基于頻響函數的結構健康監測主成分分析法

朱軍華，余 嶺

(1.暨南大學 力學與土木工程系，廣州 510632;2.暨南大學 重大工程災害與控制教育部重點實驗室，廣州 510632)

基于頻響函數的結構健康監測主成分分析法

朱軍華1，2，余 嶺1，2

(1.暨南大學 力學與土木工程系，廣州 510632;2.暨南大學 重大工程災害與控制教育部重點實驗室，廣州 510632)

基于測試頻響函數，提出一種簡單而有效的結構健康監測主成分分析(PCA)新方法。以結構的頻響函數作為基本數據，首先將結構健康狀態下的頻響函數數據作為基本訓練樣本，通過PCA技術提取結構健康狀態特征，并獲得結構健康特征變換矩陣，即協方差的特征向量矩陣;然后再對損傷結構的測試頻響函數數據進行轉換以提取結構相應損傷狀態特征;最后在二維PCA空間比較兩次提取的結構狀態特征分布圖即可判斷結構是否發生損傷并評估其損傷程度。兩個數值算例表明基于頻響函數的結構健康監測主成分分析新方法正確有效。該方法基于結構振動響應，與模型無關且診斷前無需大量的訓練樣本、計算量小、抗噪性能好，具有良好的應用前景。

主成分分析;頻響函數;損傷識別;結構健康監測

結構健康監測問題本質上是一類統計模式識別問題［1］。因為損傷檢測過程可以看作是對兩類或多類信息的識別過程，如識別來自健康或損傷結構的信息、識別來自不同損傷程度或不同損傷位置的信息。由于從模式識別角度提出的方法一般是基于結構振動響應，對模型依賴性較小，大量研究成果表明這種基于數據的檢測方法有較大的應用前景，這類方法包括有Fisher判別法［2］、神經網絡法［3］、支持向量機［4］、控制圖分析［5］、邊緣分析［6］、假設檢驗7］以及其它方法［8，9］，Sohn等人［1］對這一類損傷判別方法做了詳細的綜述，雖有不少優勢，但亦面臨不小挑戰。

主成分分析法(PCA)是一種常用的數據壓縮方法。目前，PCA已廣泛應用在包括過程控制和損傷診斷的多個領域中［3，5－9］。在結構損傷識別領域中，Zang［3］利用PCA對頻響函數(FRF)數據進行壓縮，并將壓縮后的數據作為神經網絡的輸入，研究了火車車輪的損傷檢測;Kullaa［5］利用PCA對固有頻率和振型數據進行壓縮，通過控制圖分析方法檢測Z24橋的健康狀況;Mustapha等［6］利用PCA對超聲波數據壓縮，通過邊緣分析研究了筒形結構的損傷識別;Yan和Kerschen［8］等提出一種考慮環境因素變化下的結構損傷檢測方法，該方法以結構固有頻率作為初始特征，通過PCA變換得到各階主成分，認為前m階主成分對應于m個環境因素對特征變化的影響，因此，去除這些主成分即可以消除環境的影響，通過定義的損傷指標對損傷進行檢測。Trendafilova等［9］采用廣義自相關矩陣計算主成分，提出一種修正的PCA，將FRF數據作為初始特征，采用模式識別方法對特征數據進行分類，以此來判別損傷。

綜上所述，可以看出雖然PCA應用在損傷診斷領域得到廣泛的應用，但大多數方法僅僅利用PCA進行數據壓縮［3，5，6］，采用其它方法進行分類判別，少數方法利用了PCA直接進行分類［9］，采用模式識別方法判別損傷，這些方法需要結構損傷前、后的大量樣本進行訓練才能應用，而樣本數據在實際應用時很難得到，或者需要建立精確的數值模型來獲得樣本數據，因此，這些方法在實際應用時仍存在許多因難。

