剛性轉(zhuǎn)子自動(dòng)平衡尋優(yōu)控制方法與實(shí)驗(yàn)研究

黃立權(quán)，王維民，蘇奕儒，李 燕，高金吉

(北京化工大學(xué) 診斷與自愈工程研究中心，北京 100029)

剛性轉(zhuǎn)子自動(dòng)平衡尋優(yōu)控制方法與實(shí)驗(yàn)研究

黃立權(quán)，王維民，蘇奕儒，李 燕，高金吉

(北京化工大學(xué) 診斷與自愈工程研究中心，北京 100029)

在線消除轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)對(duì)保證旋轉(zhuǎn)機(jī)械的可靠和高效運(yùn)行是至關(guān)重要的。在轉(zhuǎn)子振動(dòng)控制初期，需要一個(gè)試探性的控制力，該力可能會(huì)使系統(tǒng)振動(dòng)加劇或減小，這取決于控制力與原激振力相位之間的關(guān)系。為此該研究在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及電磁力可控特性分析的基礎(chǔ)上對(duì)控制力相位進(jìn)行區(qū)域劃分，建立系統(tǒng)尋優(yōu)控制模型并提出具體尋優(yōu)策略;采用有限元分析的方法獲取工作轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)理論滯后角，初步確定控制力相位;以此相位值作為尋優(yōu)參數(shù)起始值，按照既定尋優(yōu)策略實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子自動(dòng)平衡控制，并確保控制全過(guò)程轉(zhuǎn)子振幅不大于初始不平衡故障振幅;最后建立實(shí)驗(yàn)臺(tái)并對(duì)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法是有效的。

電磁力;自動(dòng)平衡;自愈調(diào)控;有限元分析;尋優(yōu)控制

工業(yè)生產(chǎn)中，旋轉(zhuǎn)機(jī)械不平衡故障振動(dòng)導(dǎo)致的停產(chǎn)事故通常會(huì)造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失。該類故障可采用動(dòng)平衡技術(shù)進(jìn)行消除，但動(dòng)平衡技術(shù)工作量大，效率低，且需熟練的平衡技巧［1］。因此，研究一種能夠在線抑制振動(dòng)的控制策略，實(shí)現(xiàn)故障的自愈調(diào)控，具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值［2］。

隨著技術(shù)的發(fā)展，旋轉(zhuǎn)機(jī)械對(duì)自動(dòng)平衡控制技術(shù)提出了更高的要求，比如更快的控制響應(yīng)速度，更高的控制精度等。通常情況下，不平衡振動(dòng)對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言是一種有害運(yùn)動(dòng)，在振動(dòng)控制的初始試探階段，由于試探控制力相位選取不當(dāng)可能會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)加劇，從而帶來(lái)不良后果。所以在滿足高精度和快速性等控制要求的情況下，避免振動(dòng)加劇的控制要求也應(yīng)給予考慮。也即穩(wěn)定工作狀態(tài)時(shí)，在轉(zhuǎn)子故障振動(dòng)的基礎(chǔ)上施加控制后，確保對(duì)應(yīng)振動(dòng)響應(yīng)幅值在控制時(shí)域內(nèi)不大于轉(zhuǎn)子原始故障振動(dòng)幅值。隨著電磁技術(shù)的進(jìn)步，電磁作用力式平衡裝置［3］在轉(zhuǎn)子平衡領(lǐng)域的應(yīng)用研究有所發(fā)展，其平衡原理是向轉(zhuǎn)子提供可控的旋轉(zhuǎn)矢量電磁力來(lái)克服激振力。電磁力的可控特性為轉(zhuǎn)子振動(dòng)無(wú)加劇控制的實(shí)現(xiàn)提供了可能。

基于此，本研究提出在電磁作用力式平衡裝置的基礎(chǔ)上，采用尋優(yōu)算法與有限元［4］轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子自動(dòng)平衡，且確保控制過(guò)程中轉(zhuǎn)子振動(dòng)不大于原始故障振動(dòng)幅值。最后在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，研究結(jié)果表明該方法是有效的。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型分析

設(shè)有一轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，原有不平衡激振力為{Fu}，

引入電磁控制力{Fc}后系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為［5］:

系統(tǒng)引入的電磁控制力由電磁軸承產(chǎn)生，也有文獻(xiàn)稱該類型裝置為電磁式作動(dòng)器［6］。圖1所示為電磁作用力式平衡裝置所在系統(tǒng)的第i個(gè)截面上電磁力與不平衡激振力作用示意圖。

