基于ICMCM法的GARTEUR結構有限元模型修正研究

王金明，李偉明，彭明峰

(上海航天精密機械研究所，上海 201600)

基于ICMCM法的GARTEUR結構有限元模型修正研究

王金明，李偉明，彭明峰

(上海航天精密機械研究所，上海 201600)

改進的正交模型正交模態(ICMCM)法在進行模型修正過程中需要同時使用實驗測得的頻率及模態振型等數據。本文利用有限元模型的模態振型代替實驗測量的模態振型并通過迭代解決了模型修正過程中缺少實驗模態振型數據的問題，使ICMCM法具有更廣的應用范圍。根據國際認可的三級評價標準使用ICMCM法對GARTEUR飛機模型進行了修正，并與國際上其他單位的模型修正結果進行橫向比較，結果證明了本文改進方法的可行性及修正結果的優越性。

有限元法;模型修正;GARTEUR模型;迭代

為了能夠方便、快捷的掌握工程結構的動力學特性，研究人員大多采用對其建立有限元模型進行分析。現階段，航天器、橋梁等特殊用途的工程結構對有限元模型的精度及可靠性提出了更高的要求。但是，由于有限元建模過程中不準確的模型簡化以及材料、幾何參數的不確定性等因素造成有限元模型的計算結果與實驗樣機的測試結果之間往往存在著較大的差距，使得根據工程圖紙和經驗建立的有限元模型并不可靠，這時就需要利用模型修正技術來修正結構的有限元模型，提高其精度及可靠性［1－4］。

從1958年Gravitz［5］為解決飛機地面共振實驗中測量振型的正交化問題，提出依據實驗數據修正飛機結構的柔度矩陣以來，有限元模型修正技術取得了飛速的發展。目前有限元模型修正方法主要分為矩陣型模型修正方法和參數型模型修正方法兩大類，其中參數型模型修正方法由于其修正結果具有明確的物理意義并且便于大型工程分析軟件利用，因此受到越來越多的重視。2007年，Hu等［6］提出了一種參數型的模型修正方法，稱為正交模型正交模態法(Cross-model cross-mode method，簡稱CMCM法)，該方法不需要進行靈敏度分析并且具有良好的建模誤差判斷能力。另外，CMCM法不需要將實驗模態與有限元模態進行一一配對，在修正過程中實驗模態可以與任意一階有限元模型的模態進行組合，增加了修正方程的數量，從而極大地增加了修正參數的個數。然而李劍等人［7］指出在有限元模型計算得到的模態振型與實驗測量得到的模態振型相關性很好的情況下，CMCM方法容易在求解過程中出現分母為零或近似為零的情況而造成數值病態問題，并對CMCM法進行了改進，提出了改進的正交模型正交模態法(Improved cross-model cross-mode method，簡稱ICMCM法)。使用ICMCM法進行模型修正，需要同時使用有限元模型與實驗模型的頻率及模態振型數據，然而復雜結構的模態實驗有時很難測量得到理想的模態振型數據，因此就會造成模型修正中缺少實驗數據的問題，這種情況下就無法使用ICMCM法進行模型修正。

為了能夠對模型修正的質量進行評估，Link和Friswell［8］提出了評價模型修正效果的準則，對于頻率可以簡化為以下三條:① 修正后的有限元模型必須能夠準確地復現所使用頻段范圍內實驗模型的頻率;②修正后的有限元模型應當能夠預示修正所使用頻段范圍以外實驗模型的頻率;③ 修正后的有限元模型能夠準確預示實驗模型結構修改后的動力學特性，此處僅對實驗模型進行修改，有限元模型不重新進行修正，而是在上一步修正的基礎上根據實驗模型的結構修改情況做出相應的結構調整，獲得模態參數。

GARTEUR飛機模型是由法國國家航空航天研究院設計制造并由多家機構先后進行了多次動力學實驗［8］，目前該結構已成為國際公認的用于評估動力學實驗與模型修正技術的基準模型［8－10］。本文首先解決ICMCM法因缺少實驗數據而無法進行模型修正的問題，然后根據上述的三條模型修正評價標準并通過具體的實驗數據對GARTEUR飛機模型進行模型修正，最后與國際同行的修正結果進行橫向比較，驗證了ICMCM法以及本文所提出方法的優越性及可行性。