本文基于結構的測試頻響函數提出一種簡單易行的結構健康監測與損傷判別新方法。首先將結構健康狀態下的頻響函數數據作為基本訓練樣本，利用PCA從訓練樣本中提取特征變換矩陣，然后利用該變換矩陣分別獲得訓練樣本和測試樣本的主成分，進而對前2階主成分在2維PCA空間作圖，即可以判別結構是否損傷，通過簡支梁和多跨連續梁的兩個數值算例驗證所提方法的正確性。由于該方法不需要結構損傷狀態的數據以及結構模型信息，并且計算量很小，非常有利于在實際工程中應用。

1 損傷檢測原理

1.1 結構運動方程

對N自由度的結構，其運動微分方程為:

其中，M、C、K為N×N的質量、阻尼、剛度矩陣。如果假定輸入為簡諧荷載，則外力與位移響應可表示為f(t)=F(ω)ejωt，x(t)=X(ω)ejωt，將其代入式(1)得:

其中，H(ω)=( － ω2M+jωC+K)－1即為頻響函數矩陣，其第(i，j)元素表示在第j自由度方向施加單位簡諧荷載時，在第i自由度方向產生的位移響應。響應測點i與激勵點j之間的位移頻響函數為:

式中ωr為結構的第 r階模態頻率，Kr，Mr，Cr是對應的模態剛度、模態質量和模態阻尼，φir，φjr分別是對應的i，j點的振型幅值。

1.2 檢測方法

主成分分析(PCA)的基本思想是數據降維，即對多變量數據用盡可能少的變量來表示，這一過程通過一個正交變換來實現，即將原始數據變換為一系列不相關且其方差依次減小的新數據。當原始數據各變量之間相關時，主成分分析可以獲得很明顯的效果。根據頻響函數的分布特點，可以推斷出各測點頻響函數具有很好的相關性，而且頻響函數在實際工程中直接測得，因此，本文利用頻響函數作為基本數據對結構健康狀況進行監測。

假設測得p個測點的頻響函數hi(i=1，2，…，p)，每個頻響函數有n條譜線，即hi為n維向量，將其組成矩陣形式H=［h1，h2，…，hp］，在結構不同狀態測得的頻響函數分別記為H0，H1，…。當結構健康狀況發生變化時，必然體現在所測得的頻響函數H中，因此，如何從頻響函數的微小變化來捕捉到結構狀態的變化，將成為問題的關鍵。

多種因素可以引起測量頻響函數的變化，如不同次測量、噪聲、環境溫度、結構損傷等，對于不同次測量因素，可以通過增加測量次數(即樣本數)使測量引起的變化得到控制，本文不考慮環境溫度等因素，因此，問題的重點是區分出結構損傷和噪聲引起的變化。一般認為，在有效的測量中，噪聲應不影響測量結果總體分布特征，否則測量結果就失去意義。在這種意義上，可以認為提取出基準狀態下的頻響函數矩陣的本質特征，將會有效地克服噪聲的影響。主成分分析就起到了這樣一個作用。

對Hi中各變量中心化處理，即各變量化為均值為零的向量

設 λi，φi(λ1＞ λ2＞ … ＞ λp，i=1，2，…，p)分別為協方差C的特征值及對應的特征向量，則基準狀態下的主成分為:

其中，Φ =［φ1，φ2，…，φp］，稱為基準狀態下的特征矩陣。噪聲對φi(i=1，2，…，p)分布特征的影響隨i的減小而減弱［10］，在一定信噪比條件下，對前幾階φi(i=1，2，…，k，k＜p)可以忽略噪聲的影響。

基于以上分析，對第i狀態下測量的頻響函數矩陣Hi，假設結構狀態與基準狀態相同，即結構未發生損傷，則它的前幾階特征應與基準狀態一致，由此第i狀態下的主成分為:

其中I為n維單位矩陣。若將H0作為結構的基準狀態(即健康)，則計算基準狀態下的頻響函數協方差矩陣:

結構狀態未發生變化時，Z0應與Zi(i=1，2，…)的前k個主成分分布相近或者近似相同，否則結構狀態必不相同。由此，可以判別結構是否發生損傷。結構狀態監測流程如圖1所示。