圖1 電磁力執(zhí)行裝置及作用力示意圖Fig.1 Electromagnetic actuators and force diagram

在該截面處轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型可描述為:

式中Fui為工作轉(zhuǎn)速下，由系統(tǒng)在截面i處的當(dāng)量不平衡質(zhì)量m在離轉(zhuǎn)子幾何中心r處引起的不平衡激振力;Fci為電磁平衡控制力;i為激振力和控制力所在的力學(xué)模型中的節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

電磁力是被控對(duì)象位移和控制電流的非線性函數(shù)［7］，其線性化公式如下所示［8］:

式中ki和kx為電磁系統(tǒng)參數(shù)。在本系統(tǒng)中，電磁平衡裝置不承受靜態(tài)載荷，(3)式可簡(jiǎn)化為:

將式(4)代入式(2)并移項(xiàng)整理得到下式:

上式中kii表示由磁極線圈控制電流產(chǎn)生的電磁力，可記為Fci(i)，則上式轉(zhuǎn)化為:

式中K*為總剛度。為敘述方便，F(xiàn)ci(i)仍然記為Fci。在圖1所示的示意圖上，將x方向的電磁線圈中的控制電流記為ix，y方向線圈中的控制電流記為iy，則磁極線圈控制電流可表示為下式:

i表示磁極線圈電流，對(duì)應(yīng)Ii為電流幅值，φi為初始相位。顯然如果能夠協(xié)調(diào)控制磁極線圈的電流，則可實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁力大小、方向和旋轉(zhuǎn)速度的控制。對(duì)應(yīng)控制電磁力表達(dá)式以及系統(tǒng)不平衡激振力為:

線性系統(tǒng)滿足疊加原理，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)界面i處的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)為:

式中zui和zci分別為轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)i處由不平衡激振力Fui和控制力Fci引起的振動(dòng)響應(yīng)。不平衡振動(dòng)消除的本質(zhì)是不平衡力的消除，顯然轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)的抑制，可通過(guò)對(duì)激振力的消除來(lái)實(shí)現(xiàn)。通過(guò)上面的理論分析可知，利用可控電磁力消除系統(tǒng)不平衡激振力來(lái)實(shí)現(xiàn)不平衡振動(dòng)抑制的方法是可行的。

2 控制系統(tǒng)及轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)調(diào)控方法

2.1 控制力相位區(qū)域劃分

在轉(zhuǎn)子振動(dòng)在線控制初期，需要一個(gè)試探性的控制力，這個(gè)力可能會(huì)使系統(tǒng)原始故障振動(dòng)加劇或者減小，這取決于控制力與不平衡激振力相位之間的關(guān)系，為此對(duì)控制力相位進(jìn)行分析如下。

圖2 系統(tǒng)作用力平衡示意圖Fig.2 System force balance diagram

圖2所示為系統(tǒng)作用力平衡示意圖。在不影響控制精度的情況下，依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，試探控制力幅值按照下式選取:

Fu為系統(tǒng)不平衡激振力，F(xiàn)c1、Fc2、Fc3為圖2中所示幅值相等而相位不同的試探控制力。

β為控制力Fc與不平衡激振力Fu的夾角，

為便于分析，規(guī)定控制力對(duì)轉(zhuǎn)子原始振動(dòng)起加劇作用的相位區(qū)域?yàn)樨?fù)作用區(qū)，用N(negative)表示，對(duì)應(yīng)區(qū)域大小為(0，β*)∪(2π － β*，2π)，φN為 N 區(qū)域內(nèi)相位角;控制力起抑振作用的相位區(qū)域?yàn)檎饔脜^(qū)，用P(positive)表示，對(duì)應(yīng)區(qū)域大小為(β*，2π －β*)，φP為P區(qū)域內(nèi)相位角，顯然最佳控制力相位φ*P必定位于P區(qū)。在相位β*處，控制力對(duì)振動(dòng)抑制作用的貢獻(xiàn)為零，故可稱β*為非調(diào)相位;同理φ*P可稱之為準(zhǔn)調(diào)相位。

2.2 系統(tǒng)控制模型及轉(zhuǎn)子自動(dòng)平衡方法分析

基于系統(tǒng)力學(xué)模型的理論推導(dǎo)和分析知道，電磁力與磁極線圈電流及轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)均存在線性關(guān)系，依此可建立磁極線圈電流與轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:

式中的h為轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)z與磁極線圈電流i之間的線性映射關(guān)系。由于轉(zhuǎn)子不平衡激振力消除的直接表現(xiàn)為相應(yīng)振動(dòng)的消除，因此如何尋求與轉(zhuǎn)子最小振動(dòng)響應(yīng)對(duì)應(yīng)的磁極線圈電流成為系統(tǒng)控制的核心問(wèn)題。因此該系統(tǒng)在本質(zhì)上可歸結(jié)為以轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的最小幅值為尋優(yōu)目標(biāo)，磁極線圈電流的幅值和相位為尋優(yōu)參數(shù)的尋優(yōu)控制問(wèn)題。建立控制模型的尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)如下:

Ai，φi分別為電流幅值和相位，z為振幅。

在明確尋優(yōu)參數(shù)和性能指標(biāo)的前提下，如何進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)是控制系統(tǒng)實(shí)施的核心問(wèn)題。參考文獻(xiàn)［9］的分步控制法，本研究對(duì)磁極線圈電流的控制分為兩個(gè)過(guò)程:電流定幅值尋相位過(guò)程和定相位尋幅值過(guò)程。在振動(dòng)平衡控制技術(shù)中，相位平衡過(guò)程最為復(fù)雜和重要，某種程度上相位的找準(zhǔn)是決定控制效果的關(guān)鍵因素。以下主要進(jìn)行定幅值尋相位控制過(guò)程的設(shè)計(jì)和分析。

根據(jù)上述分析設(shè)計(jì)定幅值整周搜索相位策略，以電流相位φi作為尋優(yōu)參數(shù)，殘余振動(dòng)幅值z(mì)的平方最小為尋優(yōu)指標(biāo)，電流相位的變換次數(shù)為約束條件，建立單參數(shù)帶約束尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，

其中n為搜尋次數(shù)，Δφ為相位搜尋步長(zhǎng)。

結(jié)合前面對(duì)作用力相位區(qū)域的分析可知，顯然定幅值整周搜索相位算法的相位搜索空間包括了N區(qū)和P區(qū)，則控制過(guò)程中必然存在振動(dòng)加劇過(guò)程。如果初始控制相位位于P區(qū)，對(duì)整周尋優(yōu)模型進(jìn)行改進(jìn)如下所示:其中ΔφP=2π－2β*，即當(dāng)作為尋優(yōu)參數(shù)的電流相位φi的初值位于P區(qū)時(shí)，并保證整個(gè)搜索控制過(guò)程在P區(qū)完成，則理論上可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動(dòng)無(wú)加劇自動(dòng)平衡。磁極線圈控制電流的相位初值可通過(guò)振動(dòng)相位與系統(tǒng)滯后角相結(jié)合的方法確定。

2.3 控制系統(tǒng)的建立

通常情況下，系統(tǒng)不平衡激振力的相位無(wú)法直接測(cè)取，而振動(dòng)響應(yīng)的相位是可以直接獲得的，顯然系統(tǒng)滯后角是求解平衡相位的關(guān)鍵。滯后角包括系統(tǒng)機(jī)械滯后角和測(cè)控系統(tǒng)滯后角，由于測(cè)控導(dǎo)致的滯后通常很小，可以忽略。因?yàn)橄到y(tǒng)結(jié)構(gòu)及裝配尺寸容易獲得，考慮采用有限元轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析軟件構(gòu)建系統(tǒng)模型，對(duì)工作轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)模型進(jìn)行辨識(shí)的方法獲取所需系統(tǒng)滯后角，當(dāng)控制系統(tǒng)工作時(shí)可以直接調(diào)用已獲取的滯后角參數(shù)。該方案將大大縮短系統(tǒng)計(jì)算工作量，并加快控制系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)速度。

根據(jù)以上分析建立控制系統(tǒng)，如圖3所示:

圖3 控制系統(tǒng)示意圖Fig.3 Control system diagram

為表述清楚，對(duì)系統(tǒng)圖3中各個(gè)環(huán)節(jié)的輸入輸出量進(jìn)行描述如下:

上面各式中的A為幅值，φ為相位。另外圖中的zi為測(cè)控系統(tǒng)提取的振動(dòng)信號(hào)，φ為工作轉(zhuǎn)速下的系統(tǒng)機(jī)械滯后角(由有限元軟件分析獲得)。

