大展弦比機(jī)翼氣動(dòng)顫振的有限元分析

楊瓊梁，史曉鳴，2，唐國(guó)安

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433;2.上海機(jī)電工程研究所)

大展弦比機(jī)翼氣動(dòng)顫振的有限元分析

楊瓊梁1，史曉鳴1，2，唐國(guó)安1

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433;2.上海機(jī)電工程研究所)

在Theodorsen二元?dú)鈩?dòng)力的基礎(chǔ)上，建立非定常氣動(dòng)力時(shí)域內(nèi)積分形式的表達(dá)式或者等價(jià)的頻域表達(dá)式，利用粘彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中對(duì)積分方程的等價(jià)變換將其寫(xiě)成與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程一致的二階常微分方程，將氣動(dòng)力的影響作為對(duì)結(jié)構(gòu)有限元模型質(zhì)量陣、剛度陣和阻尼陣的補(bǔ)充，保留了結(jié)構(gòu)原有的所有動(dòng)力學(xué)特性，并且能夠直接用計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的通用有限元軟件進(jìn)行空氣－結(jié)構(gòu)耦合的整體動(dòng)力學(xué)分析，適合應(yīng)用于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的氣彈問(wèn)題。氣動(dòng)力模型的建立可以利用各種試驗(yàn)及數(shù)值方法得到的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，適用性強(qiáng)。算例給出了大展弦比機(jī)翼的顫振邊界計(jì)算結(jié)果。

氣動(dòng)彈性;非定常氣動(dòng)力;顫振;有限元

氣動(dòng)彈性是研究彈性體與氣動(dòng)力之間相互作用的一門(mén)學(xué)科，是現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。其中，顫振是最引人關(guān)注的氣動(dòng)彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，顫振通常能導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)的毀滅性破壞［1］。由于氣彈分析中空氣與彈性體相互耦合，而目前還沒(méi)有一種分析工具能很好的對(duì)流體和彈性體兩者同時(shí)進(jìn)行分析計(jì)算，這也使得氣彈分析變得較為復(fù)雜。

目前常見(jiàn)的氣彈分析方法有:CFD/CSD耦合計(jì)算方法［2］和對(duì)氣動(dòng)力進(jìn)行簡(jiǎn)化后的快速工程分析方法，例如基于當(dāng)?shù)亓骰钊碚摰姆治龇ǎ?－5］。其中 CFD/CSD耦合法計(jì)算精度較高，但是采用CFD計(jì)算非定常氣動(dòng)力時(shí)計(jì)算量大，且要在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)交換CFD和CSD兩者的計(jì)算數(shù)據(jù)，造成整體的計(jì)算效率低;為了克服用CFD計(jì)算所帶來(lái)的計(jì)算困難，實(shí)際應(yīng)用中通常采用一些快速工程算法對(duì)非定常氣動(dòng)力計(jì)算做簡(jiǎn)化，如利用當(dāng)?shù)亓骰钊碚撚?jì)算氣動(dòng)力，但活塞理論只在來(lái)流馬赫數(shù)M∞?1的情況下有較為滿意的結(jié)果，計(jì)算范圍有所限制。

在上世紀(jì)90年代，Silva提出將Volterra級(jí)數(shù)理論用于非線性非定常氣動(dòng)力的建模，建立起具有積分形式的氣動(dòng)力降階模型，氣動(dòng)力計(jì)算精度高，并在一定程度上實(shí)現(xiàn)了氣動(dòng)力與結(jié)構(gòu)的解耦［6－7］，但是積分形式的氣動(dòng)力不屬于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)激勵(lì)載荷，從而造成計(jì)算復(fù)雜。本文的目的是在以積分形式表示的非定常氣動(dòng)力的基礎(chǔ)上，在時(shí)域內(nèi)將非定常氣動(dòng)力表示為與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程一致的二階常微分方程，從而將非定常氣動(dòng)力對(duì)結(jié)構(gòu)的影響表示為對(duì)結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量、剛度和阻尼，并以此為依據(jù)在物理坐標(biāo)下直接對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)力與結(jié)構(gòu)的解耦，在保留結(jié)構(gòu)完整的動(dòng)力學(xué)特性的條件下，應(yīng)用傳統(tǒng)的通用有限元軟件進(jìn)行空氣－結(jié)構(gòu)耦合的整體動(dòng)力學(xué)分析。

1 非定常氣動(dòng)力建模及氣動(dòng)力與結(jié)構(gòu)耦合

有限元離散模型表示的彈性機(jī)翼在非定常氣動(dòng)力作用下的振動(dòng)方程為:

其中u為結(jié)構(gòu)振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)位移向量;Ms，Cs和Ks為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;－fα為作用在結(jié)構(gòu)上的非定常氣動(dòng)力，通常可以表示為結(jié)構(gòu)位移、速度和加速度的函數(shù)。

Fung［8］給出了機(jī)翼在不可壓縮流中積分形式的升力系數(shù)和力矩系數(shù)，將氣動(dòng)力表示為:

其中Ma，Ca，Ka，Vp和Ap為相關(guān)的氣動(dòng)力參數(shù)。利用降階法［9］可以通過(guò)各種氣動(dòng)力計(jì)算方法或者試驗(yàn)得到頻域內(nèi)的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)點(diǎn)，并擬合成有理多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)Laplace變化就能得到如(2)所示的非定常氣動(dòng)力表達(dá)式。

將非定常氣動(dòng)力式(2)代入式(1)，得到結(jié)構(gòu)與氣動(dòng)力的耦合方程:

高淑華［10］在分析粘彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，證明了方程(3)表示的微分－積分型動(dòng)力學(xué)方程可以等價(jià)地變換成純微分型方程:

其中U1i、∑i等是矩陣Vp(p=1，…，k)的奇異值分解Vp=U1p∑pU2p。

周文博［11］利用這種等價(jià)變換的方法，分析了帶有控制面的三元機(jī)翼顫振問(wèn)題。證實(shí)了通過(guò)等價(jià)變換、可以利用通用有限元結(jié)構(gòu)分析程序?qū)崿F(xiàn)氣動(dòng)彈性耦合的顫振計(jì)算。但文獻(xiàn)［11］僅僅考慮了簡(jiǎn)單的機(jī)翼模型，機(jī)翼是用彈簧和扭簧連接的二自由度剛體，控制面為由扭簧連接到機(jī)翼的單自由度剛體。這種模型簡(jiǎn)化較大，與實(shí)際彈性機(jī)翼存在很大差異。

2 大展弦比三維彈性機(jī)翼與氣動(dòng)力耦合模型

用 彈性平板有限元模型表示大展弦比三維彈性機(jī)翼，如圖1所示。 氣 彈計(jì)算將采用MSC.Nastran有限元程序，平板表示為80個(gè)CQUAD單元、節(jié)點(diǎn)數(shù)為99。

圖1 大展弦比彈性機(jī)翼模型Fig.1 Model of the high-aspect ratio elastic wing

考慮到大展弦比機(jī)翼，機(jī)翼片條ab的弦向彈性彎曲可以忽略不計(jì)、弦向變形視為剛性，即直線ab變形后仍近似保持直線，其變形可以由某個(gè)節(jié)點(diǎn)的z向位移w(c)和繞x軸轉(zhuǎn)角θ(c)z來(lái)表示。作用在整個(gè)機(jī)翼上的氣動(dòng)力可以近似地認(rèn)為是由一系列作用在機(jī)翼片條上的氣動(dòng)力的累加，而片條上連續(xù)分布的氣動(dòng)力又可以簡(jiǎn)化為作用在節(jié)點(diǎn)c上的一對(duì)集中力(升力)L(c)和集中力矩M(c)。

其中ΔL(c)為片條長(zhǎng)度，系數(shù)見(jiàn)附錄。

3 大展弦比均勻直機(jī)翼顫振實(shí)例計(jì)算

根據(jù)片條理論將直機(jī)翼沿展向分為10塊，利用上述方法通過(guò)改變飛行速度V，得到每一塊的氣動(dòng)力附加矩陣。由于=0，即氣動(dòng)力和力矩的作用點(diǎn)取在翼面中點(diǎn)，利用上述得到的氣動(dòng)力附加矩陣修改該點(diǎn)的質(zhì)量、剛度、阻尼，最后用有限元分析程序(MSC.Nastran)的復(fù)特征值分析功能，計(jì)算空氣－結(jié)構(gòu)耦合情況下的復(fù)特征值，以特征值實(shí)部穿越零點(diǎn)作為依據(jù)來(lái)計(jì)算得到機(jī)翼的顫振邊界。文獻(xiàn)［12］中，將機(jī)翼近似為梁。計(jì)算結(jié)果表明第三階振型發(fā)生顫振，相應(yīng)的復(fù)特征值頻率的實(shí)部變化如圖2所示。本文計(jì)算所得到的顫振結(jié)果基本與文獻(xiàn)結(jié)果如表2所示，誤差小于6%，由于對(duì)氣動(dòng)力擬合時(shí)會(huì)引起一定誤差，增加擬合階數(shù)將有助于提高計(jì)算精度。