圖1 結構狀態監測流程圖Fig.1 Structure state monitoring diagram

2 數值仿真

通過兩個數值算例來驗證以上所提方法的正確性和有效性。通過對前2階主成分在二維PCA空間分布圖的對比來判別是否存在損傷。

2.1 算例一——簡支梁模型

如圖2所示兩端簡支的矩形截面梁，梁長6m，截面尺寸為200 mm×500 mm，材料彈性模量為32 GPa，密度為2 500 kg/m3。首先建立梁的有限元模型，共劃分15個單元，單元長度為0.4 m。采用降低彈性模量的方式來模擬單元損傷，損傷工況設置如表1所示。結構的前 4 階固有頻率分別為 9.00 Hz、36.03 Hz、81.08 Hz、144.19 Hz，為使頻響函數中包含前 4 階模態信息，采樣頻率設置為300Hz，即頻率范圍為0 Hz～150 Hz，頻率分辨率為1 Hz，則共有151條頻譜線。在梁上布置14個測點，激勵點在測點8，在結構健康狀態下，首先計算得到14個測點的頻響函數，為模擬實測效果，在頻響函數中分別加入10%、20%的高斯白噪聲，不同噪聲水平模擬不同次測量，并組成矩陣H0(302×14)。按同樣方式可以獲得表1對應工況下的頻響函數特征矩陣H1、H2、H3、H4、H5。

圖2 簡支梁模型Fig.2 Simply supported beam model

表1 簡支梁損傷工況Tab.1 Damage cases for simply supported beam

考慮到頻響函數曲線的分布特征，即峰值與谷底值相差較大，其主成分分布也有此特點，因此，將直接計算得到的主成分數據按公式(9)轉化為分貝(dB)表示。以第1主成分為橫軸，第2主成分為縱軸，作兩個主成分形成的平面特征分布圖。

首先，由H0獲得基準(健康)狀態下的前兩階主成分PCs1和 PCs2，按公式(9)計算相對值(分貝)，以PCs1new為橫軸，PCs2new為縱軸作分布圖。以同樣方式獲得H1、H2、H3、H4、H5的主成分分布圖，并與基準狀態特征分布圖比較，結果見圖3～圖7。從圖中可以明顯看出無論單元損傷還是多損傷，損傷狀態下的主成分明顯偏離健康狀態下的主成分分布;圖4表明損傷狀態主成分偏離程度隨損傷程度增加而增加;圖5顯示小損傷也能從圖中判別出來。

圖6 工況4損傷判別圖Fig.6 Damage detection for case 4

圖7 工況5損傷判別圖Fig.7 Damage detection for case 5

2.2 算例二——多跨連續梁模型

如圖8所示，3跨連續梁，全長24 m，單跨長8 m，其它參數同算例1，有限元模型共劃分60個單元，單元長為0.4 m。損傷工況設置見表2。采樣頻率設置為200 Hz，即頻率范圍為0 Hz～100 Hz，包含結構前12階模態，頻率分辨率為1 Hz，則共有101條頻譜線。在梁上布置27個測點，激勵點在測點15，同算例1，可以獲得結構健康狀態下的頻響函數矩陣H0(202×27)及對應工況下的H6、H7、H8、H9，同樣方式可以作出工況 6～工況9的前兩階主成分平面特征分布如圖9～圖12所示。

圖8 多跨連續梁模型Fig.8 Multi-span continuous beam model

從圖中可以很清晰地看出結構是否損傷。同時，可以發現，多跨梁在10%以下的損傷很難判別，小損傷判別比簡支梁困難。圖10與圖11對比可以發現，50單元更容易判別損傷，主要是因為50單元在第3跨的中間，而45單元靠近支座，因此，可以推斷靠近跨中部分的損傷更容易識別。

