電動力繩索系統的周期解求解及其穩定性分析

張 勇

(1.西安鐵路局，西安 710015;2.蘭州交通大學 機電技術研究所，蘭州 730070)

電動力繩索系統的周期解求解及其穩定性分析

張 勇1，2

(1.西安鐵路局，西安 710015;2.蘭州交通大學 機電技術研究所，蘭州 730070)

對運行在傾斜圓軌道上的電動力繩索系統的動力學特性進行了分析研究。首先建立了系統的動力學模型，分別采用攝動法及推廣后的數值算法求得系統的基本周期解，并運用所給數值算法中的穩定性判據分析了周期解的穩定性，得出該系統周期運動不穩定的結論。最后進行仿真驗證，結果表明在攝動量較小時，兩種求解算法得到的周期解基本相同，但當攝動量較大時，攝動法求得的周期解發生了畸變，不理想此時通常借助數值算法加以求解;仿真結果同樣證實了所得周期解的不穩定特性。

電動力繩索系統;周期運動;周期解求解;穩定性分析

繩系衛星系統(簡稱TSS)是指用一根細長柔軟的繩索連接起來的雙星(母星與子星)系統。近年來TSS已經成為航天領域的一個研究熱點，國內外學者做了大量的研究，并相繼投入試驗中。其中電動力繩索系統(當TSS的繩索導電時，簡稱EDT)的研究成為目前最活躍的一個分支。該系統不僅可用于大氣層測量等各種實驗，還可以將負載送入新軌道或衛星回收，以及空間站的機動等。TSS在傾斜圓軌道上運行時，若繩索中不通電流，系統將穩定在當地的垂線方向。若系統中通過電流，這種平衡位置消失，代之出現周期運動。前者的研究已經較為成熟，相比之下后者的研究還較欠缺，國內外學者做了一些初步的探討，結果表明當受到電動力影響時，系統的動力學行為相當豐富，會出現一些復雜的周期運動，在沒有外加控制的情況下，這種周期運動是不穩定的，不穩定源于非線性共振帶給系統的持續能量泵入［1，2］。

對ETD系統復雜動力學分析的程度取決于周期解求解算法的有效性，隨著研究的不斷深入，一些周期解求解算法相繼引入到該系統中，歸納起來可分為解析法與數值法兩大類。文獻［3］利用攝動法在攝動量較小的情況下求得了系統的周期解。文獻［4］給出了一種周期解的數值求解算法——預測校正法，算法每迭代一次需要完成預測與校正兩大步，計算量較大。文獻［5］給出了一種單自由度系統周期解的求解算法及其相應的穩定性判據，該算法實現起來比較容易。文中將該算法加以推廣，并應用到兩自由度系統中，得到理想的結果。

本文首先建立并簡化了電動力繩索系統的動力學模型，分別利用攝動法與數值法求得了系統的周期解，并利用文中所給數值算法中的穩定性判據加以理論分析，得出系統周期運動不穩定的結論。最后在Matlab中進行仿真驗證，結果表明，攝動量較小時，兩種方法求得的周期解基本相同，但當攝動量較大時，攝動法求得的周期解發生畸變，結果不夠理，此時通常借助數值算法求解。本文所給出的數值算法成功地求得了系統的周期解，彌補了攝動量較大時攝動法求解的不足，并且也克服了文獻［4］中的數值算法在求解系統周期解時計算量較大的困難。仿真結果同樣證實了系統周期運動的不穩定特性，即從任一周期解附近開始的運動，經過若干周期后完全發散直至失穩，為后續的控制工作奠定了基礎，也為以后電動力繩索系統的成功試驗提供了一定理論依據。

1 電動力繩索系統建模

為了更有效地研究電動力繩索系統受到電磁力影響時所表現出的復雜周期運動及其不穩定特性，在建立EDT模型時，做如下的假設:

① 假設地球是中心引力場，除地球中心引力和繩索電動力外，不考慮其它的干擾力;② 母星的質量遠遠大于繩索和子星的質量;③ 地球磁場為非傾斜偶極子模型，其磁場強度在繩索的長度方向上均勻分布;④母星被限制在圓軌道上，做開普勒運動;⑤ 繩索中電流恒定。