表1 大展弦比機(jī)翼參數(shù)Tab.1 Parameter of high －aspect ratio wing

表2 臨界顫振速度與頻率Tab.2 Critical flutter speed and frequency

圖2 第三階頻率實(shí)部Fig.2 Real part of the third mode

4 結(jié)論分析

利用粘彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中對(duì)積分方程的等價(jià)變換方法，推導(dǎo)了積分形式的非定常氣動(dòng)力與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程耦合的氣動(dòng)彈性分析方法，并以大展弦比直機(jī)翼有限元模行為算例，計(jì)算得到了其顫振頻率和顫振速度，驗(yàn)證了方法的可行性。

將氣動(dòng)力作為對(duì)有限元中結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣、剛度陣和阻尼陣的補(bǔ)充，完整保留了結(jié)構(gòu)原有的動(dòng)力學(xué)特性，避免了模態(tài)降階帶來(lái)的誤差。對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)具有較高的適應(yīng)性，不僅可以用于計(jì)算平板單元的顫振，對(duì)其它各類有限元單元，如桿系、殼體等單元同樣適用。直接利用有限元軟件進(jìn)行顫振分析，計(jì)算效率高。

文中的氣動(dòng)力模型來(lái)自于Theodorsen理論，但方法同樣適用于以一階Volterra級(jí)數(shù)表示的氣動(dòng)力降階模型。只要通過(guò)CFD全流場(chǎng)計(jì)算或者試驗(yàn)流場(chǎng)分析等手段得到氣動(dòng)力的卷積表達(dá)式，就能對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行氣動(dòng)－彈性耦合計(jì)算，具有很好的工程適用性。

［1］Dowell E H，Clark R，Cox D，et al.A Mordern Course in Aeroelasticity［M］.New York:Kluwer Academic Publishers，2004:1－5.

［2］ Chen X Y，Zhan G C，Hu Z J.Numerical Simulation of Flow Induced Vibration Based on Fully Couple Fluid-Structual Interactions［R］.AIAA-2004 －2240.

［3］楊炳淵，宋偉力.用當(dāng)?shù)亓骰钊碚撚?jì)算大功角翼面超音速顫振［J］.振動(dòng)與沖擊，1995，14(2):60－63.

［4］楊炳淵，宋偉力.前緣激波脫體的大迎角翼面顫振工程計(jì)算方法［J］.振動(dòng)與沖擊，2002，21(4):100－103.

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［6］張偉偉，葉正寅.基于非定常氣動(dòng)力辨識(shí)技術(shù)的氣動(dòng)彈性數(shù)值模擬［J］.航空學(xué)報(bào)，2006，27(4):579－584.

［7］張偉偉，葉正寅.基于CFD的氣動(dòng)力建模及其在氣動(dòng)彈性中的應(yīng)用［J］.力學(xué)進(jìn)展，2008，38(1):77－86.

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［10］高淑華，趙 陽(yáng)，等.粘彈性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的等效粘性阻尼算法［J］.振動(dòng)與沖擊，2005，24(1):18－21.

［11］周文博，陳力奮，楊瓊梁，等.基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法的氣動(dòng)彈性分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30(4):135－138.

［12］趙永輝.氣動(dòng)彈性力學(xué)與控制［M］.北京:科學(xué)出版社，2007，134－135.

附錄

式(6)中的系數(shù)

Flutter analysis for a high-aspect ratio wing with finite element method

YANG Qiong-liang1，SHI Xiao-ming1，2，TANG Guo-an1

(1.Department of Mechanics and Engineering Science，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433，China;2.Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute)

Expressions for unsteady aerodynamics in time domain or frequency domain were established based on Theodorsen theory.The expressions with integration were converted into second order ordinary differential equations.The effects of unsteady aerodynamic force on a structure were regarded as comlements of mass matrix，stiffness one and damping one of finite element model of a structure.The whole dynamic characteristics were retained.General finite element software could be used to calculate the flutter boundary of an air-structure coupled model.The method was suitable for solving aeroelastic problems of complex structures.The unsteady aerodynamic data obtained with any numerical method or test could be used to establish an unsteady aerodynamic model.The proposed method was applicable to different cases.The flutter boundary of a high-aspect ratio wing was calculated.

aeroelasticity;unsteady aerodynamics;flutter;finite element method

V211.47

A

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(90716001)

2010－05－21 修改稿收到日期:2010－08－20

楊瓊梁 男，博士生，1984年7月生

唐國(guó)安 男，教授，1962年生