圖9 工況6損傷判別圖Fig.9 Damage detection for case 6

表2 多跨連續梁損傷工況Tab.2 Damage cases for multi－ span continuous beam

圖10 工況7損傷判別圖Fig.10 Damage detection for case 7

3 結論

基于測試頻響函數并利用主成分分析(PCA)技術，本文提出了一種簡便可行的結構健康監測新方法。首先將結構健康狀態下的頻響函數數據作為基本訓練樣本，然后利用PCA提取測試樣本的特征信息，進而對前兩階主成分在二維PCA空間的分布圖進行比較，從而達到判別結構是否損傷和有無健康問題之目的。兩個數值仿真算例表明:①本文方法是正確可行的;②該方法在實際應用時不依賴于模型，可以應用于其它類型的結構中，有較好的應用前景;③只要選定一個基準狀態作為健康狀態，就可以對其它狀態進行評價，整個計算過程簡單、計算量小，非常有利于實際在線監測;④在數值仿真模擬時，在結構頻響函數中加入了10%、20%的噪聲來模擬實測噪聲的影響情況，結果表明該方法的抗噪性能非常理想，有望在下一步的實驗研究中取得好的效果。

［1］ Sohn H，Farrar C R，Hemez F M，et al.，A Review of Structural Health Monitoring Literature:1996 －2001［R］.LA-13976-MS，New Mexico:Los Alamos National Laboratory Report，2003.

［2］Chiang L H，Kotanchek M E，Kordon A K.Fault diagnosis based on Fisher discriminant analysis and support vector machines［J］.Computers ＆ Chemical Engineering，2004，28(8):1389－1401.

［3］Zang C，Imregun M.Structural damage detection using artificial neural networks and measured FRF data reduced via principal component projection［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，242(5):813－827.

［4］Oh C.K.，Sohn H.Damage diagnosis under environmental and operational variations using unsupervised support vector machine［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，325(1－2):224－239.

［5］Kullaa J.Damage detection of the Z24 bridge using control charts［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2003，17(1):163－170.

［6］Mustapha F，Manson G，Pierce S G，et al.Structural health monitoring ofan annularcomponentusing a statistical approach［J］.Strain，2005，41(3):117 －127.

［7］Furukawa A，Otsuka H， Kiyono J.Structural damage detection method using uncertain frequency response functions［J］.Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering，2006，21(4):292－305.

［8］Yan A M，Kerschen G，De Boe P，et al.Structural damage diagnosis under varying environmental conditions-Part I:A linearanalysis［J］. MechanicalSystems and Signal Processing，2005，19(4):847－864.

［9］Trendafilova I，Cartmell M P，Ostachowicz W.Vibrationbased damage detection in an aircraft wing scaled model using principal component analysis and pattern recognition ［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，313(3 － 5):560－566.

［10］Aminghafari M，Cheze N，Poggi J M.Multivariate denoising using waveletsand principalcomponentanalysis［J］.Computational Statistics＆ Data Analysis，2006，50(9):2381－2398.

A PCA-based algorithm for structural health monitoring using frequency response functions

ZHU Jun-hua1，2，YU Ling1，2

(1.Department of Mechanics and Civil Engineering，Jinan University，Guangzhou 510632，China;2.Key Lab of Disaster Forecast and Control in Engineering of Ministry of Education of China，Jinan University，Guangzhou 510632，China)

Based on measured frequency response functions(FRFs)，an easier and more efficient method for structural health monitoring was proposed by using principle component analysis(PCA)here.The FRFs of a healthy structure were used as the initial data.With this method a PCA transformation technique was used to obtain the features of the intact structure，i.e.，its principle components(PCs)with which an orthogonal transformation matrix packed using the first few eigenvectors of the covariance matrix was found.Further，the orthogonal transformation matrix was used to transform the FRFs of a damaged structure so as to find the corresponding damage state features of the structure.Both structural damage detection and structural health monitoring could be achieved by comparing the two-dimensional PCA distribution charts corresponding to the damaged state and the healthy one of the structure.Two numerical simulation examples showed that the proposed method is correct，effective and feasible.

principle component analysis(PCA);frequency response function(FRF);damage detection;structural health monitoring

O327;TU311

A

國家自然科學基金資助項目(50978123，10032005);中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(21609601)

2009－09－14 修改稿收到日期:2010－06－21

朱軍華 男，博士生，1980年生

余 嶺 男，教授，博士生導師，1963年生