空間繩系系統(tǒng)自由展開(kāi)建模與仿真

孔憲仁，徐大富，楊正賢，王本利

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001)

空間繩系系統(tǒng)自由展開(kāi)建模與仿真

孔憲仁，徐大富，楊正賢，王本利

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001)

運(yùn)用Hamilton原理建立了空間繩系展開(kāi)動(dòng)力學(xué)模型，研究繩系展開(kāi)過(guò)程中繞線盤(pán)出線、系繩振動(dòng)以及末端質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并利用中心差分法、四階Runge－Kutta和預(yù)估校正法等數(shù)值方法對(duì)繩系的自由展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果顯示該模型可以較精確描述繩系系統(tǒng)在展開(kāi)過(guò)程中的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)行為，繩系自由展開(kāi)不能滿足穩(wěn)定展開(kāi)的要求，仿真數(shù)據(jù)可以為后續(xù)的繩系展開(kāi)控制提供參考依據(jù)。

空間繩系展開(kāi);動(dòng)力學(xué)模型;自由展開(kāi);中心差分法;非線性動(dòng)力學(xué)

空間繩系系統(tǒng)是指利用柔性系繩將兩個(gè)或兩個(gè)以上的航天器連接在一起所構(gòu)成的空間飛行系統(tǒng)。繩系連接的航天器可以是小型的探測(cè)器、衛(wèi)星、飛船、航天飛機(jī)、空間站等等，甚至可以是廢棄的運(yùn)載火箭上面級(jí)。空間繩系系統(tǒng)具有廣闊的潛在應(yīng)用前景，文獻(xiàn)中所涉及的應(yīng)用［1－15］主要有:航天器軌道轉(zhuǎn)移與升降、繩系星座與編隊(duì)、電動(dòng)力繩系離軌、繩系交會(huì)、繩系人造重力、空間站軌道保持、繩系推進(jìn)的行星際航行、繩系太陽(yáng)帆等等。

對(duì)于空間繩系系統(tǒng)，系繩的順利展開(kāi)是完成空間任務(wù)的先決條件，1996年的 TSS－1R和1998年的ATEx兩次空間繩系實(shí)驗(yàn)都因?yàn)槔K系展開(kāi)故障而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)劃失敗。繩系展開(kāi)的動(dòng)力學(xué)使用不同方法和模型進(jìn)行描述，文獻(xiàn)［16，17］中繩系作為無(wú)質(zhì)量的剛體，不考慮系繩所受的重力、慣性力和張力，這個(gè)模型是最簡(jiǎn)單最基本的模型，可用來(lái)研究?jī)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)用定長(zhǎng)的系繩連接后在重力和慣性力下的運(yùn)動(dòng)情況。文獻(xiàn)［18，19］將繩系作為有質(zhì)量的剛體，考慮作用在系繩上的重力梯度力和慣性力影響，但是忽略了系繩中的張力。文獻(xiàn)［20］中繩系作為無(wú)質(zhì)量的柔性體，考慮張力影響，但是忽略其他力的影響。文獻(xiàn)［21－24］中繩系被模化為一系列集中質(zhì)量點(diǎn)，之間通過(guò)無(wú)質(zhì)量的彈簧連接，該模型也稱(chēng)為珠鏈模型，可以描述彈性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。文獻(xiàn)［25］提出了三種繩系模型，研究了繩系展開(kāi)和回收的動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題，根據(jù)牛頓定律和彈性力學(xué)原理推導(dǎo)繩系動(dòng)力學(xué)方程，利用Ritz方法假設(shè)3個(gè)振型函數(shù)將偏微分方程轉(zhuǎn)換成常微分方程，并使用Matlab中ODE算法進(jìn)行數(shù)值求解。

本文運(yùn)用Hamilton原理建立了繩系展開(kāi)動(dòng)力學(xué)方程，研究繩系展開(kāi)過(guò)程中繞線盤(pán)出線、系繩振動(dòng)以及末端質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并利用中心差分法、四階Runge-Kutta和預(yù)估校正法等數(shù)值方法對(duì)繩系的自由展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行仿真，為以后的繩系展開(kāi)控制提供參考依據(jù)。