1 ICMCM法

假設有限元模型與實驗模型的系統矩陣之間存在如下關系

其中:K*和M*分別為實驗模態的剛度矩陣和質量矩陣;K、M為有限元模型的剛度矩陣和質量矩陣，Kn、Mn分別為有限元模型第n個子單元的剛度矩陣、質量矩陣對系統整體矩陣的貢獻;αn、βn分別為第n個單元的剛度修正因子及質量修正因子，Ne表示有限元模型單元的個數。

Hu等［6］對特征方程考慮實驗模態與有限元模態的混合加權后得到:

CMCM法在公式推導過程中采用式(2)除以式(3)的方法得到修正方程。但是，當有限元模型的模態振型與實驗模型測量得到的模態振型之間相關性較好時容易在修正公式中出現分母為零或者近似為零的情況而造成數值病態問題。李劍等［7］對此做出改進，使用式(2)減去式(3)并利用式(1)，經過整理得到:

假設使用的有限元模態為nf階，實驗模態為nt階，則式(6)代表了nf×nt個線性方程。對式(6)進行求解得到參數修正量αn及βn，然后通過式(1)獲得修正后的有限元模型。通過對CMCM進行改進得到的新的模型修正方法稱為ICMCM法。

使用ICMCM法進行模型修正時，需要同時使用有限元模型與實驗模型的頻率及模態振型數據，然而對于復雜結構的模態實驗有時很難測量得到實驗模態數據，因此就會造成模型修正過程中缺少實驗數據的問題。為了解決該問題，本文采用傳統的模態擴展方法，即直接使用有限元模型的模態振型Φ代替實驗測試得到的模態振型Φ*，并通過迭代來不斷的修正臨時使用的模態振型，通過這種迭代過程不但可以解決缺少實驗數據的問題而且還可以避免自由度匹配的過程，極大的增加模型修正方程的個數，進而增加修正參數的數量。具體的迭代過程如圖1所示，其中ωk+1與Φk+1為第k次迭代過程中計算得到的有限元模型的頻率及模態振型。

圖1 模型修正流程圖Fig.1 Simulation procedure of model updating

2 GARTEUR飛機模型有限元模型修正

GARTEUR飛機模型是具有12個成員的歐洲航空科技研究組織結構與材料工作組建立的一個典型的標準飛機模型，該項目啟動于1995年由法國國家航空航天研究院設計制造并由多家機構先后進行了多次動力學實驗。該飛機模型具有真實飛機的高柔度、模態頻率低且密集的特點，目前已經被歐洲航空科技組織作為評估實驗分析技術與模型修正技術的基準模型。該模型機身全長1.5 m，翼展2 m，結構總重44kg。為了增加機身阻尼，機翼上附著了一層1.1×76.2×1 700 mm3的粘彈性阻尼層，如圖2所示。

為了能更深入的評價有限元模型修正的效果，Link和Friswell［8］詳細介紹了兩種對于初始GARTEUR飛機模型的局部修改的情況，如圖2所示。修改1為在飛機的水平尾翼上增加一個0.92 kg的集中質量;修改2為用0.72 kg的黃銅代替飛機機翼左側翼尖的0.15 kg的集中質量。對初始GARTEUR模型的結構修改對于評價有限元模型修正的結果以及評價模型修正參數的準確性具有重要的價值。GARTEUR模型小組對初始模型以及兩種修改后的模型分別進行了高精度的模態實驗。初始模型共測量得到14階頻率及模態振型，其中在模型修正過程中僅使用前9階實驗數據，后5階實驗數據根據模型修正評價標準的第二條校核修正后有限元模型的準確性;兩種結構修改的目的為根據模型修正評價標準的第三條，分別使用結構修改后實驗測得的前10階數據，對上一步修正后有限元模型的可靠性做進一步檢驗。

