處于磁場中的什么位置及λ與d之間應滿足的關系式；

(3)計算在滿足第(2)問的條件下列車速度為v時驅動力的大小．

解析：(1)由于列車速度與磁場平移速度不同，導致穿過金屬框的磁通量發生變化.由于電磁感應，金屬框中會產生感應電流，該電流受到的安培力即為驅動力．

(3)由于滿足第(2)問條件，則MN、PQ邊所在處的磁感應強度大小均為B0且方向總相反.經短暫的時間Δt，磁場沿Ox方向平移的距離為v0Δt，同時，金屬框沿Ox方向移動的距離為vΔt．

因為v0>v，所以在Δt時間內MN邊掃過磁場的面積為

S=(v0-v)lΔt

在此Δt時間內，MN邊左側的磁通移進金屬框而引起框內磁通量變化為

ΔΦMN=B0l(v0-v)Δt

同理，該Δt時間內，PQ邊左側移出金屬框的磁通引起框內磁通量變化為

ΔΦPQ=B0l(v0-v)Δt

故在Δt內金屬框所圍面積的磁通量變化為

ΔΦ=ΔΦPQ+ΔΦMN

根據法拉第電磁感應定律，金屬框中的感應電動勢大小

根據閉合電路歐姆定律，有

根據安培力公式，MN邊所受的安培力

FMN=B0Il

PQ邊所受的安培力

FPQ=B0Il

根據左手定則，MN、PQ邊所受的安培力方向相同，此時列車驅動力的大小為

F=FMN+FPQ=2B0Il

聯立以上各式解得

5 電磁感應的圖像問題剖析

電磁感應現象中常常涉及磁感應強度B、磁通量Φ、感應電動勢E和感應電流I隨時間變化的圖像，即B-t圖像、Φ-t圖像、E-t圖像和I-t圖像.對于部分導體切割磁感線產生感應電動勢和感應電流的情況，有時還涉及到感應電動勢和感應電流隨線框位移變化的圖像，即E-x圖像、I-x圖像．

根據不同的形式，圖像問題大體上可以分為兩類：第一類是由有關的物理過程和物理量變化的情況根據題目要求作出圖像；第二類是對給出的圖像進行分析，確立相應的電磁感應過程，求解相應的物理量，解決有關問題．但不管是哪一類問題，基本都是根據右手定則、楞次定律、法拉第電磁感應定律等分析求解；同時要特別注意各個物理量的方向與圖像中數據正負的對應關系．

【例5】(2008年高考廣東試題)如圖7，水平放置的兩根平行金屬導軌，間距L=0.3 m．導軌左端連接R=0.6 Ω的電阻，區域abcd內存在垂直于導軌平面B=0.6 T的勻強磁場，磁場區域寬D=0.2 m．細金屬棒A1和A2用長為2D=0.4 m的輕質絕緣桿連接，放置在導軌平面上，并與導軌垂直，每根金屬棒在導軌間的電阻均為r=0.3 Ω，導軌電阻不計，使金屬棒以恒定速度v=1.0 m/s沿導軌向右穿越磁場，計算從金屬棒A1進入磁場(t=0)到A2離開磁場的時間內，不同時間段通過電阻R的電流強度，并在圖8中畫出．

圖7

圖8

解析：A1進入磁場，0～t1(0～0.2 s)，A1產生的感應電動勢為

E=BDv=0.6×0.3×1.0 V=0.18 V

電阻R與A2并聯阻值為

所以電阻R兩端電壓為

通過電阻R的電流為

A1離開磁場，而A2未進入磁場

t1～t2(0.2～0.4 s)

E=0I2=0

A2進入磁場到離開磁場

t2～t3(0.4～0.6 s)

同理

I3=0.12 A

根據以上計算，不同時間段通過電阻R的電流強度如圖8所示．

以上是對電磁感應有關知識進行考查時經常出現的綜合類問題，筆者就其特點和求解思路作了簡要的概述，以求增強對各部分知識綜合運用的重視，提高解決物理綜合問題的能力．