建立如下的三套右手直角坐標系:① 地心慣性坐標系OEXYZ，其中:OE為地球質心，OEX指向第一個升交點，OEZ沿地球自轉軸，OEY與其他兩軸構成右手坐標系。② 軌道坐標系oxyz，其中:o為母星質心，ox沿當地垂線方向指向天頂，oz垂直于軌道平面，oy與其他兩軸構成右手坐標系。③ 體坐標系Ox1y1z1，ox1固聯在繩索上(見圖1)，θ為繩索的面內擺角，φ為繩索的面外擺角(見圖2)。

圖1 電動力繩索系統的坐標系Fig.1 Coordinate frames of Electrodynamic Tether system

圖2 軌道坐標系與體坐標系的轉換關系Fig.2 Transformation from orbital coordinate frame to body coordinate frame

在沒有施加控制的情況下，系統只受重力梯力矩與電磁力矩的作用，利用歐拉角的轉換關系與拉格朗日方法，得到系統的無量綱動力學方程:

繩索矢量與地磁場矢量在軌道坐標系中表示為

對于一個絕緣的系繩(即ε=0)，方程組(3)存在奇點，解為平衡點，對應的位置(θ=φ=0)是系統的穩定位置，這種情況在文章［7］中已得到證實。但是，當系繩導電(即ε≠0)時，方程組(3)的平衡點消失，出現2π周期解［1］，在沒有外加控制的情況下，這種周期解不穩定。下面針對這種情況做詳細研究，分別采用解析法與數值法求取系統的周期解，并判斷其穩定性，最后進行仿真驗證。

2 EDT周期解求解及其穩定性分析

當繩索中有電流流過(ε≠0)時，系統的平衡位置(θ=φ=0)不再出現，代之表現為周期運動，周期大小取決于強迫項的周期值，也就是本文中的軌道周期值T=2π/ω，幅值取決于ε、i值的大小。然而獲得周期解是相當困難的，通常借助數值計算才能得到。當攝動量ε較小時，也可以通過攝動法求得周期解。

2.1 攝動法求解周期解

首先假設系統的周期解為x(ν，ε)，然后展開成ε的冪級數形式:

將上式代入到方程組(3)中，得到下面一系列的微分方程組:

在Matlab符號求解器的幫助下，由上述方程組的第一式解得派生系統的解，依次帶入下一式求出各階近似解，最后代回式(4)后得到原系統的周期解:

2.2 數值法求解周期解及其穩定性分析

當攝動量ε較小時，用攝動法求得的周期解跟數值方法得到的周期解基本相同，但當ε較大時，用攝動法求的周期解不理想，此時一般通過數值方法求系統的周期解［4，8］。文獻［5］給出了一種單自由度系統周期解的迭代算法及其穩定性判據，將該算法推廣應用到本文的兩自由度系統中，具體步驟如下:

方程(5)中有兩個可變參數，分別固定其中一個參數，改變另一個，求得對應的周期軌道族。

假設先固定i值，將ε看作變化量，則求解周期解的迭代算法可歸納為:在k步上假設ε=ε(k)，方程(4)近似解為X=X(k);改變ε，在第k+1步中令ε(k+1)=ε(k)+Δε(k+1)，設此時的解為 X(k+1)=X(k)+ΔX(k+1)，帶入式(4)得:

F'X、F'ε是具有周期時變系數的雅克比矩陣。式(7)是求解(4)的周期解的基本迭代關系式。若步長Δε(k)取很小時，可以得到很高的求解精度。作為迭代算法的第一步，取ε(1)=0。

式(6)是非線性齊次微分方程，其解由兩部分組成:ΔX(k+1)=yk+1+αYk+1。各部分解由下面相應的同倫方程求得，并且給出了所求周期解的穩定性判據，具體如下:

同樣，固定ε值，將i看作變化量，采用上述算法求得對應的基本周期軌道族。最后運用上述穩定性判據分析系統周期解的穩定性，結果表明所有的解都不穩定，下面的仿真結果也證實了這一特點。