2.1 對初始GARTEUR結構模型的修正

本文利用Ansys軟件對GARTEUR飛機結構建立有限元模型，如圖3所示。有限元模型含有50個節點，49個梁單元，2個集中質量，共51個單元，300個自由度，有限元模型總重42.339 kg。使用梁單元模擬機身與機翼、機身與垂直尾翼、垂直尾翼與水平尾翼以及機翼與左右兩小翼之間的復雜連接，然后將Ansys軟件建立的模型導入到Matlab軟件中進行模型修正。修正前有限元模型頻率與實驗實測頻率的對比見表1。由表1可以看到，初始有限元模型的前9階頻率最大誤差為7.335 3%，平均誤差為4.596 4%，后5階頻率的最大誤差為5.985 1%，平均誤差為2.947 2%，這說明由于GARTEUR結構的復雜性及參數的不確定性，造成了有限元建模的困難，導致有限元建模結果與實驗測試結果相差較大，需要使用模型修正技術提高有限元模型的精度及可靠性。

表1 修正前后有限元模型與實驗測試頻率比較Tab.1 Frequency comparison between finite element model and test data before and after model updating

由于在進行模型修正前只獲得了GARTEUR模型實驗的頻率數據，未能得到模態振型數據，對此采用本文提出的改進方法即利用有限元模型的模態振型代替實驗的模態振型，并結合迭代過程不斷的進行修正。修正時僅使用實驗的前9階頻率數據，10－14階頻率用來檢查修正后的模型是否具有預示修正頻段外頻率的能力。

在模型修正中，為了能夠得到滿意的模型修正結果，需要合理的選取待修正參數。目前選取待修正參數的方法大多依賴靈敏度分析，該類方法主要選取一些對目標函數靈敏度大的參數進行修正。但是，靈敏度大的參數不一定是存在建模誤差的參數［11，12］。因此，基于靈敏度分析的待修正參數選取結果有時并不符合結構真實的情況。利用本文提出的方法對GARTEUR模型進行模型修正，根據經驗選取了建模中材料參數不確定的5個連接部位及其附近部位共26個單元作為待修正單元，添加修正后結構總質量為44 kg的物理約束，以單元的楊氏模量及密度作為待修正參數，修正參數總數為52，采用正則化方法對修正方程進行求解，依靠數學方程自動地對存在建模誤差的參數進行計算，得到參數的修正量。

圖4 單元楊氏模量修正量Fig.4 Updating results of element Young’s modulus

圖4表示參與修正的26個單元的楊氏模量的修正情況。由圖4可以看出，單元楊氏模量的修正量與結構真實的狀態基本相符，第5單元為機身與機翼之間的連接單元，是整個飛機結構中參數最難以掌握的部位，由于初始建模時楊氏模量取值較小，而真實的連接部位剛度很大，因此該參數獲得了較大的修正量。圖5表示參與修正的26個單元密度的修正情況。由圖5可以看出，單元密度的修正量均未超過12%，符合結構真實的狀態。

圖5 單元密度修正量Fig.5 Updating results of element density

頻率修正結果見表1。對初始有限元模型進行修正后，有限元模型的總質量由42.339 kg變為44 kg整，質量的誤差由3.78%變為0，由表1可以看到，修正過程中所使用的前9階頻率最大誤差由7.3353%變為3.203 7%，平均誤差由 4.596 4%變為 0.970 6%，作為校核模型修正效果的后5階頻率最大誤差由5.985 1%變為－5.273 6%，平均誤差由2.9472%變為2.075 8%。數據表明，修正后的有限元模型不但在所使用頻段內誤差極大的降低，而且未參與修正的后5階頻率也變得更加的精確。修正后有限元模型的前兩階頻率的誤差較其它幾階頻率大，可能是因為本文并未考慮機翼上粘性阻尼層的原因。

2.2 修正后的模型對修改后GARTEUR模型動力學

特性的預示

為了進一步對初始有限元模型修正結果進行評估，GARTEUR小組對實驗模型進行了兩種結構修改。對此，在上一節修正后有限元模型的基礎上不重新進行修正，而是根據實驗修改狀況做出相應的調整，得到修改后有限元模型的頻率，與修改后GARTEUR模型的實測頻率進行比較，這樣做的目的是為了防止對初始有限元模型進行修正時只關注修正的數學結果，避免修正結果與結構真實狀態不符。好的模型修正結果應該能準確的預示實驗模型進行局部修改后的動力學特性。