該系統(tǒng)以磁極線圈電流為輸入，轉(zhuǎn)子作為控制對(duì)象，轉(zhuǎn)子振動(dòng)作為輸出。轉(zhuǎn)子在穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下，不平衡激振力引起的振動(dòng)視作擾動(dòng)，其響應(yīng)為zd;電磁控制力作用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生的補(bǔ)償振動(dòng)為zc;系統(tǒng)最終振動(dòng)視為殘余振動(dòng)e=zd+zc;振動(dòng)控制器依據(jù)系統(tǒng)殘余振動(dòng)向轉(zhuǎn)子提供所需的控制電流i;電磁力執(zhí)行單元根據(jù)控制信號(hào)產(chǎn)生所需電磁力Fc，至此構(gòu)成閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)。

3 實(shí)驗(yàn)臺(tái)及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真

3.1 實(shí)驗(yàn)臺(tái)介紹

為驗(yàn)證控制算法的可行性及有效性，以石化工業(yè)中離心壓縮機(jī)為背景，搭建如圖4所示實(shí)驗(yàn)臺(tái)，模擬壓縮機(jī)實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)中葉輪不平衡故障。在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)子由20 kw電主軸直接驅(qū)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸長(zhǎng)876 mm，左右由兩個(gè)可傾瓦軸承做支承形成單跨轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，軸承跨距是490 mm，轉(zhuǎn)軸直徑為50 mm;為模擬壓縮機(jī)中葉輪，在軸承跨內(nèi)如圖安裝一個(gè)直徑270 mm、厚度25 mm的飛輪，飛輪上圓周均布有16個(gè)M 8的螺紋孔，通過(guò)螺紋孔安裝所需質(zhì)量塊來(lái)模擬轉(zhuǎn)子在運(yùn)行過(guò)程中的不平衡量。在連軸器上加工一個(gè)鍵槽，通過(guò)鍵相傳感器檢測(cè)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)速度，同時(shí)也作為控制系統(tǒng)0相位標(biāo)志。實(shí)驗(yàn)臺(tái)中電磁平衡裝置安裝在飛輪旁邊，如圖所示安裝位置，兩者盡可能接近，以便能夠模擬單平面轉(zhuǎn)子。在電磁裝置上安裝電渦流振動(dòng)位移傳感器，用來(lái)測(cè)量轉(zhuǎn)子振動(dòng)，在可傾瓦軸承處也裝有位移傳感器，并通過(guò)OR38動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀監(jiān)測(cè)平衡效果。

圖4 實(shí)驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖Fig.4 Experiment device

3.2 實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真

為了獲取轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)機(jī)械滯后角，利用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)有限元分析軟件DyRoBes_Rotor，建立了如圖5所示的實(shí)驗(yàn)臺(tái)有限元模型。

圖5 轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)裝置有限元模型Fig.5 Finite element model of rotor experiment device

模型中可傾瓦軸承的剛度和阻尼系數(shù)用DyRoBes_Beperf軟件分析，軸瓦結(jié)構(gòu)參數(shù)及軸承剛度和阻尼系數(shù)如圖6所示。

在電磁轉(zhuǎn)子上施加1 000 g·mm的不平衡量進(jìn)行不平衡響應(yīng)的計(jì)算。此時(shí)右側(cè)軸承(13號(hào)節(jié)點(diǎn))處的不平衡響應(yīng)如圖7所示。圖中的Probe1(x)所指曲線代表水平向測(cè)振處轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)響應(yīng)曲線;Probe2(y)所指曲線代表豎直向測(cè)振處的振動(dòng)響應(yīng)曲線。從圖7的分析結(jié)果可知，該實(shí)驗(yàn)裝置一階臨界轉(zhuǎn)速為6 600 r/min。在2 100 r/min和3 000 r/min時(shí)，13號(hào)節(jié)點(diǎn)不平衡響應(yīng)的相位分別為68.37°和81.89°。該角度即為右軸承處的振動(dòng)相位相對(duì)于控制力的相位的滯后角。