1 繩系展開(kāi)的動(dòng)力學(xué)模型

繩系系統(tǒng)由衛(wèi)星本體ms、末端質(zhì)量mB和已展開(kāi)部分的繩索(未展開(kāi)的部分纏繞在繞線盤(pán)上，處于衛(wèi)星本體中)，如圖1所示。假設(shè)s表示繩索無(wú)伸展時(shí)的弧長(zhǎng)，s變化范圍是從0到繩索全長(zhǎng)L，假設(shè)表示繩索瞬時(shí)構(gòu)型的弧長(zhǎng)，末端質(zhì)量處=L，繩索離開(kāi)繞線盤(pán)處=ξ(t)，該點(diǎn)既在繩索上也在繞線盤(pán)上，使用=ξ+(t)表示該點(diǎn)僅在繩索上，繩索和繞線盤(pán)固聯(lián)的部分=0。選取在處的繩索單元，該微元在慣性坐標(biāo)系下的位置矢量rt(，t)，滿足關(guān)系rt(，t)=R0er+r(，t)，其中r(，t)表示該微元相對(duì)于衛(wèi)星的位置矢量，R0表示衛(wèi)星軌道半徑。rt和r既與繩索瞬時(shí)弧長(zhǎng)的位置有關(guān)，又與時(shí)間t相關(guān)，所以可以表示為rt(，t)，r(，t)，為推導(dǎo)公式時(shí)方便，仍記為rt和r。同時(shí)rt(L，t)可以簡(jiǎn)記為rtL，ξ(t)記為 ξ。

整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能包括:已展開(kāi)部分繩索的動(dòng)能、末端質(zhì)量的動(dòng)能、衛(wèi)星本體和未展開(kāi)部分繩索的動(dòng)能、繞線盤(pán)和未展開(kāi)部分繩索的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，即:

其中，ρ表示系繩的線密度，R1表示繞線盤(pán)的半徑，I1表示繞線盤(pán)的慣性矩。

系統(tǒng)的勢(shì)能包括:衛(wèi)星本體和未展開(kāi)部分繩索的重力勢(shì)能、末端質(zhì)量的重力勢(shì)能、已展開(kāi)部分繩索的重力勢(shì)能、已展開(kāi)部分繩索的彈性勢(shì)能，即:

圖1 空間繩系展開(kāi)過(guò)程示意圖Fig.1 Schematic of space tether deployed in orbit

繩系展開(kāi)時(shí)，主要控制力為末端球體上推力器的作用力F以及繩系繞線盤(pán)上提供的摩擦力矩τ，則控制繩索展開(kāi)外力所作的虛功為 δW=F·δrtL+τδφ1，繩索的拉力在=ξ處是不連續(xù)的，可以視為虛擬的激勵(lì)，表示為T(mén)imp，它的虛功表示為T(mén)impδξ。總的虛功表示為:

繩索展開(kāi)時(shí)，繩索離開(kāi)繞線盤(pán)的過(guò)程是連續(xù)的，假設(shè)開(kāi)始展開(kāi)時(shí)其方向也是確定的，選擇φ2=0并且=0，則方程(22)可以變?yōu)?

方程(20)、(21)、(25)即為繩系展開(kāi)的動(dòng)力學(xué)方程，其中方程(20)描述繩系已展開(kāi)部分的運(yùn)動(dòng)，方程(21)描述末端質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)情況，方程(25)繞線盤(pán)上繩系展開(kāi)的動(dòng)力學(xué)特性。

方程(33)至(39)分別描述了系繩、末端質(zhì)量、繞線盤(pán)在展開(kāi)過(guò)程中的復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，假設(shè)末端球體上推力器的作用力F以及繩系繞線盤(pán)上提供的摩擦力矩τ都為零，繩系進(jìn)入無(wú)控的自由展開(kāi)狀態(tài)。

2 仿真驗(yàn)證

繩系實(shí)際展開(kāi)過(guò)程中一般需要利用末端球體上推力器的作用力F以及繩系繞線盤(pán)上提供的摩擦力矩τ對(duì)展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行控制，無(wú)控制的自由展開(kāi)在空間任務(wù)中并不采用。本文無(wú)控制的自由展開(kāi)仿真目的是研究繩系在展開(kāi)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為以后的控制策略選擇提供依據(jù)。

方程(33)至(39)中包含時(shí)間t和空間位置(x，y，z)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于這類(lèi)二階非線性、時(shí)變、強(qiáng)耦合的偏微分方程，無(wú)法求出解析解，可以利用中心差分法進(jìn)行時(shí)間和空間上的離散，建立離散化方程，然后結(jié)合四階Runge-Kutta和預(yù)估校正法等數(shù)值方法進(jìn)行求解。

系繩為鋁質(zhì)的多股編織繩，橫截面直徑為1 mm，彈性模量為72 GPa。繞線盤(pán)直徑為242 mm，圍繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4 kg·m2。末端質(zhì)量重30 kg。假設(shè)衛(wèi)星在距離地面600 km高的圓軌道上展開(kāi)繩系，繩系首先使用彈射的方法展開(kāi)最初的100 m長(zhǎng)度，為后續(xù)的展開(kāi)提供足夠的梯度力，自由展開(kāi)過(guò)程從已經(jīng)展開(kāi)的100 m長(zhǎng)度開(kāi)始。