3 仿真及結果分析

下面是分別采用上述攝動法與數值算法得到的若干參數下的系統基本周期解族圖及某任意一周期解表現出的不穩定特性圖。

圖3是采用攝動法求得的周期解，圖中系統參數取值為軌道傾角 i=40°，攝動量 ε =0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.7。圖4、圖5是采用數值算法得到的周期解族，其中圖 4 取值為 i=40°，ε =0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.7;圖 5 取值為 ε =1，i=20°、25°、30°、35°、40°。

對比圖3、圖4可知，在攝動量ε較小(對應圖中ε =0.1、0.2、0.3、0.4)時，攝動法求得的周期解與數值計算得到的結果基本相同，但當攝動量ε較大(對應圖中 ε=0.5、0.7)時，兩種算法得到結果相差甚大，此時攝動法失效，通常用數值法獲得周期解。從圖4、圖5中還可以看出，不同軌道傾角i、攝動量ε分別對應不同的周期解，隨著兩參數值的增大，所得周期解的幅值也相應地增大，即周期運動的幅度加大，不穩定性程度同樣加大。根據算法中給出的穩定性判據可知所有求得的周期解都不穩定，圖6是其中任意一個周期解(取值ε=1，i=40°)受到初始擾動后所表現出的不穩定特性，可以看出，即使系統受到一個很小的初始擾動，也就是從離目標軌道很近的點開始的運動，經過若干個軌道周期后，同樣完全偏離目標軌道直至失穩。

4 結論

本文對運行在傾斜圓軌道上的電動力繩索系統的動力學特性進行了分析研究，建立了系統的動力學方程，引入了一種新的周期解求解算法，并與攝動法求得的結果進行比較，結果表明在攝動量較大的情況下，文中給出的數值算法在求解周期解時具有很大的優越性。最后理論分析了所得周期解的穩定性，結果表明系統的周期運動是不穩定的，該研究結果進一步揭示了受到電磁力影響的電動力繩索系統與不受電磁力的常規繩系衛星系統動力學特性的不同，電動力繩索系統周期運動固有的不穩定性為后續的控制工作提出了要求，也為以后電動力繩索系統的成功試驗提供了一定理論依據。

［1］ Inarrea M，Pel ez J.Libration control of electrodynamic tethers using the extended time-delayed autos-ynchronization method［J］.Journal of Guidance，control，and Dynamics，2010，33(3):923－930.

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［3］ Peláez J，Lorenzini E C，et al.A new kind of dynamic instability in electrodynamic tethers［C］. Space flight mechanics 2000，Advances in the Astronautical Sciences，2000:449－476.

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［6］李德信，徐健學.求解非線性系統周期軌道及其周期的一種方法［J］.機械強度，2002，24(1):35－38.

［7］ Sun Q G，Van der Heijden G.A model for a 3D spinning rigid electro-dynamic tether［C］.Proc-eedings of international conferenceon nonlinearmechanics，Shanghai: Shanghai University，2007:672 －678.

［8］ Inarrea M.Chaos and its control in the pitch motion of an asymmetric magnetic spacecraft in polar elliptic orbit［M］.Chaos

，

solitons ＆ fractals.2007.

Periodic solutions and stability analysis for a electrodynamic tethered system

ZHANG Yong1，2

(1.Xi'an Railway Bureau，Xi'an 710015，China;2.Mechachonics T＆R institute，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)

Dynamic behavior of a electrodynamic tethered system operating in a circular inclined orbit was studied.The dynamic model of the system was described，the basic periodic solution was obtained using perturbation method and a new numerical method.The stability of the periodic solution was analyzed based on the stability criterion in the numerical algorithm and it was concluded that the system periodic motion is instable.Finally，two algorithms were compared with simulation.The results showed that the periodic solutions obtained with the two algorithms are the same basically when perturbation is smaller，but the periodic solutions obtained with perturbation method are distorted when perturbation is large，at this time the numerical algorithm is normally adopted;instability of the periodic solutions is also confirmed with the simulation results.

electrodynamic tethered system;periodic motion;periodic solution;stability analysis

V412.4

A

英國皇家學會王寬誠教育基金資助項目《Stability of Electrodynamic Space Tethers》(LJCina/2005R1);中英高校科研合作項目(CHINA-UK SCIENCE NETWORKS)《Control of Electro-dynamic Space Tethers》

2009－07－24 修改稿收到日期:2010－03－22

作 者 張 勇 男，碩士生，1984年生