時滯速度反饋對軟彈簧Duffing系統安全盆的控制研究

尚慧琳

(上海應用技術學院 機械工程學院，上海 200235)

時滯速度反饋對軟彈簧Duffing系統安全盆的控制研究

尚慧琳

(上海應用技術學院 機械工程學院，上海 200235)

為了利用時滯反饋對于非線性系統實施安全盆侵蝕控制，以一個軟彈簧Duffing系統為例，對系統引入線性時滯速度反饋，研究時滯速度反饋對系統安全盆侵蝕的控制作用。首先通過Melnikov函數法分析時滯受控系統的安全盆的邊界分形條件;再以時間滯后量為變參數，通過四階龍格－庫塔法和蒙特－卡羅方法，刻畫安全盆形態，計算安全盆面積。發現時滯速度反饋對影響安全盆邊界有著重要作用，通過增大時滯量，可以對系統的安全盆侵蝕進行有效抑制。該研究結果說明時滯速度反饋是控制系統的安全盆侵蝕的有效手段。

軟彈簧duffing振子;安全盆侵蝕;時滯;反饋增益;分形

質點的運動振幅超過一定限度，往往會導致結構的破壞和工程故障如船舶傾覆［1］，電網崩潰［2］等，由此產生了振動的有界性問題，也引起了對非線性系統的安全盆(safe basin)的研究。以英國學者Thompson［3］為首的科學家首先提出了安全盆的概念。系統的安全盆被定義為所有有界解吸引盆的合集。如果安全盆具有分形邊界［4］，那么系統初始條件稍有改變，從原無侵蝕的安全盆的內部出發的軌線將可能逃逸出此安全盆，從而導致系統運動無界而引起系統崩潰，這種現象被稱為安全盆的侵蝕(erosion of safe basins)［5－7］。安全盆的侵蝕往往觸發工程結構的破壞，因此從應用的觀點出發，有必要對系統安全盆侵蝕現象進行研究并有效控制。

多年來，關于非線性系統安全盆的研究已經取得了一定進展。如 Thompson［1，3］研究了船舶激勵為規則波時系統的安全盆，發現激勵振幅的增大會引起安全盆的侵蝕。甘春標等人［5］研究了軟彈簧杜芬振子中參數的非定常變化對系統安全盆侵蝕的影響，指出外激勵的高頻作用可以有效降低安全盆的侵蝕。徐鑒等人［6］研究了具有三次非線性的Duffing－Mathieu型系統在主參數共振下安全盆侵蝕和控制，發現主參數共振情況下，增大阻尼可以抑制安全盆侵蝕，而參振激勵下振幅的增大卻加速安全盆的侵蝕;時變激勵下振幅的改變則可以有效控制安全盆侵蝕的速度。系統參數的變化常常會引起安全盆的侵蝕［1－7］，因此，在應用中常常通過調整系統參數如增大阻尼、改變激勵等被動控制方法來抑制安全盆的侵蝕，而極少采取主動控制方法。

本文對安全盆的侵蝕提出一種主動控制方法，即時滯速度反饋。這是因為研究表明［8－11］，時滯反饋是控制動力系統動力學行為的好方法，時滯能夠引起系統失穩，出現多吸引子共存、概周期運動、混沌運動等復雜動力學行為。而多吸引子共存則為增大有界解吸引域的集合即安全盆提供了可能性。本文考慮一個典型的軟彈簧Duffing振子，對系統施加線性時滯速度反饋，研究時滯反饋對系統安全盆侵蝕的控制。本文安排如下:第二節給出研究模型，并應用Melnikov函數法得出安全盆的邊界分形條件;第三節給出時滯系統安全盆的定義，并在此基礎上數值研究時滯量對系統安全盆邊界和尺寸的影響規律。最后一節給出結論。

1 安全盆的邊界分形條件

是一個典型的軟彈簧Duffing振子，同時也可以作為刻畫輪船在海面運動的有效模型［5，7，12］，用來描述船舶波浪中不考慮操舵的單自由度艏搖運動方程，其中x常常用來描述船舶的橫搖角，當x過大時，船舶會發生橫甩(即大幅艏搖運動)［7，12］，從而導致船舶傾覆。對系統(1)施加線性時滯速度反饋，得到

其中yτ=y(t－τ)，τ是時滯量，A是反饋增益系數。當τ=0時，系統(2)可以退化為系統(1)。方程(2)可以看成一個單通道反饋控制系統的數學模型，如圖1所示.由圖1知，時滯反饋在控制系統動力學行為方面扮演著重要角色。

圖1 時滯反饋控制系統(2)簡易框圖Fig.1 Simplified diagram of the delayed feedback controlled system(2)

無擾動無時滯的軟彈簧Duffing振子系統可寫成:

因此，根據線性近似系統的特征值和(4)式可知，平衡點(0，0)為其中心，奇點(±1，0)為兩個鞍點，且有兩條異宿軌線:

為了便于分析，將方程(1)和(2)中的變量進行重新標度

其中0＜ε?1。則系統(1)相應的Melnikov函數為:

而對于施加時滯速度反饋之后的系統(2)，當反饋增益K和時滯量較小時，可以將時滯速度反饋項看成是擾動項，可設:

則受控系統(2)的Melnicov函數為:

對于系統(1)，如果參數取值滿足

因此只要選取適當的反饋增益項系數A和時滯量τ，使得:

則穩定流形和不穩定流形在Poincaré截面上不會橫截相交，也就能夠有效地抑制了安全盆邊界的分形。

因此由理論分析可知，時滯速度反饋在一定條件下可以控制系統安全盆的侵蝕。而對于在無控制狀態下已經被侵蝕的系統安全盆，時滯速度反饋對安全盆侵蝕的控制效果將在下一節通過數值模擬來體現。

2 安全盆侵蝕的控制效果

該區域包含了系統(1)的所有奇點和兩條異宿軌線。當t=0時，本文在－2≤x(0)≤2這樣一個初始值范圍內運用四階龍格－庫塔法和點映射蒙特－卡羅方法來刻劃安全盆，其中初始點的個數為640×240。即在初始軸x(0)方向將［－2，2］劃分為639等份，由此產生640條平行于y(0)軸的格線;而在對應的y(0)方向將［－2，2］劃分為239等份，產生240條相應的格線;平

2.1 時滯對于安全盆邊界的影響

在常微分動力系統(ODE)中，安全盆常常被定義為所有有界解吸引盆的集合［1］，而無界解則對應導致破壞的危險振動。由于DDE系統初始條件與ODE系統完全不同，時滯微分動力系統的解往往由初始條件z(t)=z0(t=0)和 z(t)=φ(t)(－τ≤t＜0)共同決定，其中 z(t)=(z1(t)，z2(t)，…，zn(t))T，為系統狀態變量。因此這樣的初值吸引域很難直觀地刻畫與評價。然而，對于帶時滯反饋的控制系統，由于在時滯反饋控制系統零時刻以前沒有信號返回到系統，可以給定初始條件為z(t)=z0(t=0)和z(t)=0(－τ≤t＜0)。因此，我們定義時滯反饋控制系統的安全盆為零時刻狀態空間z(0)上所有有界解吸引域的集合［5］。因此對于所研究的時滯速度反饋控制系統(2)，根據以上定義，系統安全盆應為位于零時刻狀態平面x(0)－y(0)的所有有界解吸引域的集合。

本節選取一個充分大的有界區域D:行x(0)軸和平行于y(0)軸的格線相交，將產生640×240個格點，這些格點就是系統解的初始值。由于研究的是系統的長期動力學行為，則當系統響應在10 000個參數激勵周期內如果仍未逃逸出有界區域D，認為此解是安全有界的，否則是不安全的。其中數值積分步長為1/4 000個激勵周期。在安全盆圖形中，白色區域對應有界解的吸引域，即安全盆，而黑色區域則對應逸出的無界解吸引域。對系統(2)，給定c=0.01，Ω=1和A=0.2，將時滯τ從0增大到2π。圖2和圖3分別表示G=0.1和G=0.3時系統(2)的安全盆隨時滯的變化情況。

圖2 G=0.1時系統(2)安全盆隨時滯的變化圖Fig.2 Evolution of the safe basin of system(2)as the delay increases when G=0.1

圖3 當G=0.3時系統(2)的安全盆隨時滯的變化圖Fig.3 Evolution of the safe basin of system(2)as the delay increases when G=0.3

2.2 時滯對安全盆面積的影響

為了進一步圖2和圖3中出現的安全盆邊界突然分形現象，如圖4所示，考察安全盆面積即白色區域的面積隨時滯量的變化，其中時滯的變化。根據式(8)可知，G=0時系統(1)的安全盆不會受到分形侵蝕。本文將邊界光滑，沒有受到分形侵蝕的系統(1)的安全盆稱為“初始盆”(如圖4)，定義其面積為 1 或 100%［10］。因此將不同G和τ取值下安全盆的尺寸(即安全盆內初值點的個數)與之相比，這樣就可以計算出相應安全盆的面積大小(即面積百分比)。系統(2)的安全盆在取值范圍－2≤x(0)≤2，－2≤y(0)≤2內的面積變化如圖5所示。從時滯對安全盆面積的影響來看，時滯速度反饋對安全盆侵蝕起到了積極的控制作用。

圖4 c=0.01，G=0時系統(1)的安全盆Fig.4.The safe basin in system(1)when c=0.01 and G=0

圖5 不同時滯下系統(2)的安全盆面積隨激勵振幅的變化圖Fig.5.Variation of the basin area as the amplitude increases for system(2)under different values of time delay

由圖5可知:不管有無時滯，安全盆面積都隨激勵振幅單調遞減;外激勵振幅較小時安全盆的侵蝕更易被控制成無侵蝕狀態(見圖5中水平虛線以上部分);安全盆面積隨時滯的變化并不單調(由圖中各折線存在交點可見)，但任何一種時滯取值非零的情況下，系統安全盆的面積都大于無時滯的情況。但時滯量較小時，激勵振幅固定時，安全盆面積隨時滯量單調遞增(見圖5中 τ=0，τ=2π/5和 τ=4π/5折線)。