結構修改1即尾翼修改的修正前后頻率比較見表2，修正前頻率的平均誤差為3.723 6%，最大誤差為5.411 1%，修正后頻率的平均誤差變為1.025 1%，最大誤差變為－2.813 4%。結構修改2即機翼修改同樣可以得到理想的預示結果，修正前后頻率比較見表3，修正前頻率的平均誤差為3.427 8%，最大誤差為6.711 1%，修正后頻率的平均誤差變為1.260 6%，最大誤差變為－4.487 0%。綜合上述兩種結構修改的比較結果，修正前頻率誤差超過2%的個數為15個，超過5%的個數為4個，對初始有限元模型進行修正再做相應的修改后頻率誤差超過2%的個數為4個，未出現頻率誤差超過5%情況。說明上一節的模型修正的結果能夠準確的預示實驗模型進行局部修改后的動力學特性，修正后的模型已達到了國際上認可的三級模型修正評價標準。

表2 有限元模型預示頻率與測量頻率的對比－尾翼修改Tab.2 Comparison between measured frequencies and finite element predictions-tail modification

表3 有限元模型預示頻率與測量頻率的對比－機翼修改Tab.3 Comparison between measured frequencies and finite element predictions-wing modification

表4 GARTEUR模型修正橫向對比－尾翼修改Tab.4 Horizontal comparison of the GARTEUR updating-tail modification

表5 GARTEUR模型修正橫向對比－機翼修改Tab.5 Horizontal comparison of the GARTEUR updating-wing modification

表4與表5為本文對GARTEUR模型進行修正的結果與國際上7家同行模型修正結果的橫向對比。其中表4為結構修改1的模型修正結果的橫向對比，表5為結構修改2的模型修正結果的橫向對比。

由于各家單位在所用的修正方法、修正參數、計算方法等方面均有不同，因此模型修正的結果也差異較大，并且沒有某家單位的修正結果在各個指標上均處于第一的位置。由表4與表5所示結果可以看到，在最大誤差、修正后頻率誤差超過2%的個數及超過5%的個數和平均誤差等4個指標來看，本文的模型修正結果已達到國際同期先進水平。另外，有些模型修正方法需要同時使用實驗測量的頻率以及振型的數據，但是有些實驗對于模態振型的測試比較困難，因此容易造成修正過程中缺少實驗數據的問題，本文使用有限元模態振型代替實驗模態振型，并通過迭代解決了上述問題，并且依然得到了很好的模型修正效果。

3 結論

本文利用ICMCM法對經典的GARTEUR飛機模型修正問題進行了研究，使用有限元模態代替實驗模態并進行迭代，解決了缺少實驗模態振型數據的問題。利用Ansys軟件建立了GARTEUR飛機結構的模型，并使用ICMCM模型修正方法對其進行修正。修正前后數據比較表明本文的模型修正結果達到了國際上認可的三級模型修正評價標準，最后與國際同行的修正結果進行對比，證明了本文的修正結果達到了國際同期先進水平。以上的研究表明，本文提出的解決缺少實驗數據問題的辦法是可行的，同時證明了ICMCM法對于復雜的對象具有較高的模型修正能力。

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Finite element model updating for GARTEUR benchmark model based on ICMCM method

WANG Jin-ming，LI Wei-ming，PENG Ming-feng

(Shanghai Spaceflight Precision Machinery Research Institute，Shanghai 201600，China)

In the model updating process，the experimentally measured frequenices and modal shapes should be used simultaneously when employing improved cross-model cross-mode(ICMCM)method.Here，the modal shapes of the finite element model of a structure were taken as those of its test model and then iterations were used to circumvent the drawback of lacking test modal shapes.Model updating for GARTEUR benchmark model using ICMCM method based on three international criteria and result comparisons with those of other foreign institutions using a traditional model updating method were presented.Results showed the feasibility of the ICMCM method and the advantages of the updated results for GARTEUR benchmark model.

finit element method;model updating;GARTEUR model;iteration

O326;V414.1

A

2011－02－23 修改稿收到日期:2011－03－03

王金明 男，1974年10月生

李偉明 男，博士，1982年01月生