仿真結(jié)果如圖所示，圖2表示在衛(wèi)星體坐標(biāo)系下繩系展開(kāi)過(guò)程，繩系沿徑向向上展開(kāi)，繩系長(zhǎng)度增加的同時(shí)，也向后上方偏轉(zhuǎn)。繩系初始展開(kāi)時(shí)不包含引起面外運(yùn)動(dòng)的速度分量，所以繩系的運(yùn)動(dòng)都在er—eθ平面內(nèi)。圖3表示展開(kāi)過(guò)程中繩系張力的變化情況，末端質(zhì)量處(=L)的張力與繩索離開(kāi)繞線盤(pán)處(=ξ)的張力變化趨勢(shì)一致，隨著系繩展開(kāi)長(zhǎng)度的增加，張力也增加，這是因?yàn)樽饔迷诶K系上的梯度力隨著繩長(zhǎng)增加。圖4表示繩長(zhǎng)的變化，隨著時(shí)間增加，系繩的展開(kāi)速度越來(lái)越快。繞線盤(pán)出線速度與=ξ處張力直接相關(guān)，張力越大出線速度越快。當(dāng)繞線盤(pán)出線速度超過(guò)末端質(zhì)量帶動(dòng)系繩的運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，系繩可能會(huì)因?yàn)榫植克沙谝鹄p繞。

為更直觀地研究展開(kāi)過(guò)程中系繩的運(yùn)動(dòng)情況，建立一個(gè)局部坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系以繞線盤(pán)出線點(diǎn)為原點(diǎn)，以繞線盤(pán)出線點(diǎn)和末端質(zhì)量質(zhì)心的連線為x軸，正方向徑向向外，y軸在er－eθ平面內(nèi)與其垂直，正方向與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向成銳角。x軸與y軸實(shí)際上表示系繩的跨度和垂度。將繩系在空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換變換到局部坐標(biāo)系下，結(jié)果如圖5所示。隨著時(shí)間變化，展開(kāi)的繩系長(zhǎng)度不斷增加，系繩在空間的垂度和跨度也相應(yīng)增加，橫向與縱向振動(dòng)加劇。

3 結(jié)論

運(yùn)用Hamilton原理建立了繩系展開(kāi)動(dòng)力學(xué)模型，仿真結(jié)果顯示了繩系自由展開(kāi)過(guò)程中繞線盤(pán)出線、系繩振動(dòng)以及末端質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。該模型使用二階非線性、時(shí)變、強(qiáng)耦合的偏微分方程描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律，比其他模型更能準(zhǔn)確表現(xiàn)繩系的自然特性，但是要注意的是數(shù)值仿真時(shí)計(jì)算量非常大。

繩系自由展開(kāi)時(shí)，系繩張力增大會(huì)導(dǎo)致繞線盤(pán)出線速度加快，當(dāng)出線速度超過(guò)末端質(zhì)量帶動(dòng)系繩運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，已展開(kāi)的系繩容易出現(xiàn)纏繞現(xiàn)象，需要繞線盤(pán)上提供的摩擦力矩τ對(duì)出線速度進(jìn)行控制。另外，系繩自由展開(kāi)時(shí)會(huì)偏離徑向方向，甚至?xí)a(chǎn)生面外運(yùn)動(dòng)，需要末端球體上推力器的作用力F對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制。繩系自由展開(kāi)不能滿足穩(wěn)定展開(kāi)的要求，選擇合適的控制策略對(duì)展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行控制，使繩系以穩(wěn)定的速度展開(kāi)，同時(shí)系繩中保持合適的張力避免松弛引起纏繞，這是下一步需要研究的內(nèi)容。

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Modeling and simulation for free deployment of a space tether system

KONG Xian-ren，XU Da-fu，YANG Zheng-xian，WANG Ben-li

(Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

A dynamic model of space tether deployment was established using Hamilton’s principle to study motion laws of drum releasing tether，tether vibration and end-mass moving during tether deployment.Numerical simulation for free tether deployment was calculated using central difference method，four-order Runge-Kutta method and predictorcorrector method and so on.The simulation results showed that the model can accurately describe the complex nonlinear dynamic behavior of a space tether system during deployment;free deployment cannot meet requirements of stable tether deployment，but the simulation data provide a foundation for tether deployment control further.

space tether deployment;dynamic model;free deployment;central difference method;nonlinear dynamics

V524.3

A

長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃資助(IRT0520)

2009－12－24 修改稿收到日期:2010－03－10

孔憲仁 男，教授，博士生導(dǎo)師，1961年生