3 結論

本文主要討論了時滯速度反饋對一個軟彈簧Duffing系統的安全盆侵蝕的控制。首先利用Melnikov函數法得到有時滯和零時滯情況下受控系統安全盆邊界的分形條件。并本文將常微分方程系統的安全盆思想延拓到時滯微分方程所描述的時滯反饋系統，利用時滯系統無限維初始空間向有限維歐式空間投影的思想給出時滯反饋控制系統安全盆的定義。進而運用點映射蒙特－卡羅方法和龍格－庫塔方法數值研究了時間滯后量對受控系統安全盆的影響規律，數值仿真結果與理論分析得到的安全盆邊界的分形條件基本吻合。研究結果表明，時滯速度反饋可以有效地用于控制系統的安全盆侵蝕。但系統的安全盆的邊界分形程度及尺寸并不是隨時滯量單調變化的。當系統的反饋增益系數大于零時，一方面，當時滯量較小時，時滯的增大可以用來控制安全盆的分形侵蝕，降低系統崩潰的可能性;另一方面，一個大的時滯量也可能反過來引起安全盆的分形侵蝕。從動力學有關理論可以推斷，時滯引起非線性系統安全盆侵蝕時系統的響應往往比較復雜，常常出現混沌響應，因此本文的結果在研究混沌控制方面存在潛在的應用價值。

［1］ Thompson J M T，Rainey F C T，Soliman M S.Ship stability criteria based on chaotic transients from incursive fractals［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society，1995，332(1):149－167.

［2］ Marcos S H C，Lopes S R，Viana R L.Boundary crises，fractal basin boundaries and electric power collapses［J］.Chaos，Solutions and Fractals，2003，15(2):417 －424.

［3］Thompson J M T，McRobie F A.Indeterminate bifurcation and the global dynamics of driven oscillators［A］.In:Proceedings of 1st European Nonlinear Oscillation's Conference［C］.Hamburg，German，1983，107 －128.

［4］Soliman M S.Fractal erosion of basins of attraction in coupled nonlinear systems［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，182(5):729－740.

［5］ Gan C B，Lu Q S，Huang K L.Non-stationary effects on safe basins of a softening Duffing oscillator［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，1998，11(3):253－160.

［6］ Xu J，Lu Q S，Huang K L.Controlling erosion of safe basin in nonlinear parametrically excited systems［J］.ACTA Mechanica Sinica，1996，12(3):281－288.

［7］谷家揚，繆振華.隨機海浪中船舶安全概率的數值模擬［J］.江蘇科技大學學報(自然科學版)，2005，19(6):6－11.

［8］Hu H Y.Using delayed state feedback to stabilize periodic motions of an oscillator［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，275(3－5):1009－1025.

［9］Wang H L，Hu H Y，Wang Z H.Global dynamics of a duffing oscillator with delayed displacement feedback［J］.InternationalJournalofBifurcation and Chaos， 2004，14(8):2753－2775.

［10］ Shang H L，Xu J.Delayed Feedbacks to Control the Fractal Erosion of Safe Basins in a parametrically excited system［J］.Chaos，Solitons ＆ Fractal，2009，41(4):1880 － 1896.

［11］尚慧琳，徐 鑒.時滯位移反饋Liénard振子的多穩態解［J］.同濟大學學報 (自然科學版)，2008，36(7):962－966.

［12］陶 醉，張緯康.船舶橫甩吸引域的數值研究［J］.海軍工程大學學報，2002，14(2):59－63.

Control for erosion of safe basins in a softening duffing oscillator with velocity-delayed feedback

SHANG Hui-lin

(School of Mechanical Engineering，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 20035，China)

In order to use delayed feedback controlling erosion of safe basins in nonlinear systems，a softening Duffing oscillator was considered here as an example，a linear delayed velocity feedback was induced to the system，and the effects of the delayed velocity feedback on controlling basin erosion were investigated.Firstly，the condition of fractal erosion of safe basin's boundary of the delayed controlled system was obtained by using Melnikov method.Then，considering time delay as a variable parameter and employing 4th-order Runge-Kutta and Monte-Carlo methods，the evolutions of boundaries and the area of safe basins with the delay were presented.It was found that the delayed velocity feedback can greatly affect the safe basin，and the erosion of the safe basin can be reduced with increase in the time delay effectively.It was shown that the delayed velocity feedback can be used as a good approach to control erosion of safe basins.

softening Duffing oscillator;erosion of safe basin;time delay;feedback;fractal

TP242;O322

A

國家自然科學基金青年基金項目(10902071);上海高校選拔培養優秀青年教師科研專項基金(YYY08004);上海市教育委員會重點學科建設項目(J51501);上海應用技術學院科學技術發展基金(KJ2011－06)

2011－01－02 修改稿收到日期:2011－04－25

作 者 尚慧琳 女，博士，副教授，1983年3月生