在本文的控制算法中，將實(shí)際測(cè)得的振動(dòng)相位減去滯后角再加180°即為所需要施加的控制力的相位。當(dāng)然計(jì)算得到的滯后角會(huì)因?yàn)榻r(shí)的簡(jiǎn)化及軸承參數(shù)、供油溫度的不確定性而有所偏差。但是按照這種方法計(jì)算得到的控制力相位使得第一次試探力就處在“P”區(qū)，使得控制效率更好，且在整個(gè)控制過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)加劇的情況。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在前面系統(tǒng)分析的指導(dǎo)下完成了控制程序的設(shè)計(jì)，為了驗(yàn)證實(shí)際控制系統(tǒng)的工作效果，在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行了不同轉(zhuǎn)速下的實(shí)驗(yàn)，并通過(guò)OR38動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀監(jiān)測(cè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)情況，控制效果如圖8和9所示。

以圖8中2 100 r/min下轉(zhuǎn)子振動(dòng)無(wú)加劇控制過(guò)程為例進(jìn)行分析:階段①為系統(tǒng)未加控制時(shí)初始振動(dòng)狀態(tài);階段②為在有限元分析獲得的系統(tǒng)理論滯后角的指導(dǎo)下，結(jié)合系統(tǒng)在線測(cè)量辨識(shí)獲得的振動(dòng)相位求得系統(tǒng)平衡相位后，在P區(qū)進(jìn)行定幅值尋相位的控制過(guò)程;階段③為系統(tǒng)在求得平衡相位的基礎(chǔ)上，進(jìn)行定相位尋幅值的控制過(guò)程;階段④為在系統(tǒng)獲取最佳幅值和相位控制參數(shù)后的控制狀態(tài)。圖9振動(dòng)控制過(guò)程趨勢(shì)分析與圖8相似。通過(guò)2 100 r/min和3 000 r/min兩個(gè)轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的控制效果圖不難發(fā)現(xiàn)，整個(gè)平衡控制過(guò)程沒(méi)有振動(dòng)加劇的出現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的自動(dòng)平衡控制，并且最終系統(tǒng)振動(dòng)峰峰值都小于10 um，振動(dòng)從最大值到最小穩(wěn)定值所用時(shí)間都在4秒以內(nèi)，達(dá)到所希望的效果，驗(yàn)證了算法的正確性。

5 結(jié)論

本文在理論分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合電磁作用力式平衡裝置的特點(diǎn)建立控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)控制，并且確保振動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)子振幅不大于原始故障振動(dòng)幅值。對(duì)控制力作用相位進(jìn)行區(qū)域劃分;利用有限元軟件對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行工作轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)仿真分析，獲取所需理論滯后角;在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了定幅值尋相位的控制算法。為了實(shí)驗(yàn)的完整性，在相位尋優(yōu)結(jié)束后，采用等步長(zhǎng)搜索算法進(jìn)行了定相位尋幅值過(guò)程，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)臺(tái)在不同工作轉(zhuǎn)速下對(duì)算法進(jìn)行了有效性驗(yàn)證工作，并得到相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本研究所提出的算法可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)無(wú)加劇控制，實(shí)驗(yàn)過(guò)程與理論分析吻合。

由于本實(shí)驗(yàn)?zāi)壳把芯恐攸c(diǎn)關(guān)注平衡相位的控制過(guò)程，下一步將考慮在平衡控制相位找準(zhǔn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行定相位尋幅值的控制研究，以期提高幅值的尋優(yōu)精度和效率。

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Optimal control method and test for rigid rotor auto-balancing

HUANG Li-quan，WANG Wei-min，SU Yi-ru，LI Yan，GAO Jin-ji

(Diagnosis and Self-recovery Research Center，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China)

It is very important to eliminate online vibration of a rotor system in order to ensure reliable and efficient rotating machinery operation.In early period of rotor vibration control，a tentative control force is needed.The force may make the system vibration rise or drop，which depends on the relationship between the control force phase and the excitation force phase. Here， based on the rotor system dynamic analysis and controllable characteristics of electromagnetic force，the regional division of the control force phase was done.And the control model was built and some specific optimization strategy was proposed.The finite element analysis method was used to gain the system theoretic lagging angle under working speed.The phase of the control force was determined and this phase was used as the initial value of the optimal parameter to ensure the vibration amplitude being not larger than the initial fault amplitude of the rotor during control.Finally，the test table was established and the test results showed that the proposed method is effective.

electromagnetic force; automatic balance; self-recovery regulation; finite elementanalysis;optimal control

TH133;TP273

A

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50635010，50975018)

2009－12－24 修改稿收到日期:2010－03－11

黃立權(quán) 男，博士，1979年生

高金吉 男，院士，教授，1942年生